разделенное на частное, дает делитель. Сейчас человека, говорящего о бесконечно малых линиях, едва ли заподозрят в том, что он ничего под ними не подразумевает, но если он понимает их как реальные конечные количества, то попадает в безвыходные затруднения.
Рассмотрим вкратце спор между г-ном Ньювентейтом [9] и г-ном Лейбницем. Г-н Ньювентейт допускает, что бесконечно малые первого порядка являются подлинными количествами, но differentiae differentiarum [10], или бесконечно малые следующих порядков, он отбрасывает, приравнивая их к ничто. Это то же самое, как если бы сказать, что квадрат, куб или другая степень реального количества равны ничто, но это явно нелепо.
И снова г-н Ньювентейт выдвигает это в качестве самоочевидной аксиомы, т. е. что между двумя равными количествами не может быть вообще никакого различия, или, что то же самое, их различие равно нулю. Эту истину, какой бы очевидной она ни была, г-н Лейбниц старается подкрепить, утверждая, что равны не только те количества, между которыми нет никакого различия, но также и те, различие между которыми бесконечно (incomparably) мало. Quemadmodum, говорит он, si Iineae punctum alterius Iineae addas quantitatem non auges [11]. Но если отрезки делимы до бесконечности, то мне интересно знать, как вообще может существовать такая вещь, как точка? Или, если допустить, что существуют точки, то как можно считать за одно и то же прибавление к чему-либо неделимой точки или приращение (differentia), например, ординаты у параболы, которое далеко от того, чтобы быть точкой, так как само делимо на бесконечное число реальных количеств, из которых каждое в свою очередь может быть разделено in infinitum и т. д., согласно г-ну Лейбницу. Все это те трудности, в которых запутались знаменитые люди, применяя идею бесконечности к чрезвычайно малым, но реальным и способным к делению частям протяжения.
Подробнее об этом можно узнать в «Acta Eruditorum» за июль 1695 г., где, если верить французскому автору «Analyse des infiniment petits», г-н Лейбниц достаточно обосновал и доказал свои взгляды. Хотя и ясно, что он старается не для того, чтобы поставить их под сомнение, и, кажется, боится, что nimia scrupulositate arti inveniendi obex ponatur [12], как будто человек способен быть слишком точным в математике или будто бы принципы геометрии не должны быть столь же бесспорными, как те выводы, которые из них вытекают.
359
У д-ра Шайена в главе 4 его «Философских принципов естественной религии» [13] есть один аргумент, который касается бесконечно малых количеств. Вот его слова:
«Вся абстрактная геометрия зависит от возможности существования бесконечно больших и бесконечно малых количеств, и истины, которые открываются с помощью методов, зависящих от этих предпосылок, подтверждаются другими методами, которые имеют иные основания».
На это я отвечу, что допущение бесконечно малых количеств отнюдь не необходимо для развития современного анализа. Ибо г-н Лейбниц признает, что его Calculus differentialis [14] может быть доказан reductione ad absurdum [15] в духе древних; да и сэр Исаак Ньютон в своем последнем трактате сообщает нам, что его метод флюксий может быть выведен a priori без допущения бесконечно малых количеств.
Я не могу обойти вниманием одно место в трактате г-на Рэфсона «De Spatio Reali seu Ente Infinito» [16] (гл. З, с. 50), где он бесконечно малую частицу называет quasi extensa «. Но что г-н Рэфсон подразумевает под pars continui quasi extensa [18], я не могу понять. Я также прошу разрешения отложить рассмотрение того, что некоторые современные знаменитые авторы без всяких оговорок утверждают о сфере с бесконечным радиусом, о равностороннем треугольнике с бесконечной стороной, т. е. о таких понятиях, которые, если их тщательно исследовать, будут найдены не совсем свободными от непоследовательностей.
Мое мнение таково, что все споры о бесконечных [величинах] прекратятся и исследование бесконечно малых количеств больше не будет приводить математиков в тупик только в том случае, если они к своей математике присоединят метафизику и снизойдут до того, чтобы узнать от г-на Локка о том различии, которое существует между бесконечностью и бесконечным.
АНАЛИТИК, ИЛИ РАССУЖДЕНИЕ, АДРЕСОВАННОЕ НЕВЕРУЮЩЕМУ МАТЕМАТИКУ, ГДЕ ИССЛЕДУЕТСЯ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ПРЕДМЕТ, ПРИНЦИПЫ и ЗАКЛЮЧЕНИЯ СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА БОЛЕЕ ОТЧЕТЛИВО ПОЗНАВАЕМЫМИ и С ОЧЕВИДНОСТЬЮ ВЫВОДИМЫМИ, ЧЕМ РЕЛИГИОЗНЫЕ ТАИНСТВА и ПОЛОЖЕНИЯ ВЕРЫ
1. Сэр, хотя вам я не известен, мне известна та репутация, которую вы приобрели в отрасли знания, избранной вами в качестве предмета для изучения, тот авторитет, который вы в силу упомянутого присваиваете себе в делах, далеких от вашей профессии, и то, как вы и еще слишком много лиц, подобных вам, злоупотребляете этим незаконным авторитетом, вводя в заблуждение неосторожных людей в вопросах величайшей важности, в отношении которых ваши познания в математике ни в коей мере не дают оснований вам быть компетентным судьей. Хотя справедливость и здравый смысл склоняют нас к тому, чтобы не принимать во внимание мнение других людей в вопросах, которых эти другие не рассматривали и не изучали, тем не менее находятся люди, громогласно претендующие на упомянутые выше качества, которые делают как раз то, что они, казалось бы, должны презирать, драпируются в мнения других людей и проявляют почтительное отношение по преимуществу к вашим суждениям; господа, которые воображают себя величайшими умами человечества, людьми, более всех сведущими в отвлеченных идеях и никогда ничего не принимающими на веру, но всегда ясно видящими свой путь, так как ваше постоянное занятие состоит в том, чтобы извлекать истину при помощи самых правильных выводов из самых очевидных принципов. Будучи уже таким образом в душе предубежденными, они подчиняются вашим решениям в таких вопросах, которые вы не имеете права решать. и мне достоверно известно, что это самый краткий путь сделать людей неверующими.
363
2. и вот, коль скоро считают, что вы понимаете более отчетливо, рассматриваете более внимательно, судите более правильно и делаете выводы более точно, чем другие люди, и что в силу этого вы менее религиозны, так как более рассудительны, я требую, чтобы меня сочли свободомыслящим, и я осмелюсь исследовать предмет, принципы и способ доказательства, признанные математиками нашего времени, с такой же свободой, с какой вы беретесь рассуждать о началах и таинствах религии, с тем чтобы все могли видеть, какое у вас есть право вести за собой других и что может заставить людей следовать за вами. Давно уже было сказано, что геометрия — отличная логика. и необходимо признать, что, когда определения ясны; когда нельзя ни отвергнуть постулата, ни опровергнуть аксиомы; когда при четком рассмотрении и сравнении фигур их свойства выводятся путем непрерывной хорошо связанной цепи следствий, причем предметы по-прежнему держатся в поле зрения, а внимание постоянно фиксируется на них, тогда приобретается привычка рассуждать — тщательно, точно и методически последовательно; эта привычка укрепляет и заостряет ум и, будучи перенесенной на другие предметы, вообще используется в поисках истины. Но, пожалуй, стоит рассмотреть, насколько это все справедливо в случае с нашими геометрами-аналитиками.
3. Метод флюксий является тем общим ключом, с помощью которого новейшие математики открывают секреты геометрия и, следовательно, природы. и поскольку именно он позволил им столь замечательно превзойти древних в открытии теорем и решении задач, его развитие и применение стало главным, если не единственным занятием всех тех, кто в наше время считается глубоким, основательным геометром. Но является ли этот метод ясным или же туманным, последовательным или противоречивым, убедительным или необоснованным? Я исследую это с величайшей беспристрастностью и представляю мое исследование на ваш суд и на суд каждого непредубежденного читателя. Полагают, что линии * образуются движением точек, плоскости — движением линий, а геометрические тела — движением плоскостей. А поскольку значение величин (quantities), образуемых за равные отрезки времени, зависит от большей или меньшей скорости, с которой они увеличиваются и образуются, был найден способ определять величины по скорости движений, их об-
* Introd. ad «Quadraturam Curvarum» [1].
364
разующих. и такие скорости называются флюксиями, а получаемые таким образом величины — флюентами (flowing quantities). Утверждается, что эти флюксии приближенно равны бесконечно малым приращениям флюент, образованным за наименьшие равные промежутки времени; и они являются точными значениями в первой части зарождающегося приращения или в последней части приращения исчезающего (evanescent). Иногда вместо скоростей рассматриваются мгновенные (momentaneous) приращения или уменьшения неопределенных флюент, их называют «моментами» («moments»).
4. Под понятием «моменты» мы не должны понимать конечные частицы [линий]. Утверждают, что таковые являются не «моментами», а величинами, образованными моментами, каковые [моменты] являются лишь зарождающимися началами (principles) конечных величин. Говорят, что в математике нельзя пренебрегать даже самыми малыми ошибками, что флюксии представляют собой скорости (celerities), пропорциональные не конечным, хотя и очень малым, приращениям, а только лишь моментам или зарождающимся приращениям, у которых рассматривается не величина (magnitude), а только одно отношение. и у вышеупомянутых флюксий имеются другие флюксии, каковые флюксии флюксий называются вторыми флюксиями; а флюксии этих вторых флюксий называются третьими флюксиями; и т. д. — четвертыми, пятыми, шестыми ad infinitum. Однако, подобно тому как наши чувства (senses) напрягаются и ставятся в затруднительное положение при восприятии крайне малых объектов, воображение (способность, производная от чувства) напрягается в еще большей степени и попадает в еще более затруднительное положение, пытаясь выработать четкое представление о мельчайших частицах времени или мельчайших приращениях, образованных за эти мельчайшие промежутки времени; и в гораздо большей степени ему приходится трудно, когда оно пытается постичь «моменты», или упомянутые приращения флюент, находящиеся в statu nascendi [2], в самом начале их образования или начале существования, прежде чем те становятся конечными частицами. Вероятно, еще более трудно представить себе абстрагированные скорости подобных зарождающихся несовершенных величин (entities). Однако, если я не ошибаюсь, скорости скоростей, вторые, третьи, четвертые, пятые и т. д. скорости вообще находятся за пределами
365
всего человеческого понимания. Чем больше ум (mind) анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения. В каком бы смысле ни употреблять слова, вторая или третья флюксия безусловно представляются тайной, покрытой мраком. Начальная скорость начальной скорости, зарождающееся приращение зарождающегося приращения, т. е. вещи, не обладающей никаким значением, — рассмотрите это в каком угодно свете и, если я не ошибаюсь, вы обнаружите, что составить об этом ясное понятие невозможно; так ли это или не так, я оставляю на суд каждого мыслящего читателя. А если вторая флюксия непостижима, то что же нам следует подумать насчет третьей, четвертой, пятой флюксий и т. д., до бесконечности?
5. Некоторые [3], включая даже наших математиков, полагают, что зарубежные математики применяют иной метод, может быть, менее точный и не строго геометрический,
