но зато более понятный. Вместо флюент и их флюксий они рассматривают переменные (variable) конечные величины, которые увеличиваются или уменьшаются путем постоянного прибавления или вычитания бесконечно малых величин. Вместо скоростей, с помощью которых образуются приращения, они рассматривают сами приращения или уменьшения, которые они называют дифференциалами и которые считаются бесконечно малыми. Дифференциалом линии является бесконечно малая линия, дифференциалом плоскости — бесконечно малая плоскость. Они полагают, что конечные величины состоят из бесконечно малых частей и что кривые представляют собой многоугольники с бесконечно малыми сторонами, а углы, которые они составляют по отношению друг к другу, определяют кривизну линии. Признаюсь, мои способности не позволяют мне представить себе величину бесконечно малую, т. е. бесконечно меньшую, чем любая реальная или воображаемая величина или чем любое наименьшее конечное значение. Но я подозреваю, что для абсолютно всякого человека было бы бесконечно трудно представить себе часть такой бесконечно малой величины, которая будет все же бесконечно меньше ее и, следовательно, даже если ее увеличить в бесконечное число раз, не будет равна мельчайшей конечной величине; это признают все те, кто откровенно скажет, что думает, при условии, что они действительно думают и размышляют, а не принимают сказанное им на веру.

366

6. и тем не менее, применяя calculus differentials * — метод, который служит для достижения тех же самых целей, что и метод флюксий, наши современные аналитики не довольствуются лишь рассмотрением дифференциалов конечных величин: они также рассматривают дифференциалы упомянутых дифференциалов и дифференциалы дифференциалов первых дифференциалов и т. д. ad in-finitum. Иными словами, они рассматривают величины бесконечно меньшие, чем наименьшая различимая величина; и другие, бесконечно меньшие, чем упомянутые бесконечно малые; третьи, бесконечно меньшие, чем предыдущие бесконечно малые, и так далее без конца или предела. Так что мы обязаны признать бесконечную последовательность бесконечно малых величин, каждая из которых бесконечно меньше, чем предыдущая, и бесконечно больше, чем последующая. Так же как имеются первые, вторые, третьи, четвертые, пятые и т. п. флюксии, существуют и дифференциалы первого, второго, третьего, четвертого, пятого и т. д. порядка, в бесконечной прогрессии, стремящейся к ничто, к чему вы приближаетесь, но чего так и не достигаете. и (что самое странное) даже если вы возьмете миллион миллионов этих бесконечно малых, каждая из которых считается бесконечно больше некоей другой реальной величины, и прибавите их к наименьшей данной величине, она ни на сколько не увеличится. и это есть один из скромных postulate наших современных математиков, краеугольный камень и основа основ их рассуждений.

7. Как я говорил, все эти положения выдвигаются определенными людьми, требующими строгих доказательств в религии и утверждающими, что они верят только тому, что сами могут увидеть, и ничему больше, хотя они верят и упомянутым положениям. То, что люди, сведущие только в относительно ясных вопросах, с трудом понимают вопросы туманные, могло бы не представляться чем-то совершенно необъяснимым. Но я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы привередничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных. Естественно предположить, что способности людей от природы устроены одинаково. Именно на основании этого предположения люди пытаются

367

спорить друг с другом и убеждать друг друга. Следовательно, то, что покажется очевидно невозможным и неприемлемым одному, могло бы показаться таковым и для другого. Но о каком хотя бы малейшем подобии логики может идти речь, если кто-то осмеливается заявлять, что таинства не могут быть объектами веры, но одновременно принимает, что такие непонятные таинства являются объектом науки?

8. Правда, необходимо признать, что современные математики не считают эти положения загадочными, а полагают, что их всеобъемлющие умы эти положения усвоили и хорошо их понимают. Они не стесняются утверждать, будто с помощью этих новых аналитических методов могут проникать в саму бесконечность и могут даже направить свой взгляд за ее пределы, что благодаря своему искусству они постигают не только бесконечное, но бесконечное бесконечного (как они выражаются) или бесконечность бесконечностей. Однако, несмотря на все эти утверждения и претензии, можно вполне законно поставить вопрос, а не обманываются ли они удивительным образом и не введены ли в заблуждение своими собственными особыми знаками, символами или тому подобным аналогично тому, как другие люди при проведении других исследований часто вводятся в заблуждение словами или терминами. Нет ничего легче, чем изобрести выражения или обозначения для флюксий и бесконечно малых величин первого, второго, третьего, четвертого и последующих порядков, следуя одной и той же регулярной форме без конца или предела —  и т. д. или dx, ddx, dddx, ddddx и т. д. Действительно, эти выражения ясны и четки, и ум без труда может представить себе, что их можно продолжить за пределами любых обозначенных границ. Но если мы приподнимем завесу и посмотрим на то, что за ней скрывается, и если, оставив в стороне словесные обороты, мы поставим себе задачу внимательно рассмотреть сами явления, которые, как полагают, должны определяться или обозначаться упомянутыми оборотами, то мы обнаружим огромную пустоту, тьму и путаницу и даже, если я не ошибаюсь, — прямые противоречия и нечто невозможное. Прошу каждого мыслящего читателя самого подумать и вынести суждение относительно того, так ли обстоит дело в данном случае или нет.

368

9. Рассмотрев сам предмет, я далее приступаю к рассмотрению принципов этого нового анализа при помощи моментов, флюксий или бесконечно малых величин; если в результате окажется, что ваши главные положения, от которых, как полагается, зависит все остальное, содержат ошибки и ложные заключения, то отсюда будет следовать, что вы, не знающий, куда направить самого себя, не можете, хотя бы из чувства простой скромности, быть руководителем для других людей. Главное в методе флюксий заключается в том, чтобы получить флюксию, или скорость движения (momentum), для прямоугольника, т. е. произведение двух неопределенных величин. Ибо именно из этого выводятся правила получения флюксий всех других произведений и степеней, независимо от характера коэффициентов или индексов, будь они целыми числами или дробными, действительными или иррациональными. Можно было бы подумать, что это главное положение должно быть очень четко доказано, принимая во внимание, что на нем основано очень многое и что его влияние распространяется на весь анализ. Но пусть читатель судит сам. Покажем использование упомянутого принципа на примере *. Положим, что произведение, или прямоугольник АВ, увеличивается благодаря постоянному движению и что мгновенные приращения сторон А в В соответственно равны а и b. Когда стороны А и В были меньше, положим, на 7» их моментов, прямоугольник равнялся .

* «Naturalis Philosophiae principia mathematica», lib. 2, lem. 2 [5].

Но как только стороны А и В увеличились на оставшиеся две половины их моментов, прямоугольник становится равным

Вычтем из последнего прямоугольника предыдущий, и останется разность аВ + bА. Следовательно, приращение прямоугольника, образованного целыми приращениями а и b, есть аВ + bА, что и требовалось доказать. Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (А+а)х(В+b), а полученное произведение (AB+aB+bA-t-ab) и есть

369

увеличенный прямоугольник; отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (аВ+bА+аb) и будет истинным приращением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым методом, на величину ab. и это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины а и b, — большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. Не поможет и утверждение о том, что ab — величина чрезвычайно малая, поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi *.

* Introd, ad «Quadraturam Curvarum» [6].

10. Ничто, кроме неясности предмета, не могло бы побудить или заставить великого автора теории флюксий навязать своим последователям такой ход рассуждений, который только что был продемонстрирован нами на примере, и ничто, кроме молчаливого уважения к авторитету, не могло бы заставить их принять его. Вопрос действительно трудный. Ничего нельзя сделать до тех пор, пока не избавимся от величины ab. Чтобы добиться этого, понятие о флюксиях смещается; его освещают с разных сторон; положения, которые должны быть ясны как основополагающие принципы, затуманиваются, а термины, употребление которых должно быть неизменным (steadily), делаются двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изощренность и искусство, задача избавления от величины ab не может быть решена при помощи законного логического хода рассуждения. Если кто-либо при помощи негеометрических или демонстративных методов убедит себя в полезности определенных правил, которые он впоследствии сообщит своим ученикам в качестве неоспоримых истин и докажет их весьма тонко, с помощью точных и сложных понятий, то нетрудно представить себе, что такие его ученики, чтобы не утруждать себя размышлениями, могут склониться к спутыванию полезности правила с определенностью истины и принять одно за другое, особенно если они привыкли скорее считать, чем думать, и стремятся идти быстрее вперед, а не заботятся о том, чтобы ступать осторожно и ясно видеть свой путь.

370

11. Точки, или просто пределы зарождающихся линий, несомненно равны между собой, так как величина одной из них не превышает другой, а предел, как таковой, не есть величина. Если под [механическим] моментом (тоmentum) вы подразумеваете больше, чем самый начальный предел, то он должен быть либо конечной величиной, либо бесконечно малой. и действительно, хотя прибегали ко множеству хитростей, чтобы уклониться от признания величин бесконечно малых или как-либо избежать их, все это, кажется, ни к чему не привело. Насколько я понимаю, без признания существования бесконечно малых величин нельзя признать существование величины, занимающей промежуточное положение между конечной величиной и нулем. Приращение, образованное за конечную частицу времени, само по себе является конечной частицей и вследствие этого не может быть [механическим] моментом. Следовательно, для образования [механического] момента вам нужно брать бесконечно малую частицу времени. Говорят, что величина моментов не принимается во внимание, и тем не менее считается, что эти же самые моменты делятся на части. Это не легко понять, не легче, чем представить себе, почему для получения приращения АВ мы должны брать величины меньшие, чем А и В, хотя необходимо признать, что конечная причина или побудительный мотив такого хода рассуждений совершенно очевидны; но не так легко и просто привести справедливую и законную причину в объяснение этого или показать, что она является строго геометрической.

12. Из доказанного таким образом вышеупомянутого принципа выводится общее правило нахождения у флюента флюксии любой степени *. Но так как автор, кажется, испытывал скрытые угрызения совести или сознавал