ущербность вышеприведенного доказательства и так как это нахождение флюксии данной степени есть вопрос первостепенной важности, было сочтено уместным вследствие этого доказать то же самое, но иным способом, отличным от приведенного выше доказательства. Однако теперь я перехожу к рассмотрению того, является ли этот другой метод более законным и убедительным, чем прежний; своему рассмотрению я предпосылаю следующую лемму: «Если для доказательства какого-либо предположения выдвигается определенное положение, благодаря которому доказываются некоторые другие положения, и если такое выдвинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или отвергнуто противоположным предположением, то в этом случае все другие положения, доказанные при его помощи и вытекающие из него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем чтобы в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применялись». Это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

* «Philosophiae naturalis principia mathematical», lib. 2, lem. 2,

371

13. Второй способ получения правила нахождения флюксии любой степени заключается в следующем. Пусть величина х возрастает равномерно (uniformly) и пусть предлагается найти флюксию х n. За тот же отрезок времени, что х путем возрастания становится (х+0), степень х nстановится (х+0) n; т. е. в соответствии с методом бес-

допустим, что приращения исчезают, и их последнее отношение будет составлять 1 : nx n-1. Но, представляется нам, такой ход рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда говорят: пусть приращения исчезают, т. е. пусть приращения равны нулю или пусть не будет никаких приращений, тем самым прежнее допущение, что приращения представляют собой какую-то величину или что приращения имели место, отвергается, однако следствие того допущения, т. е. выражение, полученное благодаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной леммой, представляет собой ложный ход рассуждения. Безусловно, если мы предполагаем, что приращения исчезают, то мы должны предположить, что вместе с ними исчезают их соотношения, их выражения и все остальное, выведенное из предположения об их существовании.

14. Чтобы сделать этот вопрос более понятным, я разверну ход рассуждения и изложу его перед вами более полно. Он сводится, следовательно, к следующему, или, другими словами, может быть выражен следующим образом. Я полагаю, что величина х — переменная, что она возрастает в результате изменения, ее приращение я обозначу о, так что в результате возрастания она становится (х+0). Так как х увеличился, из этого следует, что .каждая степень х также увеличивается в соответствующей пропорции. Следовательно, раз х становится (x+0), х nстановится (х+0) n, т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов

372

А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два приращения, а именно 0 и  и т.д.,

а если оба приращения разделить на общий делитель «о», то получим частные

которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что о есть нечто [определенное]. и я все время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперед. На основании этого предположения я получаю приращение х n, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что о есть ничто; это второе предположение опровергает мое первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить nx n-1— выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причем получение его без первого предположения было бы невозможно. Все это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить все что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели.

373

Таким путем вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (х+0) 0 может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию — быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х+0) 0 обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего степень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определенного момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя свое допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определенный момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель о, все бы мгновенно исчезло, и на основании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке — сначала разделить, а потом уже изменить свое допущение, вы сохраняете 1 и nх n-1. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остается той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или позже, как только сделано второе допущение или предпо-

374

ложение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и все то, что вы получили при его помощи. и это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Может быть, уместно заметить, что способ нахождения флюксии прямоугольника, состоящего из двух непрерывных переменных величин [флюент], в том виде, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от вышеизложенного, взятого из второй книги «Начал», и в сущности является тем же самым способом, который используется в calculus differentialis *. Ибо предположить какую-либо величину бесконечно уменьшенной и вследствие этого отбросить ее — означает по сути дела отбросить бесконечно малую величину; и действительно, требуется поистине чудесная острота восприятия, чтобы суметь провести различие между исчезающими приращениями и бесконечно малыми дифференциалами. Конечно, можно возразить, что величина бесконечно уменьшенная становится нулем и поэтому ничто не отбрасывается. Но в соответствии с общепринятыми принципами очевидно, что ни одна геометрическая величина не может быть никакими делениями или делениями делений совершенно исчерпана или сведена к нулю. Если принять во внимание различные хитрости и уловки, примененные великим автором метода флюксий — как разносторонне он трактует свои флюксии и какими различными способами пытается доказать одно и то же положение, — то есть основание считать, что он сам сомневался в справедливости своих доказательств и не был доволен ни одним понятием настолько, чтобы придерживаться его твердо. По крайней мере ясно одно: ему самому пришлось удовлетвориться некоторыми определенными положениями, но тем не менее он не мог взять на себя доказать их другим **. Я не берусь определить, возникла ли эта удовлетворенность на основании экспериментальных (tentative) методов или индукции, что часто признается математиками (например, д-ром Уоллесом в его «Арифметике бесконечно малых»). Но как бы ни обстояло дело в отношении автора, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, чем точными в изучении его принципов.

* «Analyse des infiniment petits», part 1, prop. 2 [7].

** См. письмо к Коллинзу от 8 ноября 1676 г.

375

18. Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differentialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубежденный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рассматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом *. Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. и вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.

* § 5 и 6.

19. и тем не менее