это общее правило, считая ее поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.

25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-первых, что vвообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда vили NO * приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, полученное с помощью этой пропорциональности и на ней основанное, приближается к нулю, когда приближается к нулю v. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахождения именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его применение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказательством ее ложности. В-шестых, если это доказательство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство ad absurdum, признано в геометрии, или же между моим доказательством

* См. предыдущий рисунок.

382

и другими подобными доказательствами должно быть найдено какое-либо реальное различие. В-седьмых, замечу: предположить, что NO или RP, PS я SR являются конечными реальными прямыми, образующими треугольник RPS, чтобы получить пропорции при помощи подобных треугольников, а затем допустить, что таких прямых (а следовательно, и подобных треугольников) не существует, но тем не менее сохранить следствие первого предположения после того, как такое предположение уничтожено прямо противоположным, — это чистая софистика. В-восьмых, хотя в данном случае при помощи несовместимых допущений можно получить истину, тем не менее такая истина не доказана; подобный метод не соответствует правилам логики и правильного мышления; каким бы полезным он ни был, его необходимо считать только предположением, ловким приемом (knack), хитростью, скорее уловкой, но не научным доказательством.

26. Изложенная выше теория может быть далее проиллюстрирована следующим простым и легким примером, в котором я использую приближающиеся к нулю приращения. Положим, АВ=х, ВС=у, BD=o, а ххравен площади ABC; предполагается найти ординату уили ВС. Когда благодаря возрастанию хстановится (x+o), тогда ххстановится (хх+2хо+оо); а площадь ABC становится ADH, и приращение ххбудет равно BDHC, приращению площади, т. е. (BCFD+CFH). и если мы положим, что криволинейное пространство CHF равно qoo, тогда

что при делении на о дает 2x+o=y+qo. и если допустить, что о исчезает, тогда 2х=у, и в этом случае АСН будет прямой, а фигуры ABC, CFH — треугольниками. Но в отношении такого хода рассуждений было уже замечено *: допускать, что о приближается к нулю, т. е. равно нулю, неправомерно и нелогично, если только мы одновременно

* § 12 и 13 supra [11].

383

с самим приращением не отбросим все следствия такого приращения, т. е. все то, чего нельзя получить, коль скоро не допускают такого приращения. Необходимо тем не менее признать, что задача решается правильно и вывод, к которому нас привел этот метод, правилен. Поэтому могут спросить: как же получается, что отбрасывание о не сопровождается никакими ошибками в выводе? Я отвечу: подлинная причина этого очевидна: раз q составляет единицу, qoравно о; и в силу этого

поскольку qoи о, как равные величины с противоположными знаками, взаимно уничтожаются.

27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избавляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное предположение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, которую я вообще не мог бы получить, если бы не предположил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометрическом доказательстве нам может быть позволено допускать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать правильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда ( о—qo) равно нулю. и поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рассуждение необходимо признать в качестве весьма логичного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. и это — истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет учения о дифференциалах, бесконечно малых величинах, исчезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.

384

28. Допустим, имеется самый общий пример и х nравен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты — nх n-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено * отношение флюксий хи х n, равное 1 : nх n-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH ** и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если х nравен площади ABC, то приращение х nравно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, nox n-1= BDFC. Разделив обе части на оили BD, получим nox n-1= ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине   oox n-2и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое — из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD — бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы криволинейные не были бы равными ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные части, остатки тоже будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать ис-

* § 13.

** См. рисунок в § 26.

385

чезающими, в действительности вычитаются. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы конечное пространство CFH было равно остатку приращения, выраженному через

равно, как я сказал бы, конечному остатку конечного приращения.

29. Следовательно, о какой бы степени ни шла речь, в одной части возникает алгебраическое выражение, а в другой — геометрическая величина, каждая из которых естественно распадается на три члена: [первый —] алгебраическое или флюксионное выражение, в которое не входит ни выражение приращения абсциссы, ни какой-либо ее степени; второй, в который входит выражение самого приращения; и третий, включающий выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или же вся увеличившаяся площадь, тоже состоит из трех частей или членов, первый из которых — заданная площадь, второй — прямоугольник под ординатой и приращением абсциссы и третий — площадь, ограниченная кривыми линиями. И, сравнивая аналогичные или соответственные члены в каждой части, обнаруживаем, что первый член алгебраического выражения есть выражение заданной площади, в то время как второй член алгебраического выражения дает значение прямоугольника, или второго члена геометрической величины, а третий, содержащий степени приращения, выражает площадь, ограниченную кривыми, или третий член геометрической величины. Вероятно, те, у кого есть досуг и кто проявляет любопытство в отношении таких вопросов, могут дальше развить эти начатки мыслей и применить их для каких-либо благих целей. Я же использую их для того, чтобы показать, что данный анализ можно признать действительным не только в отношении приращений и дифференциалов, но (как было замечено ранее) также и в отношении конечных величин, если даже они так велики, как было выше замечено.

386

30. Следовательно, в целом, как представляется, мы можем совершенно определенно заявить, что заключение не может быть правильным, если для его получения какая-либо величина объявляется приближающейся к нулю или игнорируется, за исключением