каждая предыдущая является флюентой (fluent), в отношении которой следующая за ней является ее флюксией?
* «De Quadrature Curvarum».
396
46. Можно легко себе представить различные ряды величин и выражений, геометрических и алгебраических, в виде линий, поверхностей, образов, которые можно продолжать без конца или предела. Но не так-то легко представить себе ряд либо просто скоростей, либо просто зарождающихся приращений, взятых отдельно от них и им соответствующих. Может быть, некоторые могли бы прийти к той мысли, что автор имел в виду ряд ординат, в котором каждая ордината была флюксией предыдущей и флюентой [интегралом] (fluent) последующей, т. е. что флюксия одной ординаты была сама ординатой другой кривой и что флюксия этой последней ординаты была ординатой еще одной кривой и т. д. ad infinitum. Но кто в состоянии представить себе, как флюксия (будь то скорость или зарождающееся приращение) ординаты может быть сама ординатой? Или, более того, — что каждая предыдущая величина или интеграл относится к своей последующей или флюксии как площадь криволинейной фигуры к своей ординате, в соответствии с чем автор замечает, что каждая предыдущая величина в таком ряду является площадью криволинейной фигуры, абсциссой которой является z, а ординатой — следующая за ней величина?
47. В целом представляется, что скорости отбрасываются, а вместо них вводятся площади и ординаты. Но как бы выгодны ни оказались такие аналогии пли такие выражения для облегчения решений современных квадратур, мы тем не менее обнаружили, что они никак не просвещают нас в отношении исходной истинной природы флюксий и не дают нам возможности составить на их основе правильные представления о флюксиях, взятых сами по себе. Общее конечное стремление автора во всем этом очень ясно, но принципы его туманны. Но, возможно, что эти теории великого автора не были рассмотрены и детально изучены его учениками, которые, как было замечено выше, кажется, стремятся скорее действовать, а не познавать, скорее
397
применять его правила и его формулы, а не понять его принципы и глубоко проникнуть в суть его понятий. Тем не менее очевидно, что для того чтобы следовать ему в его квадратурах, они должны находить интегралы по флюксиям, а для того чтобы делать это, они должны уметь находить флюксии по интегралам; для того же чтобы найти флюксии, они должны сначала знать, что такое флюксии. В противном случае в их действиях нет ясности и научности. Таким образом, прямой метод предшествует обратному и в обоих предполагается знание принципов. Но что касается произведения действий в соответствии с правилами и с помощью общих формул, первоначальные принципы и основания которых не поняты, то это следует считать чисто техническим вопросом. Поэтому, какими бы туманными (abstruse) и метафизическими ни были принципы, их придется изучать всем, кто постигает теорию флюксий. Ни один геометр не имеет также права применять правила великого автора, не рассмотрев сначала его метафизические понятия, из которых эти правила выведены. Хотя знание метафизических понятий совершенно необходимо для науки, которую нельзя постичь без точного, ясного и четкого понимания основополагающих принципов, тем не менее многие беззаботно обходятся без этого, занимаясь только выражениями, рассматривая их и обращаясь с ними с величайшим искусством и распорядительностью, чтобы с их помощью получить другие выражения, применяя методы, которые, взятые сами по себе, являются по меньшей мере подозрительными и косвенными, как бы ни рекомендовали их индукция и авторитет — два мотива, которые признаются достаточными для возникновения разумной веры и морального убеждения, но ничего более высокого. 48. Может быть, вы надеетесь, что вам удастся отклонить ту убедительную критику, которая была здесь высказана, и защитить ложные принципы и непоследовательные рассуждения под тем общим предлогом, что эти возражения и замечания являются метафизическими. Но это фальшивый предлог. Я обращаюсь к уму каждого непредубежденного разумного читателя в подтверждение очевидного смысла и истинности того, что было изложено в вышеприведенных замечаниях. К нему же я обращаюсь в проблеме, не являются ли вопросы, по которым высказаны замечания, самой непостижимой метафизикой, и метафизикой не моей, а вашей собственной. Я не хотел бы, чтобы вы поняли таким образом, будто я подразумеваю, что ваши по-
398
яятия ложны или неправильны, потому что они являются метафизическими. Ничто не может быть объявлено ни истинным, ни ложным на таком основании. Назвать какое-либо положение метафизическим или нет — мало чему поможет. Вопрос состоит в том, является ли оно ясным или расплывчатым, правильным (right) или неправильным, хорошо или плохо обоснованным?
49. Хотя мгновенные приращения, зарождающиеся и исчезающие величины, флюксии и бесконечно малые величины всех степеней являются в действительности такими призрачными (shadowy) существами, которые так трудно отчетливо вообразить или представить себе, что их (мягко выражаясь) нельзя признать в качестве принципов или объектов ясной и точной науки; и хотя одной этой неясности и непонятности вашей метафизики было бы достаточно, чтобы лишить силы ваши претензии на доказанность вашей теории, — тем не менее, если я не ошибаюсь, было, кроме того, показано, что ваши выводы правильны в той же мере, в какой ясны ваши концепции, и что ваша логика так же предосудительна, как ваша метафизика. Поэтому в целом должно представляться, что ваши выводы не получены путем правильных рассуждений яа основе четких принципов; что, следовательно, занятия современных аналитиков, какими бы полезными они ни были для математических расчетов и построений, не приучают и не подготавливают ум к тому, чтобы ясно воспринимать и делать правильные выводы, и что, следовательно, в силу таких обстоятельств, вы не имеете права давать указания по вопросам, лежащим вне той сферы, к которой вы принадлежите и за пределами которой ваше суждение не должно цениться выше, чем суждение других людей.
50. Я давно уже подозревал, что эти современные методы анализа не научны, и намекнул на это читающей публике двадцать пять лет тому назад [18]. После этого меня увлекли другие дела, и я считал, что найду себе более полезное занятие, чем выискивать и собирать свои мысли по такому сложному предмету. Правда, недавно меня попросили [19] подтвердить мои высказывания. Однако, поскольку, как мне показалось, лицо, обратившееся с этой просьбой, размышляет не достаточно зрело, чтобы понимать либо ту метафизику, которую оно опровергает, либо математику, которой оно покровительствует, мне не стоило бы причинять себе беспокойство и писать, чтобы его в чем-то убедить. Не надо было бы мне и теперь, после столь долгого
399
перерыва в изучении затронутых мною вопросов, утруждать себя или вас настоящим обращением, если бы я не имел целью помешать вам в той мере, в какой я только в состоянии, обманывать себя и других в вопросах, имеющих гораздо большее значение и важность. и с тем чтобы вы более ясно могли понять силу и направленность изложенных выше замечаний и развить их еще дальше в своих собственных размышлениях, я ставлю в заключение следующие вопросы:
В [опрос] 1. Разве предметом геометрии не являются пропорции определяемых (assignable) протяженностей? и разве есть необходимость в рассмотрении величин бесконечно больших или бесконечно малых?
8.2. Разве целью геометрии не является измерение определяемых конечных протяжений? и разве не эта практическая цель вначале натолкнула людей на изучение геометрии?
8.3. Разве ошибочное определение предмета и цели геометрии не создало уже ненужные трудности и неверные тенденции в названной науке?
8.4. Разве можно по справедливости сказать, что люди действуют в соответствии с научным методом, если они не представляют себе отчетливо ни предмета, о котором они говорят, ни предполагаемой цели, ни метода, с помощью которого она достигается?
8.5. Разве не достаточно того, что каждое определяемое число частей может содержаться в некой определяемой величине? и разве не является ненужным, а также абсурдным допущение, что конечная протяженность бесконечно делима?
8.6. Не будет ли верно, что чертежи в геометрическом доказательстве должны рассматриваться как знаки всех возможных конечных фигур, всех чувственных и воображаемых протяженностей или величин того же рода?
8.7. Разве возможно освободить геометрию от непреодолимых трудностей и нелепостей до тех пор, пока ее истинным предметом считается либо абстрактная общая идея протяженности, либо абсолютная внешняя протяженность?
8.8. Разве понятия абсолютного времени, абсолютного места и абсолютного движения не суть наиболее отвлеченно метафизические? Можем ли мы их измерить, высчитать или познать?
400
8.9. Разве математики не занимаются спорами и парадоксами, относящимися к тому, чего они не понимают и не могут понять? и разве теория сил не является достаточным доказательством этого? *
* См. трактат на латинском [языке] «De motu», опубликованный в Лондоне в 1721 г.
8.10. Разве не было бы достаточно рассматривать в геометрии определяемые конечные величины, не касаясь бесконечности? и разве не было бы более правильным измерять вместо кривых большие по размерам многоугольники с конечными сторонами, а не предполагать, что кривые являются многоугольниками с бесконечно малыми сторонами (предположение и неправильное, и непостижимое)?
8.11. Разве многие положения, с которыми не легко согласиться, не являются тем не менее истинными? и разве положения, содержащиеся в двух нижеследующих вопросах, не относятся к их числу?
8.12. Разве возможно, чтобы мы получили идею или понятие протяженности до движения? Или, если бы человек никогда не воспринимал движения, разве мог бы он когда-либо узнать или представить себе, что одна вещь отделена промежутком (to be distant) от другой?
8.13. Разве у геометрической величины есть сосуществующие части? и разве всякая величина, так же как время и движение, не находится в постоянном течении?
8.14. Можно ли предположить, что протяженность является атрибутом существа неизменного и вечного?
8.15. Разве отказ от изучения начал и раскрытия методов, используемых в математике, не свидетельствует о наличии фанатизма в математике?
8.16. Разве определенные положения, имеющие ныне хождение среди аналитиков, не противны здравому смыслу? и разве общепринятое предположение о том, что конечная величина, разделенная на нуль, бесконечна, не относится к их числу?
8.17. Разве рассмотрение геометрических чертежей абсолютно или самих по себе (а не как представляющих все определяемые значения или фигуры того же рода) не \ является главным основанием для предположения о том, что конечная протяженность бесконечно делима, и главной причиной всех трудностей и нелепостей, отсюда вытекающих?
401
8.18. Из того, что геометрические теоремы носят общий характер и вследствие этого линии на чертежах являются общими заменителями или представителями (representatives), следует ли, что мы не можем ограничивать или рассматривать [как ограниченное] число частей, на которые делятся такие конкретные линии?
8.19. Когда говорят или подразумевают, что такой-то определенный отрезок, обозначенный на бумаге, содержит больше, чем любое счетное число частей, разве в действительности следует здесь понимать нечто большее, чем знак, безразлично представляющий все конечные линии независимо от их
