величины? В каком относительном качестве он содержит, т. е. обозначает, больше, чем любое определяемое число частей? и разве не будет совершенно абсурдом предполагать, что конечная линия, рассмотренная сама по себе или в своей собственной положительной природе, может содержать бесконечное число частей?
8.20. Разве все аргументы в пользу бесконечной делимости конечной протяженности не предполагают или не подразумевают, что предметом геометрии являются либо общие абстрактные идеи, либо абсолютная внешняя протяженность? И, следовательно, разве такие аргументы также не теряют силу и не исчезают вместе с упомянутыми предположениями?
8.21. Разве предполагаемая бесконечная делимость конечной протяженности не является ловушкой для математиков и занозой у них в боку? и разве величина бесконечно уменьшенная (diminished) и величина бесконечно малая — не одно и то же?
8.22. Разве необходимо иметь дело со скоростями зарождающихся или исчезающих величин, или моментами, или бесконечно малыми величинами? и разве введение таких непостижимых категорий не является упреком математикам?
8.23. Разве внутренне противоречивые положения (inconsistencies) могут быть истинами? Разве можно в каком-либо предмете и какой-либо науке допускать положения противоречивые (repugnant) и абсурдные? и разве применение бесконечно малых величин следует признавать за достаточно благовидный предлог и основание для допущения таких положений в геометрии?
8.24. Разве мы не можем сказать, что мы действительно знаем какую-либо величину, когда нам известно ее пропорциональное отношение к данным величинам? и разве можно узнать это отношение при помощи каких-либо иных средств, кроме выражений или показателей, геометрических, алгебраических или арифметических? и разве выражения в линиях или образах (species) могут быть полезны иначе как лишь в той мере, в какой они сводятся к числам?
402
8.25. Разве нахождение истинных выражений или обозначений количеств не является самой общей чертой и стремлением математиков, а арифметическое действие — тем, что ограничивает и определяет их применение?
8.26. Разве математики в достаточной мере рассматривали аналогию и применение знаков? и насколько им соответствует конкретный ограниченный характер вещей?
8.27. Разве в силу того что при изложении общего чисто алгебраического примера мы можем в зависимости только от нашего собственного желания приписать какой-либо букве, что она будет обозначать положительную или отрицательную величину, мы можем затем в геометрическом примере, ограниченном гипотезами и рассуждениями, основанными на конкретных свойствах и отношениях фигур, претендовать на такую же вольность?
8.28. Разве изменение предположения или, как мы можем назвать это, fallacia suppositionis [20], не является софистикой, которой в значительной мере заражены обоснования современных теорий как в механической философии, так и в запутанной и сложной геометрии?
8.29. Разве мы в состоянии получить идею или понятие скорости отдельно (distinct) от ее измерений и отдельно от них, как мы можем получить понятие о теплоте отдельно от градусов на термометре, которыми она измеряется, и обособленно от них? и разве не это допускается в рассуждениях современных аналитиков?
8.30. Разве можно постичь движение в точке пространства? и если нельзя постичь движение, разве можно постичь скорость? и если нет, разве можно постичь первую или последнюю скорость в простом пределе, первоначальном или конечном, дескриптивного пространства? \
8.31. Разве там, где нет приращений, может быть какое-либо соотношение приращений? Разве можно считать нули пропорциональными реальным величинам? Или: говорить об их пропорциях — разве не значит нести чепуху? Л также в каком смысле должны мы понимать отношение поверхности к линии, площади к ординате? и разве можно говорить, что образы или числа, действительно выражающие величины, не являющиеся однородными, тем не менее выражают свое отношение друг к другу?
403
8.32. Если возможна квадратура всех определяемых окружностей, разве круг в сущности не так же сводится к квадрату, как парабола? Или разве в действительности площадь, ограниченная параболой, может быть измерена более точно, чем круг?
8.33. Разве не было бы более правильным применять [в вычислениях] разумное приближение, чем пытаться добиться точности при помощи софистики?
8.34. Разве не более приличествовало бы действовать путем проб и индукций, чем притворяться, будто имеется доказательство, хотя оно основано на ложных принципах?
8.35. Разве нет способа дойти до истины, хотя принципы не научны, а ход рассуждений не верен? и разве такой способ следует называть наукой, а не уловкой (knack)?
8.36. Разве может быть наука о выводах, если нет науки о принципах? и разве может человек иметь научные принципы, не понимая их? И, следовательно, разве математики нашего времени поступают как люди науки, прилагая намного больше усилий для применения своих принципов, чем для их понимания?
8.37. Разве величайший гений, сражающийся с ложными принципами, не может быть поставлен в тупик? и разве можно получить точные квадратуры без новых postulate или допущений? и если нет, разве не следует те допущения, которые являются разумными и последовательными, предпочесть противоположным? См. § 28 и 29.
8.38. Разве утомительные расчеты в алгебре и флюксии являются наиболее подходящим способом для совершенствования ума? и разве тот факт, что люди привыкли рассуждать целиком и полностью о математических внаках и фигурах, не ставит их в тупик относительно того, как рассуждать без этих знаков и фигур?
8.39. Какую бы сноровку ни приобрели аналитики в постановке задач или нахождении соответствующих выражений для математических величин, разве она необходимо влечет за собой соответствующую ей способность постигать другие вопросы и выражать их суть дела?
404
8.40. Разве не является общим положением или правилом, что один и тот же коэффициент, делящий равные произведения, дает равные частные? и тем не менее разве может быть такой коэффициент выражен через 0, т. е. нулем? Или разве может кто-нибудь сказать, что если уравнение 2×0=5×0 разделить на 0, то частные в обеих частях будут равны? В силу этого разве не может дело обстоять так, что какое-либо правило будет справедливо в отношении всех величин и тем не менее не будет распространяться на нуль или включать нуль? и разве подведение нуля под понятие «величина» не привело людей к ложным рассуждениям?
8.41. Разве в самых общих рассуждениях о равенствах и пропорциях нельзя доказывать так же точно, как в геометрии? Разве в таких доказательствах люди не обязаны придерживаться того же строгого хода рассуждения, как в геометрии? и разве такие их рассуждения не выводятся из тех же самых аксиом, которые приняты в геометрии? В силу этого разве алгебра не является такой же истинной наукой, как и геометрия?
8.42. Разве люди не могут рассуждать при помощи образов (species) так же, как при помощи слов? Разве в обоих случаях не действуют те же самые правила логики? и разве у нас нет права ожидать и требовать одинакового доказательства в обоих случаях?
8.43. Разве алгебраист, флюксионист, геометр или вообще всякий человек, который что-то доказывает, может ожидать снисхождения за неясные принципы или неправильные рассуждения? и разве алгебраическое обозначение или образ может в конце действий толковаться в таком смысле, какой не мог быть ему придан вначале? Или разве может любое конкретное предположение подойти под общее правило, которое несовместимо с его обоснованием?
8.44. Разве различие между простым вычислителем и человеком науки не состоит в том, что один вычисляет на основе ясно понятых принципов и при помощи четко доказанных правил, а другой нет?
8.45. Хотя геометрия является наукой, алгебра признается за науку, а аналитический метод считается самым превосходным из всех, тем не менее разве в применении анализа к геометрии не могли бы оказаться допущенными ложные принципы и неправильные методы рассуждения?
8.46. Хотя алгебраические рассуждения всегда признаются справедливыми, когда они ограничиваются знаками или образами как общими представителями вели-
405
чин, тем не менее разве вы не можете впасть в ошибку, если, ограничивая их применение тем, что они обозначают конкретные вещи, вы не ставите себе ограничений в т м смысле, чтобы размышлять в соответствии с характером таких конкретных вещей? и разве такую ошибку следует отнести только за счет одной алгебры?
8.47. Разве не представляется так, что цель современных математиков состоит скорее в том, чтобы при помощи уловки (artifice) получить выражение, а не в том, чтобы при помощи доказательства возвыситься до науки?
8.48. Разве не может быть здравой (sound) метафизики, так же как и ложной? Правильной (sound), так же как и неправильной, логики? и разве не может современный анализ быть подведен под одно из этих определений, а если так, то под которое из них?
8.49. Разве в действительности не существует philosophia prima, определенная трансцендентальная наука, стоящая выше математики и охватывающая более широкие вопросы, которую нашим современным аналитикам, может быть, следовало бы изучать, а не презирать?
8.50. Разве со времени открытия математических наук среди математиков не происходили вечные споры и дискуссии? и разве это не снижало очевидности их методов?
8.51. Разве может что-нибудь иное, кроме метафизики и логики, раскрыть глаза математикам и освободить их от тех трудностей, которые ими испытываются?
8.52. Разве можно, с учетом общепринятых принципов, какую-либо величину свести к нулю путем какого-либо деления или разделения, даже если провести его насколько можно дальше?
8.53. Если целью геометрии является практика, эта практика есть измерение, а мы измеряем только поддающиеся определению протяженности, то разве отсюда не следует, что неограниченные приближения полностью отвечают цели (intention) геометрии?
8.54. Разве те же самые дела, которые ныне совершаются с помощью бесконечно малых величин, не могут быть совершены с помощью величин конечных? и разве не было бы это огромным облегчением для воображения и разума математиков?
406
8.55. Разве могут все эти любящие математику физики, анатомы и другие, имеющие дело с животной стороной жизни, которые со слепой верой признают теорию флюксий, без стыда оскорблять других людей за то, что не верят тому, чего не понимают?
8.56. Разве корпускулярная, экспериментальная и математическая философия, столь культивируемая за последнее столетие, не поглощает слишком много внимания, определенную часть которого можно было бы с пользой применить для других целей?
8.57. Разве из-за этой и других действующих в том же направлении причин умы думающих людей не находятся в подавленном состоянии, что унижает и притупляет более высокие способности? и разве не этим мы можем объяснить ту узость и тот фанатизм, которые преобладают среди многих людей, считающихся учеными, их неспособность к вещам моральным, интеллектуальным и теологическим, их склонность измерять все истины при помощи чувства и опыта животной жизни?
8.58. Разве то, что одни и те же люди восхищаются великим автором за его флюксии и высмеивают его за религиозность, действительно является следствием размышления?
В.59. Если некие философы-virtuosi нашего века не религиозны, разве можно сказать, что из-за недостаточности веры?
8.60. Разве не было бы более справедливым и обоснованным рекомендовать религиозные положения на основе их последствий, чем доказывать математические принципы на основе сделанных из них выводов?
8.61. Разве не было бы менее предосудительным признавать положения, стоящие
