ковариантными координатами тензора исчезает. В алгебре тензооктанионов подобное обстоятельство, хотя и даёт свой эффект отнюдь не всегда, уже не выполняется.
Алгебры гиперкомплексных чисел представляют собой объединение алгебраических объектов, имеющих «базис». Данный базис состоит из конечного числа образующих, из которых только одна 1 (единица) является вещественной, а все остальные оказываются мнимыми величинами.
Когда же у гиперкомплексного числа коэффициент при действительной образующей равен 0 (нулю), то оно называется «чисто мнимым гиперкомплексным числом». Применительно к алгебре тензооктанионов в таком случае следует говорить о «чисто мнимом тензооктанионе».
Нередко возникают ситуации, когда от 0 (нуля) бывает отличным только коэффициент при действительной единице. Подобное гиперкомплексное число, а в случае алгебры тензооктанионов, такой тензооктанион в обоих случаях называется «действительным числом», каковым он и является на самом деле.
Комплексное сопряжение. В математике для гиперкомплекстных чисел определена «операция комплексного сопряжения». В ходе её осуществления коэффициент при действительной единице остаётся прежним, а находящиеся при мнимых единицах величины изменяют знак.
Операция сопряжения даёт «комплексно сопряжённое гиперкомплексное число». Считая действительную часть гиперкомплексного числа z функцией Re(z) от него, а мнимую часть – функцией Im(z), само число z и ему комплексно сопряжённое записывается, соответственно, при помощи первой и второй формул блока формул (ФМ1.1).
(ФМ1.1)
Левая часть второй формулы блока формул (ФМ1.1) демонстрирует метод обозначения комплексно сопряжённого числа. Он заключается в написание черты над исходным гиперкомплексным числом.
Совокупность любого гиперкомплексного числа и комплексно сопряжённого ему гиперкомплексного числа называется «сопряжёнными гиперкомплексными числами». В случае тензооктанионов для упоминания о таком факте станет говориться о «сопряжённых тензооктанионах».
Модуль гиперкомплексного числа. При произведении друг на друга любых сопряжённых гиперкомплексных чисел всегда получается действительное число. Оно равно сумме квадратов коэффициентов любого сомножителя.
Данное число представляет собой квадрат модуля любого из исходных сопряжённых гиперкомплексных чисел. Положительная ветвь квадратного корня из квадрата модуля считается «модулем гиперкомплексного числа».
Таблица Кэли. Согласно определению алгебры, её элементы могут между собой складываться и перемножаться, давая элементы той же самой алгебры. Самые сложные в таких преобразованиях являются свойства операции умножения.
В случае конечномерных алгебр объединение результатов данных перемножений сводится в частично симметричную и частично антисимметричную «таблицу Кэли», определяемую в каждой точке алгебры, Для прямолинейной алгебры тензооктанионов её таблица Кэли однородна всюду и имеет вид, представленный в таблице ФМ1.1
Таблица ФМ1.1. Таблица Кэли алгебры тензооктанионов.
1
i
j
k
f
q
m
n
1
1
i
j
k
f
q
m
n
i
i
-1
n
-m
q
f
k
-j
j
j
-n
-1
q
m
-k
f
i
k
k
m
-q
-1
n
j
-i
f
f
f
-q
-m
-n
-1
i
j
k
q
q
-f
-k
j
-i
-1
-n
m
m
m
K
-f
-i
-j
n
-1
-q
n
n
-j
i
-f
-k
-m
q
-1
Видно, что строки и столбцы таблицы ФМ1.1 характеризуются образующими алгебры тензооктанионов. Действительная единица обозначается символом 1, а мнимые единицы всеми прочими символами из числа используемых.
Левым сомножителем характеризуется строки таблицы ФМ1.1, а правым, разумеется, столбцы. Результат произведения любых двух образующих находится на пересечении определяемых ими строки и столбца.
Результат произведения образующих алгебры гиперкомплексных чисел вообще, и алгебры тензооктанионов, в частности, практически всегда зависит от порядка расположения сомножителей. Исключение составляют случаи, когда производится произведение образующей на саму себя или когда одним из сомножителей является действительная единица 1.
Во всех прочих случаях перемножения ничего подобного уже не происходит. В случае прямоугольной алгебры тензооктанионов при перемене мест сомножителей в таких операциях изменяется знак результата произведения.
Умножение любой образующей на действительную единицу 1 даёт её саму. Перемножение любой мнимой единицы на саму себя или, как бы ещё сказали математики, её квадрат, равен –1 (минус единице).
Его можно трактовать как действительную единицу 1, взятую с обратным знаком. Конечно же, оба последних упомянутых результата справедливы в любой алгебре гиперкомплексных чисел.
Особенности криволинейной алгебры тензооктанионов. Общим случаем является применение криволинейной алгебры тензооктанионов. При переходе от прямолинейной алгебры тензооктанионов к криволинейной алгебре тензооктанионов части таблицы Кэли, записанные в таблице ФМ1.1 наклонным жирным шрифтом, не изменяются.
Содержимое всех прочих ячеек таблицы Кэли, выделенных в таблице ФМ1.1 прямым жирным шрифтом, изменяется. Подобное изменение для всех отмеченных элементов таблицы Кэли происходит согласованно.
Однако, конкретный его вид в настоящей книге не понадобится. Как следствие, он и не рассматривается.
В криволинейном случае в каждой точке алгебры тензооктанионов её матрица Кэли всегда может быть локально приведена к виду, показанному в таблице ФМ1.1. Предпосылкой данного факта является ненулевые значения внешней дифференциальной формы любых четырёх различных образующих алгебры тензооктанионов в любой её точке.
Компоненты тензооктаниона. Из таблицы ФМ1.1 следует, что образующие алгебры тензооктанионов можно разделить на четыре подгруппы по их типам. Аналогично получается и родственное разделение компонент тензооктанионов:
· действительная единица 1 считается «временной контравариантной компонентой»;
· мнимая единица f считается «временной ковариантной компонентой»;
· мнимые единицы i, j и k относятся к «пространственной контравариантной компоненте»;
· мнимые единицы q, m и n относятся к «пространственной ковариантной компоненте».
Отметим, что временная контравариантная компонента тензооктаниона является «действительной частью тензооктаниона». Все прочие компоненты тензооктаниона относятся к «мнимой части тензооктаниона».
Условимся называть приведённую классификацию компонент тензооктанионов «базовой классификацией компонент тензооктанионов» или просто «базовой классификацией компонент». Она не является единственной используемой в настоящем приложении классификацией компонент тензооктанионов.
