Договоримся объединение контравариантных компонент тензооктаниона называть «контравариантной компонентой тензооктаниона» или «контравариантной компонентой», обозначая их «звёздочкой» «*» в правом нижнем углу изображающих их символов. Совокупность же ковариантных компонент тензооктаниона станем именовать «ковариантной компонентой тензооктаниона» или «ковариантной компонентой», помечая связанные с ними символы «звёздочкой» «*» в правом верхнем углу.

Имеющий только контравариантную компоненту тензооктанион условимся считать «контравариантным тензооктанионом», а тензооктанион с одной лишь ковариантной компонентой договоримся рассматривать как «ковариантный тензооктанион». Вместе временные компоненты тензооктаниона станем понимать как «временную компоненту тензооктаниона» или «временную компоненту», а объединение его пространственных компонент будем считать «пространственной компонентой тензооктаниона» или «пространственной компонентой».

Договоримся обозначать временную компоненту тензооктаниона символом 0 в левом нижнем углу символа. Пространственная компонента тензооктаниона, будучи вектором, и обозначаться станет как вектор.

При переходе на векторную запись, символы «звёздочек» в правых углах символов, как верхнем, так и нижнем, а также символ 0 из левого нижнего угла будут опускаться. Но, все прочие их части без изменений станут переноситься в запись, использующую символику векторного анализа.

                Тождественное сравнение тензооктанионов. В процессе работы будет применяться операция «тождественного сравнения тензооктанионов». Она постулирует, что два тензооктаниона тогда и только тогда будут тождественно равны друг другу, когда все их компоненты тождественно совпадают между собой.

Алгебраические операции в алгебре тензооктанионов. Для любой алгебры таблица Кэли является отправной точкой изучения свойств осуществляемых в её рамках алгебраических операций. Одновременный учёт характерной для операции сложения той же алгебры аддитивности или нечувствительности результата операции сложения к порядку слагаемых позволяет получить много свойств изучаемой алгебры.

Отправная точка. Как и в векторном анализе станем использовать для обозначения скалярного произведения векторов круглые скобки, а прямые угловые скобки применим для записи векторного произведения векторов. В рассматриваемом случае прямолинейной алгебры тензооктанионов подобный подход позволяет записать «исходную формулу умножения двух тензооктанионов» как формулу (ФМ1.2)

(ФМ1.2)

Нетрудно увидеть, что исходная формула перемножения двух тензооктанионов отличается от привычных правил алгебры алгоритмом раскрытия скобок. Отличие состоит в наличии последнего, пятого члена.

В формуле (ФМ1.2) у элементов перемножаемых тензооктанионов отсутствуют «звёздочки», определяющие в обозначении каждой компоненты тензооктаниона её тип. Данный факт не является ошибкой автора, а следствием того, что формула (ФМ1.2) представляет собой основу преобразований или применяемый во всех случаях «каркас».

Формулы трансформации результатов умножений. Подобный «каркас» и приведённые ниже «формулы трансформации результатов умножений» позволяют разобраться в любой относящейся к делу ситуации. Опираясь на них, и нужно определять тип компонент результата перемножения двух тензооктанионов в их базовой классификации.

В самом общем случае, при перемножении двух тензооктанионов, каждый из них следует разбить на две части, являющиеся их контравариантными и ковариантными компонентами. Далее, следует применять исходную формулу умножения тензооктанионов столько раз, сколько нужно, не забывая производить трансформацию.

Начнём изложения формул трансформации результатов умножений с обсуждения правил умножения временных частей тензооктанионов. Все они сведены в формулы блока формул (ФМ1.3).

(ФМ1.3)

Коснёмся правил умножения, связанных со скалярным произведением пространственных компонент тензооктанионов. Соответствующие формулы приведены в формулах блока формул (ФМ1.4)

(ФМ1.4)

В алгебре тензооктанионов имеются умножения, дающие в результате различные компоненты пространственного типа. Подобные умножения определяются формулами блока формул (ФМ1.5).

(ФМ1.5)

Наличие в исходной формуле умножения двух тензооктанионов векторного произведения выделяет связанные с ними правила умножения. Данные правила перечисляются в формулах блока формул (ФМ1.6).

(ФМ1.6)

Имеется возможность перестановки слагаемых в скалярном произведении пространственных компонент тензооктанионов. Итоги таких перестановок приведены в формулах блока формул (ФМ1.7).

(ФМ1.7)

Разумеется, слагаемые могут переставляться и в векторном произведении. Подобные перестановки подчиняются правилам, записанным в виде формул блока формул (ФМ1.8).

(ФМ1.8)

Необходимо напомнить ещё раз, что в рамках алгебры тензооктанионов с действительными числами, которыми, также являются и временные контравариантные компоненты тензооктанионов, можно совершать любые действия, предусмотренным алгебраическими правилами. Здесь нет необходимости заботиться о трансформации получаемых результатов, и данный факт часто будет использоваться в дальнейшем без специальных оговорок.

Операция упрощения. Одно из главных преимуществ использования алгебры тензооктанионов перед тензорным исчислением даёт органически связанная с алгеброй тензооктанионов операция упрощения. Она, хотя и не имеет аналога в тензорном исчислении, но может быть объяснена с его позиций.

Дело в том, что в тензорном исчислении тензор иногда представляют таблицей определённой размерности. Тензооктанион, в зависимости от его свойств, также можно представить в виде такой таблицы.

Условимся называть подобное представление тензооктаниона «тонкой структурой тензооктаниона». Она бывает полезной при определении законов преобразования тензооктанионов при смене системы координат.

Очень важно то обстоятельство, что, если не учитывать расположение отдельных элементов в представляющей её упомянутой исходной таблице, тонкая структура тензооктаниона представима в виде некоторой суммы. Вдобавок, все такие слагаемые, сгруппированные по образующим, дают «упрощённую структуру тензооктаниона».

Условимся переход от тонкой структуры тензооктаниона к упрощённой структуре тензооктаниона называть «операцией упрощения». Один из примеров её применения показан в формуле (ФМ1.9).

(ФМ1.9)

Компоненты упрощённой структуры тензооктаниона выражаются через элементы его тонкой структуры. В рассматриваемом случае такая связь определяется формулами блока формул (ФМ1.10).

(ФМ1.10)

На первый взгляд может показаться, что наличие двух слагаемых с образующей 1 является ошибкой. Но, коль скоро алгоритмы их получения отличаются друг от друга, то имеет смысл разделять такие слагаемые.

В принципе в рамках операции упрощения один и тот же тензооктанион можно получить из разных тонких структур. Подобная неоднозначность снимается правила преобразования при смене системы координат.

Покажем одно применение операции упрощения. С такой целью перемножим два контравариантных тензооктаниона. Начальный шаг данной операции умножения приведён в соотношении (ФМ1.11).

(ФМ1.11)

Произведём трансформацию правой части соотношения (ФМ1.11). Подобный шаг позволит на базе соотношения (ФМ1.11) записать формулу (ФМ1.12).

(ФМ1.12)

Первое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к первому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) первой формулы блока формул (ФМ1.3). Второе слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) получается из второго слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) при учёте первой формулы блока формул (ФМ1.4), а третье слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования третьего слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.5).

Четвёртое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к четвёртому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) второй формулы блока формул (ФМ1.5). Пятое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования пятого слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.6).

Однако, тот же результат можно получить, используя общеизвестную для математиков операцию тензорного произведения тензорного анализа, с последующим применением к полученному результату операции упрощения. Рассматривая первый тензооктанион как вектор-столбец, а второй тензооктанион как вектор-строку, получаем результат тензорного произведения в формуле (ФМ1.13).

(ФМ1.13)

Элементарная проверка показывает, что от правого выражения формулы (ФМ1.13) можно перейти к правому выражению формулы (ФМ1.12). Конечно же, такой переход делается при помощи операции упрощения.

Двойное векторное произведение. В алгебре тензооктанионов, как и в векторном анализе, для пространственных компонент тензооктанионов можно определить операцию двойного векторного произведения. Специфика алгебры тензооктанионов, конечно же, накладывает на неё свой оттенок.

Исходная формула. В качестве основы, разумеется, следует взять формулу двойного векторного произведения векторного анализа. Она приведена как формула (ФМ1.14).

(ФМ1.14)

Одной формуле двойного векторного произведения векторного анализа соответствуют её 8 (восемь) модификаций в алгебре тензооктанионов. В свою очередь каждая модификация формулы имеет по 4 (четыре) варианта своей реализации.

Требующиеся результаты. В настоящей книге из всего отмеченного разнообразия станут использоваться только 4 (четыре) формулы. Они записаны как формулы блока формул (ФМ1.15).

(ФМ1.15)

Формулы блока формул (ФМ1.15) будут доказываться путём трансформации их левых и правых частей с последующей проверкой на совпадение полученных результатов между собой. С учётом данного обстоятельства и формулы (ФМ1.14) станут подбираться знаки слагаемых правых частей доказываемых формул.

Первая формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части первой формулы блока формул (ФМ1.15). Согласно третьей формуле блока формул (ФМ1.6), компонента [b*,c*] тензооктаниона является пространственной контравариантной компонентой со знаком минус.

Первая формула блока формул (ФМ1.6) показывает, что компонента [a*.[b*,c*]] тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком минус. Поэтому после трансформации первое слагаемое правой части первой формулы блока формул (ФМ1.15) должно иметь знак минус, а второе знак плюс.

Учитывая первую формулу блока формул (ФМ1.4) приходим к выводу о том, что компонента (a*,c*) тензооктаниона оказывается временной контравариантной компонентой со знаком минус. По причине действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

В результате, первое слагаемое правого выражения первой формулы блока формул (ФМ1.15) b*(a*,.c*) оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Что и требовалось доказать.

Учитывая вторую формулу блока формул (ФМ1.4), получаем, что компонента (a*,b*) тензооктаниона является временной ковариантной компонентой со знаком плюс. Опираясь на пятую формулу блока формул (ФМ1.5), заключаем, что компонента (a*,b*)c* тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком минус.