Однако, вспоминая о том, что второе слагаемое правой части первой формулы блока формул (ФМ1.15) само имеет знак минус, получаем, что оно является ковариантной компонентой пространственного типа со знаком плюс. Полученный результат завершает доказательство истинности первой формулы блока формул (ФМ1.15).

Вторая формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части второй формулы блока формул (ФМ1.15). Первая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [b*,c*] тензооктаниона является пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс.

Вторая формула блока формул (ФМ1.6) показывает, что компонента [a*,[b*,c*]] тензооктаниона оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком плюс. Поэтому после трансформации первое слагаемое правой части второй формулы блока формул (ФМ1.15) должно иметь знак плюс, а второе, соответственно, знак минус.

Учитывая первую формулу блока формул (ФМ1.4), приходим к выводу о том, что компонента (a*,c*) тензооктаниона является временной контравариантной компонентой со знаком минус. По причине действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

Далее проведённое преобразование позволяет нам утверждать, что первое слагаемое правого выражения второй формулы блока формул (ФМ1.15) b*(a*,c*) является пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Но, вспоминая о том, что первое слагаемое правой части второй формулы блока формул (ФМ1.15) само имеет знак минус, получаем, что в конечном итоге оно оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком плюс.

Учитывая первую формулу блока формул (ФМ1.4), приходим к выводу о том, что компонента (a*.b*) тензооктаниона является временной контравариантной компонентой со знаком минус. Из-за действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

В результате, второе слагаемое правого выражения первой формулы блока формул (ФМ1.15) (a*,b*)c* оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Полученный результат завершает доказательство истинности второй формулы блока формул (ФМ1.15).

Третья формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части третьей формулы блока формул (ФМ1.15). Вторая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [b*,c*] тензооктаниона является пространственной контравариантной компонентой со знаком плюс.

Согласно третьей формуле блока формул (ФМ1.6), компонента [a*,[b*,c*]] тензооктаниона оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Поэтому после трансформации первое слагаемое правой части третьей формулы блока формул (ФМ1.15) должно иметь знак минус, а второе, соответственно, знак плюс.

Учитывая четвёртую формулу блока формул (ФМ1.4), приходим к выводу о том, что компонента (a*,c*) тензооктаниона является временной контравариантной компонентой со знаком минус. По причине действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

Далее проведённое преобразование позволяет нам утверждать, что первое слагаемое правого выражения третьей формулы блока формул (ФМ1.15) b*(a*,c*) является пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Учитывая третью формулу блока формул (ФМ1.4), приходим также к выводу о том, что компонента (a*.b*) тензооктаниона является временной ковариантной компонентой со знаком минус.

Принимая во внимание восьмую формулу блока формул (ФМ1.5), находим, что компонента c*(a*,b*) тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс. Полученный результат завершает доказательство истинности третьей формулы блока формул (ФМ1.15).

Четвёртая формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части четвёртой формулы блока формул (ФМ1.15). Вторая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [b*,c*] тензооктаниона является пространственной контравариантной компонентой со знаком плюс.

Первая формула блока формул (ФМ1.6) показывает, что компонента [a*,[b*,c*]] тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс. Поэтому после модификации первое слагаемое правой части четвёртой формулы блока формул (ФМ1.15) должно иметь знак плюс, а второе, соответственно, знак минус.

Учитывая вторую формулу блока формул (ФМ1.4), получаем, что компонента (a*,c*) тензооктаниона является временной ковариантной компонентой со знаком плюс. Опираясь на четвёртую формулу блока формул (ФМ1.5), находим, что компонента b*(a*,c*) тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс.

Исходя из первой формулы блока формул (ФМ1.4), заключаем, что компонента (a*,b*) тензооктаниона представляет собой временную контравариантную компоненту со знаком минус. Из-за действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

В результате, второе слагаемое правого выражения четвёртой формулы блока формул (ФМ1.15) (a*,b*)c* оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком минус. Полученный результат завершает доказательство истинности четвёртой формулы блока формул (ФМ1.15).

Смешанное произведение. В алгебре тензооктанионов, подобно тензорному анализу, определяется и смешанное произведение для пространственных компонент тензооктанионов. Как и двойное произведение, оно имеет свою специфику.

Исходная формула. В качестве основы вновь следует взять формулу смешанного произведения векторного анализа. В качестве её может быть использована любая из формул блока формул (ФМ1.16).

(ФМ1.16)

Необходимо отметить, что первая формула блока формул (ФМ1.16) применяется в векторном анализе чаще второй формулы блока формул (ФМ1.16). Но, в силу имеющейся специфики, в настоящей книге в качестве отправной точки станет фигурировать вторая формула блока формул (ФМ1.16).

На каждую из формул блока формул (ФМ1.16) векторного анализа сопоставляется её 8 (восемь) модификаций в алгебре тензооктанионов. В свою очередь каждая модификация имеет по 4 (четыре) варианта своей реализации.

Требующиеся результаты. В настоящей книге подобное разнообразие сузится только до 3 (трёх) используемых формул. Они записаны как формулы блока формул (ФМ1.17).

(ФМ1.17)

Формулы блока формул (ФМ1.17) вновь станут доказываться путём трансформации их левых и правых частей с последующей проверкой на совпадение полученных результатов между собой. С учётом данного обстоятельства и второй формулы блока формул (ФМ1.16) станут подбираться знаки слагаемых правых частей доказываемых формул.

Первая формула блока формул (ФМ1.17). Рассмотрим выражение левой части первой формулы блока формул (ФМ1.17). Первая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [a*,b*] тензооктаниона является пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс.

Согласно четвёртой формулы блока формул (ФМ1.4) компонента ([a*,b*],c*) тензооктаниона оказывается временной контравариантной компонентой со знаком минус. Вторая формула блока формул (ФМ1.6) показывает, что компонента [b*,с*] тензооктаниона есть пространственная контравариантная компонента со знаком плюс.

Опираясь на первую формулу блока формул (ФМ1.4), заключаем, что компонента (a*,[b*,c*]) тензооктаниона является временной контравариантной компонентой со знаком минус. Данное замечание и доказывает истинность первой формулы блока формул (ФМ1.17).

Вторая формула блока формул (ФМ1.17). Рассмотрим выражение левой части первой формулы блока формул (ФМ1.17). Вторая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [a*,b*] тензооктаниона является пространственной контравариантной компонентой со знаком плюс.

Первая формула блока формул (ФМ1.4) показывает, что компонента ([a*,b*],c*) тензооктаниона оказывается временной контравариантной компонентой со знаком минус. Согласно третьей формуле блока формул (ФМ1.6), компонента [b*,с*] тензооктаниона представляет собой пространственную контравариантную компоненту со знаком минус.

Согласно первой формуле блока формул (ФМ1.4), компонента (a*,[b*,c*]) тензооктаниона является временная контравариантная компонента со знаком плюс. Поскольку выражение правой части второй формулы блока формул (ФМ1.17) само имеет знак минус, то находим, что выражение правой части второй формулы блока формул (ФМ1.17) есть временная ковариантная компонента со знаком минус, чем и доказывается истинность второй формулы блока формул (ФМ1.17).

Третья формула блока формул (ФМ1.17). Рассмотрим выражение левой части третьей формулы блока формул (ФМ1.17). Первая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [a*,b*] тензооктаниона является пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс.

Согласно третьей формулы блока формул (ФМ1.4) компонента ([a*,b*],c*) тензооктаниона оказывается временной ковариантной компонентой со знаком минус. Первая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [b*,с*] тензооктаниона представляет собой пространственную ковариантную компоненту со знаком плюс.

Исходя из второй формулы блока формул (ФМ1.4) видно, что компонента (a*,[b*,c*]) тензооктаниона является временной ковариантной компонентой со знаком плюс. Выражение правой части третьей формулы блока формул (ФМ1.17) само имеет знак минус, и потому выражение правой части третьей формулы блока формул (ФМ1.17) есть временная ковариантная компонента со знаком минус, чем и доказывается истинность третьей формулы блока формул (ФМ1.17).

Прочие формулы. В алгебре тензооктанионов, разумеется, имеются и иные правила, происходящие от аналогичных процедур обычного векторного анализа. К их числу относится тождественное равенство 0 (нулю) следующих выражений:

·  векторное произведение любого вектора на самого себя;

·  любое смешанное произведение, в котором дважды встречается один и тот же вектор.

Кроме того, в настоящей книге станут применяться формулы для раскрытия составного слагаемого скалярного и векторного произведений. Они собраны в формулах блока формул (ФМ1.18).

(ФМ1.18)

Отсутствие «звёздочек» у компонентов тензооктаниона в формулах блока формул (ФМ1.18), так же, как и в формуле (ФМ1.2), не есть ошибка автора. Как и в случае формулы (ФМ1.2), данный факт является следствием того, что формулы блока формул (ФМ1.18) представляют собой базовые правила применяемого во всех аналогичных случаях «каркаса».

Условие альтернативности. С точки зрения древнеарийской философии алгебра тензооктанионов имеет много ценных свойств. Например, она является гиперкомплексной алгеброй с наибольшем числом образующих, для которой ещё справедливо «условие альтернативности», записываемое для двух тензооктанионов a и b как формула (ФМ1.19).

(ФМ1.19)

Связанная со свастиками операция умножения, в отличие от операции сложения, обладает признаками творчества. Если встать на такую точку зрения, то условие альтернативности можно рассматривать как постулат о Милосердии Бога.

Усложнение алгебраических конструкций. Приведённые алгебраические операции являются основой для получения усложнённых вариантов алгебраических объектов и характеризующих их алгебраических действий. Как и в случае иных алгебр, если оставаться в заданных базисных рамках, обусловленных спецификой алгебры тензооктанионов, никакого верхнего предела сложности при создании новых алгебраических объектов не существует.

Элементы дифференциального исчисления в алгебре тензооктанионов. Над алгеброй тензооктанионов определяются и дифференциальное исчисление. Как и прочие алгебраические операции, оно имеет свои особенности.

Базовые операторы дифференцирования. Единственной неподвижной точкой операций