название «Математика. Утрата определённости»1.
Необходимо отметить, что, несмотря на засилье сионистов, они даже доступны и простому смертному. И о том, чему они посвящены, без какой-либо туманной завесы говорится уже в их вступлении2.
«Эта книга – о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль математики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобще уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойдённый образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги – рассказ о том, как человек пришёл к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики. Краткий обзор избранной темы содержится уже во введении. Отдельные разрозненные факты можно было бы собрать воедино, если проследить историю математики во всех деталях. Но тем, кого интересуют, главным образом, разительные перемены, происшедшие в наших взглядах на природу и роль математики, более доступен и понятен прямой подход, свободный от второстепенных частностей и, тем самым, позволяющий выделить общие идеи. Возможно, многие математики предпочли бы вести откровенный разговор о современном статусе своей науки в узком кругу профессионалов. Публичное обсуждение возникающих трудностей они считают таким же проявлением дурного вкуса, как разглашение перед посторонними семейных тайн. Но мыслящие люди должны отчётливо сознавать сильные и слабые стороны тех средств, которыми они располагают. Ясное понимание ограниченности (равно как и возможностей) того или иного подхода приносит несравненно больше пользы, чем слепая вера, способная исказить наши представления или даже привести к краху»
Необходимо отметить, что речь идёт не только о математике, но и о мировоззрении. Иначе говоря, если говорить по существу, то обсуждается, ни много, нимало, крах сионистских мировоззренческих стереотипов.
Обескураживающая реальность. Итак, для сионистов всё «то, что ранее казалось надёжной твердью, в действительности оказалось предательской топью»3. Впрочем, это ещё полбеды.
Настоящей бедой является то обстоятельство, что информация о столь глубоком кризисе науки объективно не представлена всему человечеству. Объяснить данный факт можно только существованием филиала международного еврейского заговора в науке, и ниже в настоящей главе такой точке зрения не раз будут даны подтверждения.
Проблема ума и безумия. Согласно известному анекдоту, пессимист отличает от оптимиста тем, что пессимист скажет про заполненную наполовину своей ёмкости бутылку, что она наполовину пустая, а оптимист, соответственно, что она наполовину полная. Подобно столкновению таких двух точек зрения М. Клайн в альтернативу своей книге «Математика. Утрата определённости» выпустил ещё и книгу «Математика. Поиск истины»4.
Если обобщить содержание данных двух книг в одной фразе, то будет недоумение по поводу того, как математика, утрачивая определённость, каким-то образом сумела найти истину. В таком свете вовсе не удивительно, что среди деятелей сионисткой науки достаточное число тех, у кого голова является местом пересечения ума и безумия.
И здесь нет нагнетания страстей и эмоций вместе с использованием недопустимых методов для дискредитации противника, ибо сам М. Клайн задаётся вопросом: «Может ли тело продолжать жить, если разум и дух помутились?»5. И сам на него отвечает: «Может! И это относится и к человеку, и к математике»6.
Однако, поскольку «краткий обзор избранной темы содержится уже во введении», то автор даёт возможность М. Клайну высказаться по данному вопросу без спешки, каких-либо изъятий, хотя и вкратце, ибо он такие вещи может делать. Принадлежащая его перу цитата целиком составляет содержимое следующего подпараграфа7.
О чём не часто говорят? Одни трагедии порождают войны, голод, чуму, другие – в мире идей – вызваны ограниченностью человеческого разума. Эта книга – горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю математики – наиболее древнего и не имеющего себе равных творений людей, плода их неустанных и многообразных усилий, направленных на использование способности человека мыслить.
Можно также сказать, что эта книга на общедоступном уровне повествует о расцвете и закате величия математики. Позволительно спросить: уместно ли говорить об упадке математики в наше время, когда её границы расширились, когда научная деятельность в области математики ведётся во всё возрастающих масштабах и достигла небывалого расцвета, когда ежегодно публикуются тысячи работ по математике, всё большее внимание привлекают вычислительные машины и когда поиск количественных соотношений захватывает всё новые области, особенно в биологических и социальных науках? В чём же причина трагедии? Прежде чем ответить на эти вопросы, следует напомнить, какие достижения математики снискали ей высочайший авторитет, всеобщее признание и славу.
С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (у колыбели которой стояли древние греки) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.
За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий. И хотя новые факты устанавливались в результате сотрудничества математики и естествознания, опирающегося на данные, имеющие нематематический, скажем физический, характер, они казались столь же непреложными, как и принципы самой математики, потому что предсказания, которые делались на основе математических теорий в астрономии, механике, оптике и гидродинамике, необычайно точно совпадали с данными наблюдений и экспериментов. Математика давала ключ к глубокому постижению явлений природы, к пониманию, заменявшему тайну и хаос законом и порядком. Человек получил возможность с гордостью взирать на окружающий мир и заявлять, что ему удалось раскрыть многие тайны природы, по существу оказавшиеся серией математических законов. Убеждением в том, что истины открывают математики, проникнуто известное высказывание Лагранжа: «Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная, и Ньютон открыл её законы».
Для получения своих удивительных, мощных результатов математика использовала особый метод – метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами; этот метод знаком каждому школьнику – прежде всего из курса геометрии. Природа дедуктивного вывода такова, что она гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения. Эту особенность математики многие отмечают и поныне. Всякий раз, когда нужно привести пример надёжных и точных умозаключений, ссылаются на математику.
Успехи, достигнутые математикой с помощью дедуктивного метода, привлекли к ней внимание величайших мыслителей. Математика наглядно продемонстрировала возможности и силу человеческого разума. Почему бы не воспользоваться, спросили мыслители, столь хорошо зарекомендовавшим себя дедуктивным методом для постижения истин там, где прежде безраздельно властвовали авторитет, традиция и привычка, – в философии, теологии, этике, эстетике и социальных науках? Человеческий разум, столь эффективный в математике и в математической физике, мог бы стать арбитром помыслов и действий также и в других областях, приобщив их к красоте истины и истинности красоты. В эпоху, получившую название эпохи Просвещения (или Века разума), методология математики и даже некоторые математические понятия и теоремы были применены к другим областям человеческой деятельности.
Обращение к прошлому – плодотворный источник познания настоящего. Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же необычные алгебры вынудили математиков исподволь – и крайне неохотно – осознать, что и сама математика, и математические законы в других науках не есть абсолютные истины. Например, математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдаемыми данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой – следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивался вывод о том, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян. Осознание этой потери было первым из бедствий, обрушившихся на математику.
В связи с появлением уже упоминавшихся новых геометрий и алгебр математикам пришлось пережить шок и другого рода. Математики настолько уверовали в бесспорность своих результатов, что в погоне за иллюзорными истинами стали поступаться строгостью рассуждений. Но когда математика перестала быть сводом незыблемых истин, это поколебало уверенность математиков в безукоризненности их теорий. Тогда им пришлось взяться за пересмотр своих достижений, и тут они, к своему ужасу, обнаружили, что логика в математике совсем не так уж и тверда, как думали их предшественники.
По существу развитие математики имело алогичный характер. Это алогичное развитие включало в себя не только неверные доказательства, но и пропуски в доказательствах и случайные ошибки, которых можно было бы избежать, если бы математики действовали бы более осмотрительно. Такие досадные изъяны отнюдь не были редки. Но алогичность развития математики заключалась также в неадекватном толковании понятий, в несоблюдении всех необходимых правил логики, в неполноте и недостаточной строгости доказательств. Иными словами, чисто логические соображения подменялись интуитивными аргументами, заимствованными из физики, апелляциями к наглядности и ссылками на чертежи.
Но и когда всё это было установлено, математика по-прежнему оставалась эффективным средством описания природы. Кроме того, математика сохранила привлекательность и сама по себе как область чистого знания, и в умах многих, особенно пифагорейцев, являлась частью реальности, представляющей самостоятельный интерес. Учитывая это, математики решили восполнить пробел в логическом каркасе своей науки и перестроить заново те её части, в которых обнаружились изъяны. Движение за математическую строгость приобрело широкий размах во второй половине XIX в.
К началу XX в. математики стали склоняться к мнению, что желанная цель, наконец, достигнута. И хотя им пришлось признать, что математика даёт лишь приближённое описание природы, и многие утратили веру в то, что природа основана на математических принципах, математики по-прежнему продолжали возлагать большие надежды на проводимую ими реконструкцию логической структуры математики. Но не успели смолкнуть восторги по поводу якобы достигнутых успехов, как в реконструированной математике в свою очередь обнаружились противоречия. Обычно эти противоречия принято называть парадоксами – эвфемизм, позволяющий тем, кто его использует, обходить молчанием кардинальное обстоятельство: там, где есть противоречия,
