задачами.
Озарение. Одним из общих свойств нашего опыта при попытках решения любой проблемы был трудный старт в состоянии полной неизвестности. Но, связан он был не со сложностью применяемой методики, а с трудностями выбора первого достаточно верного направления движения.
По мере же накопления опыта скорость продвижения вперёд возрастала. Подобное, конечно же, радовало бы нас более, если бы не то обстоятельство, что в качестве платы за реальное продвижение нам не приходилось бы платить возрастанием преодолеваемых трудностей, поскольку работать приходилось всё более и более ювелирно.
Вполне возможно, что на некоторой итерации нам удавалось решить проблему абсолютно точно без её чёткого понимания. Но, как бы мы к такому не стремились, подобное стечение обстоятельств почти всегда бывало также маловероятно, особенно в принципиальных и важных случаях, как и попытка с первого раза решить ситуацию.
Иначе говоря, решение проблемы, особенно сложной, всегда требовало от нас проявления творческого подхода. Правда, с некоторой попытки или, как говорят математики, «итерации», чей номер заранее определить обычно не удаётся, все попытки решения проблемы начинали давать, пусть и в тенденции, всё лучшие и лучшие результаты.
И качество таких результатов, полученных при различных попытках, продолжало улучшаться до тех пор, пока мы уже не стали их отличать друг от друга, хотя бы по принципиальным моментам. Подобный факт позволял нам утверждать, что мы либо «находились» где-то рядом с настоящим решением, либо уже нашли его.
Со временем же, не важно, либо находясь рядом с точным решением, либо стремясь к нему, пусть и в тенденции, мы, в конце концов, в момент «озарения» находили его или догадывались о виде и форме разыскиваемого нами идеала во всех его нюансах и деталях. И такое сбалансированное понимание ситуации позволяет утверждать, что всегда решение интересующей нас проблемы находится за конечное число шагов, хотя заранее об их числе ничего точного сказать нельзя.
Проведённое рассуждение показывает, что озарение наступает после прохождения пика трудностей. Оно сопровождается облегчением и пониманием грандиозности сделанных ранее шагов, включая ближайший путь решения, и потраченных для этого усилий, а также всех совершённых на таком пути ошибок, как вольных, так и невольных.
Необходимо отметить, что озарение свойственно и для проблем, не имеющих решения. В такой ситуации его смысл заключается в том, что конечного, пусть даже и неопределённого заранее, числа итераций достаточно для выработки понимания, что решаемая задача не имеет решения, проистекающего из её иллюзорного характера.
Алгебраическая структура познания. Найденный нами идеал, из-за последовательного отсечения всего лишнего, постоянно оставаясь на месте и в сфере действий наших поисков, оказывается «единственной неподвижной точкой» наших попыток его найти. Её единственность есть следствие того факта, что в момент окончания работы принципа сжимающихся отображений отсекать уже нечего, а всё нужное выкристаллизовалось, ибо «подобное познаётся подобным».
Единственная неподвижная точка обладает тем свойством, что всегда остаётся «на месте», а всё остальное «множество отбора», откуда делается выбор путём отсечения его части, нередко с учётом понимания перспективы осуществляемых шагов, сжимается к ней. Конечно же, такое сжатие происходит далеко не всегда, но, в любом случае, доминирует в перспективе, возможно, проходя через прежние состояния.
И потому, в отдельных случаях, не становящихся тенденцией, может происходить и «расширение» множества отбора. Иначе говоря, обсуждаемый процесс сжатия носит в основном циклический, а не строго последовательный характер.
Он представляют собой «принцип сжимающих отображений» или «метод сжимающих отображений». Его единственная неподвижная точка может обладать сложной структурой, и сама стать ареной действия ещё одного метода сжимающихся отображений.
Структура единственной неподвижной точки отражает специфику ситуации. Аналогичным свойством обладает и интерпретация единственной неподвижной точки как элемента своего окружения.
Связь принципа сжимающихся отображений с познанием показывает, что он представляет собой ни что иное, как здравый смысл и технологию познания окружающего мира на его основе. Как следствие, включающую метод сжимающихся отображений древнеарийскую философию разумно считать философией здравого смысла.
Опора на здравый смысл, как показывает опыт, нередко позволяет добиваться успеха и без формального образования. Настоящая глава, с прикладной точки зрения посвящается именно описанию «инструментария здравого смысла» или «инструментария древнеарийской философии».
Тип познания. Скорость сходимости метода сжимающихся отображений, разумеется, напрямую зависит от того, как будут делаться его итерации. В том случае, когда действия проводятся на основе как можно лучшей их согласованности с тем, что на самом деле требуется, несмотря на отсутствие факта его реализации, озарение наступит быстрее всего.
Дополненный отрицательной обратной связью такой тип поведения является самым лучшим среди всех прочих возможных вариантов. Он определяется как стремление к «устойчивости по предсказуемости», органически совмещаемое с разумными элементами творчества.
Ему можно противопоставить менее эффективный тип поведения на базе прогноза, построенного на прошлых данных. Устойчивость получаемых таким образом результатов является «устойчивостью по экстраполяции».
Разумеется, возможна ситуация полного отсутствия какого-либо прогнозирования будущего. Нет никаких сомнений в том, что худшего подхода к управлению, чем этот, если только сознательно не стремится к вредительству, не существует.
Усложнение базовой модели. При проведении рассуждений в настоящем параграфе предполагалось, что единственная неподвижная точка не отсекается от множества выбора методом сжимающихся отображений. Интересными являются следствия, вытекающие из факта снятия такого ограничения.
Как только данное обстоятельство произойдёт, мы узнаем о нём, если не сразу, то через конечное число шагов, хотя общее их количество заранее предсказать будет невозможно. Указанием на столь неприятное для нас событие станет явное понимание нами движения в неправильном направлении вкупе с осознанием, что сама проблема имеет решение.
И тогда нам во многом придётся всё начинать с начало. Единственной платой за наши предыдущие труды будет накопленный адекватный опыт.
Учитывая трудность выбора первого направления, он позволит нам творчески реализовать возможности нашего текущего положения, хотя нередко всем окружающим они будут казаться бесперспективными. Именно по такой причине стоит быть внимательным при анализе любой ситуации, поскольку, путь к успеху может лежать через воплощение возможностей, предоставляемых шансом, буквально пришедшим из-за угла.
Аксиома выбора. Поскольку математика создавалась как инструмент процесса познания окружающего мира, то было бы естественно ожидать, что метод сжимающихся отображений находит в ней самое широкое применение. При внимательном взгляде оказывается, что подобное предположение не лишено оснований.
И вот она! Наиболее общей математической формулировкой принципа сжимающихся отображений является «аксиома выбора». Но, несмотря на свою логичную позицию в процессе познания, она вплоть до начала XX–ого в. не была известна, хотя и использовалась неосознанно1.
«Критический дух математиков окреп и закалился в конце XIX-ого в., и, вступив в XX-ое столетие, они подвергли безжалостному пересмотру всё, что легко принимали на веру их предшественники. Им удалось обнаружить совершенно невинное на первый взгляд утверждение, которое ранее кочевало из доказательства в доказательство, не привлекая внимания. Утверждение это заключается в следующем: если имеется любой набор (конечный или бесконечный) множеств, то всегда можно, выбрав из каждого множества по одному элементу, составить из этих элементов новое множество. Так, от каждого штата из пятидесяти штатов США можно выбрать по одному жителю и составить из них группу из 50 человек. То, что это утверждение в действительности составляет специальную аксиому — так называемую аксиому выбора, математики осознали из работы Эрнста Цермело (1871-1953), опубликованной в 1904 г.»
Сформированных таким образом множеств может быть несколько. Важно, что существует хотя бы одно из них.
И такое на первый взгляд невинное утверждение вызвало множество споров среди математиков. Причиной их было то, что, как видно из приведённой цитаты, гарантируя возможность выбора, «аксиома выбора не требует, чтобы выбранные элементы обладали каким-нибудь определённым свойством»2.
И потому «аксиома выбора не вполне самоочевидна, так как в ней говорится о выборе из бесконечно многих множеств, но она научно необходима, поскольку используется для доказательства важных теорем»3. Правда, «положение аксиомы выбора стало за последние годы менее спорным»4, и «большинству математиков она представляется утверждением совершенно правдоподобным»5.
Дело в том, что «аксиома выбора имеет столь многочисленные и важные приложения практически во всех областях математики, что отказ от неё выглядел бы как преднамеренная подножка работающему математику»6 Но, несмотря на это, её изучение доставило беспокойство и головную боль всем великим математикам XX-ого в., не говоря уже о тех, кто был калибром поменьше.
Короче говоря, «аксиома выбора породила больше дискуссий и споров, чем любая другая аксиома, за исключением, может быть, аксиомы Евклида о параллельных»7, или пятого постулата Евклида. И, всё же, несмотря на все её странности, под давлением потребностей в обосновании самых распространённых методик было заключено, что «на сегодняшний день аксиома выбора признаётся, в принципе, безвредной и необходимой в математической практике»8.
Разумеется, всё сказанное свидетельствует о том, что аксиома выбора представляет собой краеугольный камень современной математики. Но, признавая за нею такую роль, математики всегда помнят, что «принятие аксиомы выбора позволяет доказывать теоремы, мягко говоря, противоречащие интуиции»9.
Формулировка аксиомы выбора. В настоящий момент аксиома выбора представляется в нескольких эквивалентных формах, отражающих различные её нюансы. Наиболее часто используются следующие её формулировки10.
«…Следующие формулы эквивалентны:
1. Аксиома выбора: Для любого множества существует такая выбирающая функция, что для всякого его непустого подмножества она отображает данное подмножество на его часть, то есть, в это же самое подмножество;
2. Мультипликационная аксиома: Для любого множества непустых и попарно непересекающихся множеств существует множество, содержащее в
