точности по одному элементу из каждого множества, входящих в их описываемое объединение;
3. Принцип вполне упорядочивания: Всякое множество может быть вполне упорядочено;
4. Трихотомия: Каждые два элемента множества сравнимы между собой;
5. Лемма Цорна: Если в частично упорядоченном множестве всякая цепь, то есть, полностью упорядоченное подмножество, имеет верхнюю грань, то в таком множестве существует максимальный элемент»
Начальные из двух приведённых формулировок аксиомы выбора являются самыми «древними». По мнению автора, они отражают сущность аксиомы выбора наиболее выпукло, хотя и являются, с логической точки зрения, наиболее сложными вариантами её определения.
Первая формулировка аксиомы выбора основывается на использовании некоторой функции. Условимся называть такую функцию «выбирающей функцией аксиомы выбора» или просто «выбирающей функцией».
Действие выбирающей функции происходит как отображение данного множества в себя. С технической точки зрения, оно происходит как отбор некоторых элементов множества.
Все же прочие элементы его элементы оказывается, что называется, «за бортом». Данное обстоятельство и показывает, что аксиому выбора можно рассматривать как формулировку принципа сжимающих отображений.
Эквивалентность принципа познания и принципа сравнения. Все прочие приведённые формулировки аксиомы выбора основываются на различных типах сравнений. Данные сравнения совершаются в любой ситуации для произвольных объектов с учётом конкретной специфики имеющейся ситуации.
Иначе говоря, аксиома выбора гарантирует наличие приспособленной к нуждам изучения той или иной задачи линейки, как только в ней встанет реальная необходимость. Но особенности такой линейки, включая её масштаб, а также однозначную интерпретацию измеряемых ею величин, включая их удобный для всех заинтересованных специалистов размер, заранее для всех возможных случаев не могут быть определены.
Характерными примерами конкретных реализаций подобной линейки является деньги, температура и энергия, точнее, их измерение. Получаемые здесь оси, пусть даже и на первых этапах, оказываются ограниченными с одной стороны, что, в частности, позволяет ввести естественным образом определённую точку отсчёта или 0 (ноль) шкалы измерения.
Обычно измерительную систему выбирают так, чтобы имелась возможность работы с положительными объектами. Впрочем, не всегда такой подход бывает не только удобен, но и возможен.
Разумеется, при сравнении возможна и констатация равенства. Подобные обстоятельства складываются при игнорировании некоторых деталей, обусловленных спецификой ситуации.
Однако, обычно в ходе таких сравнений какой-то из объектов обязан «выходить из игры». Как следствие, сравнение невозможно без выбора, и потому оно является одним из следствий действия выбирающей функции.
Любые измерения, проводимые при помощи обсуждаемой линейки, дают конечные величины. Данное обстоятельство проистекает из конечности возможностей любых объектов Мироздания.
Гарантируя возможность сравнения, аксиома выбора не проливает света на то, как оно в самых общих чертах реализуется на практике в любой ситуации. Подобное обстоятельство характеризует не только связанную с аксиомой выбора абстрактность, но и показывает, что принцип сравнения эквивалентен принципу познания.
В наиболее общей формулировке принцип сравнения приводит к выделению эталона измерений, числовой системы и определению алгебраических операций, являющихся основой познания, а также проявления объектов в Мироздании. Изучение же сущности алгебраических операций приводит к выводу об их связи с дифференцированием11, которое можно рассматривать как наиболее совершенную форму сравнений.
Отсутствие формулы у выбирающей функции. Собственно говоря, парадоксы аксиомы выбора, о которых вскользь будет говориться ниже, снискавшие ей не совсем здоровую славу, объясняются отсутствием «формулы выбирающей функции» в самом общем случае. Иначе говоря, функция имеется, а формулы её нет.
Да, для отдельных частных случаев «частную формулу выбирающей функции» построить бывает можно и иногда очень даже легко. Но, данный факт не изменяет общей ситуации, приводя к ряду важных выводов.
Отсутствие обсуждаемой формулы делает возможным принцип сжимающих отображений и процесс познания. Оно также объясняет вероятностный характер проявленного мира.
Возможность познания, видимо, является наиболее важным следствием отсутствия формулы выбирающей функции. В конечном счёте, процесс познания доставляет занимающемуся им человеку неизгладимое чувство удовлетворения от созерцания своих достижений, позволяя время от времени пофилософствовать на тему о том, как неразумно устроен мир.
Структура аксиомы выбора. Различные варианты аксиомы выбора различаются по мощностям множеств реализации её работы. В самом общем случае множества отличаются друг от друга по числу своих элементов.
Отметим, что в математике под «счётным множеством» или «счётной мощностью» понимается множество, взаимнооднозначно отображаемое на натуральный ряд. Множество, число элементов которого конечно, считается представителем «конечного множества» или «конечной мощности».
Все действительные числа и взаимнооднозначно отражаемые на них множества дают пример «мощности континуума» или просто «континуума». В математике имеются и более мощные множества, чем континуум, но в явно виде в настоящей книге они использоваться не будут.
В математике все конечные множества считаются представителями конечной мощности. Бесконечные множества, имеющие одинаковое число элементов, полагаются эквивалентными друг другу.
Равное число элементов обосновывается наличием хотя бы одного отображения по принципу «один-в-один». Помимо него обычно существуют и другие связи, не дающие взаимнооднозначное отображение.
Однако, они во внимание не принимаются, а вывод делается на базе отображения, реализующего полный перебор двух множеств путём сопоставления друг другу только различных их элементов. Конечно же, такая взаимосвязь представляет собой единственную неподвижную точку всех прочих отношений между выбранными множествами.
Для подчеркивания того, что речь идёт именно о данном аспекте, говорят даже не о множествах, а о мощностях, которые объединяют однотипные множества. Как следствие, различные варианты аксиомы выбора различаются по типам мощностей, на которых она действуют.
Аксиома выбора, будучи наиболее общей формулировкой метода сжимающихся отображений, применима и к такому вопросу, как число шагов сходимости метода сжимающихся отображений. В подобной ситуации единственной неподвижной точкой является сходимость за конечное число шагов или конечная мощность.
Данным типом сходимости обладают счётный и конечный варианты аксиомы выбора. Другим мощностям такое также под силу, но далеко не всегда.
Собственно говоря, конечный вариант аксиомы выбора является отдельным её вариантом, надо сказать тривиальным. В крайнем случае, он задаётся путём перебора, но в специфике рассматриваемого подхода его имеет смысл включить в счётный вариант аксиомы выбора как его частный случай.
Счётный вариант аксиомы выбора входит в зону действия ещё одной аксиомы математики, известной как «аксиома детерминированности»12. Она формулируется более сложно, чем аксиома выбора.
Однако, в нестрогой форме для целей изложения настоящей книги можно считать, что аксиома детерминированности гарантирует, что антагонистическая игра двух лиц закончится через конечное число шагов, общее количество которых обычно заранее назвать невозможно. Очень важным достоинством аксиомы детерминированности, в отличие от аксиомы выбора, является её здоровая репутация, проистекающая от отсутствия связанных с ней парадоксов.
Под «антагонистической игрой» понимается такая игра между её участниками, когда ни один из них не желает уступать другому. Данное название, видимо, неудачно, но оно распространено и широко применяется в математике.
Учитывая, что аксиома выбора является алгебраической формулировкой процесса познания, её счётный вариант, точнее, всё то, что ему подчиняется, можно трактовать как квинтэссенцию познания или «информацию». При таком подходе аксиома детерминированности, область действия которой только частично пересекается с зоной работы аксиомы выбора, управляет воплощением на практике накопленных ранее знаний.
Подобное применение не всегда проходит гладко, являясь предпосылкой антагонистической игры двух лиц. Под участниками игры в рассматриваемой специфике нужно понимать решаемые проблемы и накопленный багаж знаний.
Парадоксы аксиомы выбора. Связанные с аксиомой выбора парадоксы требуют краткого освещения. Начнём с того, что по аксиоме выбора любое множество можно вполне упорядочить, сравнивая его элементы.
Однако,«если множество всех вещественных чисел вполне упорядочено, то в любой извлечённой из него последовательности должен существовать первый элемент»13. Но, «при обычном упорядочивании вещественных чисел это требование не выполняется: например, если мы рассмотрим все числа, которые больше, например, 5, то в этом множестве первый элемент отсутствует»14.
Действительно, если кто укажет нам такой элемент, то в качестве контрпримера можно взять его сумму с 5 (пятью), делённую на 2 (два). Поскольку полученное таким образом число будет строго меньше названного, но и строго больше 5 (пяти), то оно своим существованием покажет, что первоначальный пример далёк от истины.
Разумеется, данный факт свидетельствует об отсутствии такого элемента. Имеются и иные аналогичные примеры15.
«Одна из таких теорем известна под названием парадокса Банаха-Тарского. В нестрогой формулировке эта удивительная теорема звучит следующим образом. Пусть даны два шара – один размером с футбольный мяч, а другой – размером с Землю. Оба шара можно разбить на конечное число непересекающихся частей так, что каждая часть одного шара будет конгруэнтна одной, и только одной, части другого шара. Иначе говоря, теорема Банаха-Тарского означает, что, разрезав земной шар на мелкие кусочки и переложив их в другом порядке, мы можем получить футбольный мяч. Ранее, в 1914 г. был получен ещё один парадоксальный результат (составляющий на самом деле частный случай парадокса Банаха-Тарского): было показано, что, разбив шар на четыре части, мы можем переложить эти части так, что получатся два шара того же радиуса, что и исходный шар (парадокс сфер – прим. автора). В отличие от парадоксов, с которыми столкнулась в начале XXв. теория множеств, парадокс Банаха-Тарского и его ранее известный частный случай не являются противоречиями. Это логические следствия из аксиом теории множеств и аксиомы выбора»
Однако, все связанные с аксиомой выбора парадоксы обладают тем свойством, что используемые для их демонстрации конструкции, хотя и могут
