быть описаны, но не могут быть реализованы. Иначе говоря, они являются фантомами, и данное обстоятельство, как выяснится ниже, вовсе не случайно.
В результате, гарантируемый аксиомой выбора процесс извлечения в отношении их уже таковым не является. Продемонстрируем данное обстоятельство на описанном выше примере минимального числа, строго большего 5 (пяти).
Прежде всего, оно является иррациональным числом, тогда как в процессе познания и в любой прикладной работе практически используются только рациональные числа, поскольку только они и могут быть реально сконструированы. Подобное происходит даже того, когда они применяются в качестве приближения иррациональных чисел.
Множество рациональных чисел, с точки зрения своей структуры, представляет собой редкое сито16. Собственно говоря, для его плотного заполнения и вводятся иррациональные числа, для которых рациональные числа оказываются единственной неподвижной точкой.
Структуры множеств и ослабление аксиомы выбора. В математике принято получать множества, начиная от пустого множества, путём усложнения их структуры на базе уже имеющихся множеств. Единственной неподвижной точкой такого подхода является констатация того факта, что базовые или самые простые множества большей мощности получаются как множества всех подмножеств наиболее сложного варианта множеств предыдущей мощности.
Исключения из сформулированного правила представляют конечные множества. Конечно же, подобное их положение объясняется тем, что конечные варианты аксиомы выбора являются частными случаями её счётной реализации.
Данное правило построения более сложных множеств на базе менее сложных или «принцип самодостаточности» в своих алгебраических формулировках известны как «гипотеза континуума»17. Из гипотезы континуума, учитывая 7связанную с нею упорядоченность мощностей множеств, вытекает аксиома выбора18, и такое обстоятельство, конечно же, ставит сформулированный принцип самодостаточности в исключительное положение.
Отход от гипотезы континуума эквивалентен отказу от принципа самодостаточности. Логическим следствием такого обстоятельства является ослабление получаемых как следствия модификаций аксиомы выбора, закономерно приводящих к уменьшению возможностей познания.
Однако, в любой ситуации связанный с аксиомой выбора и её более слабыми реализациями принцип сжимающихся отображений позволяет окружать любую точку произвольного множества системой вложенных друг в друга его подмножеств, общее количество которых определяется спецификой ситуации. Как следствие, оказывается, что при любом стечении обстоятельств во множествах реально задавать исчерпывающие системы окрестностей и топологию на их основе.
Антиномия. Одной из отличительных особенностей аксиомы выбора является возможность вывода с её помощью двух противоположных друг другу точек зрения. Как такое ни покажется странным на первый взгляд, подобное свойство не является каким-то единичным явлением, а широко распространено в окружающем мире.
Существующие искажения вопроса. Отмеченный вывод, который, мягко говоря, противоречит интуиции, уже давно известен в философии как «антиномия». История науки утверждает, что слово «антиномия» попало в современную философию из древнегреческого языка, с которого она переводится как «парадокс»19, и, конечно же, первоначально не имела ничего общего с аксиомой выбора.
В современной европейской философии «антиномия» понимается как неразрешимое противоречие между двумя взаимоисключающими положениями, одинаково доказуемыми логическим путём. Подобная точка зрения восходит к Э. Канту, ввёдшему понятие «антиномия» в современную европейскую философию после множества веков его забвения.
Оно является упрощением, которое стало возможно по причине прерывания и забвения традиции, произошедшей после краха античности. Данное обстоятельство и привело к забвению или неправильному пониманию и трактовке древних философских систем многими современниками эпохи Возрождения, а затем и их наследниками.
Истинный смысл базового варианта. В древности же антиномия понималась не просто как фокус сосредоточения двух борющихся друг с другом точек зрения, ни одна из которых не может победить другую, а намного шире. Им обозначались два взгляда на одно и то же явление с противоположными характеристиками.
Согласно древним философским системам, подобные два противоположных взгляда не только существуют, но и взаимодействуют между собой. В конечном счёте, именно такой контакт и способствует взаимному устранению недостатков, присущих каждой из точек зрения, а также накоплению опыта.
Нередко опыт притекает не только из областей, связанных или когда-то касающихся данной проблемы. Он может приходить и оттуда, с чем внутренняя связь была только что обнаружена.
Данный пример взаимодействия полюсов антиномии следует рассматривать как пример «диалектического противоречия», разрешение которого позволяет двигаться вперёд. Можно сказать, что диалектическое противоречие является проявлением системы сдержек и противовесов, которая в идеале оберегает от ошибочных решений.
Однако, к сожалению, так бывает не всегда. Нередко между полюсами антиномии, из-за сложности ситуации и следующего из неё непонимания, вместо диалектического противоречия после разрушения хрупкого баланса интересов может возникать «антагонистическое противоречие».
Антагонистическое противоречие обращает процесс развития. Нередко оно оказывается следствием диспропорций, накопленных при несбалансированном росте, который поэтому следует признать нежелательным.
Согласно учению древних, разрешение любого диалектического противоречия, несмотря на всю необходимость, важность и благотворность такого шага, почти всегда приводит к появлению новых точек зрения. Они также противоположны друг другу, только ярче высвечены и нередко теряют связь с предыдущими точками зрения, раньше характеризовавшими полюса антиномии.
В результате, процесс разрешения антиномия, проявляя её антиномичные свойства, приводит к её усилению. Он заставляет проводить углублённый анализ для нового акта решения связанной с антиномией проблемы.
И так продолжается до тех пор, пока все аспекты проблемы не будут разобраны и отрегулированы. И только тогда источник противоречий, питающий ту или иную антиномию, иссякнет.
Наличие двух противоположных точек зрения на любой интересующий вопрос помогает, «просвечивая» всю связанную с ним проблематику подобно рентгену, вплоть до самых глубинных проблем, выбрать оптимальный вариант его решения. Подобный факт обосновывает ценность антиномий и теории множеств, из противоречий которой они вытекают.
Антиномия представляет собой наиболее общую формулировку стратегической игры двух лиц. Как следствие, разрешение противоречий её полюсов создаёт общепринятые правила поведения, действующие в достаточно широком диапазоне ситуаций, и открывает новые горизонты развития.
Антиномичность позволяет общим и единым причинам и свойствам в каждой конкретной ситуации проявляться согласно с её спецификой. Подобные проявления происходят по-разному, вплоть до того, что иногда возникает, приводя к антиномии, противоречие между внешним воплощением одного и того же принципа.
Базовые свойства антиномии. Подобные сходства и противоположности характеризуют полюса антиномии. В своей базисной модификации антиномия характеризуется следующими особенностями:
· наличием двух противоположных точек зрения на одно и тоже явление, являющихся «полюсами антиномии»;
· протеканием явления через взаимодействие полюсов антиномии на базе конструктивного разрешения их противоречий, являющихся в данной связи диалектическими противоречиями;
· необычайной трудностью разрешения противоречий полюсов антиномии до конца;
· существованием при этом постоянного стремления к достижению данного разрешения;
· усилением от таких действий антиномического противостояния полюсов и, как следствия этого, трагичности антиномии, являющейся следствием наличия её полюсов и их взаимодействия;
· окончательным разрешением антиномии при озарении в момент наивысшего пика обострения противоречий между её полюсами, сопровождающимся исчезновением трагичности, присущей явлению;
· полной проработкой в момент окончательного разрешения антиномии с последующим устранением всего их клубка противоречий, существовавших между полюсами антиномии.
Разрешение противоречий между полюсами антиномии означает её полное и окончательное разрешение, усиливая связность Мироздания путём усложнения кругооборота его объектов, как путём рождения новых, так и их взаимных перевоплощений. Поскольку, в конечном счёте, объекты появляются из эфира, то именно его и следует считать изначальным источником связности.
Исходя из описанных её свойств, антиномию следует рассматривать как «обобщение принципа единства и борьбы противоположностей» Гегеля, а также, учитывая особенности её развития, как закон перехода количества в качество.
Вместе с противоречиями в момент разрешения антиномии исчезают и все вызывающие их силы. Подобное свойство является следствием внутренней связи между полюсами антиномии.
Данная связь реализуется через общие принципы, проявляемые по-разному в различных ситуациях или взглядах на одну и ту же проблему. Они и представляют собой третий невидимый на первый взгляд элемент антиномии.
Причины усиления противостояния полюсов антиномии по мере прогресса. Наиболее сложным для понимания из базовых свойств антиномии является тезис о том, что, по мере разрешения противоречий между полюсами антиномии, сами противоречия только усиливаются. Данный факт является следствием метода сжимающихся отображений, имеющего отношение к моделям любых протекающих в Мироздании процессов, в том числе и антиномий.
Дело в том, что поиск единственной неподвижной точки метода сжимающихся отображений производится при помощи самозатачивающего в процессе его работы инструмента. Им является выбирающая функция, чья формула, универсальная или частная, попутно здесь ищется.
Вначале такой инструмент никуда негоден. Но, его применение, по мере осмысления накопленного опыта, и проникновения вглубь понимания предмета, гарантируется нахождение столь желанной единственной неподвижной точки.
Наглядно представим процесс её поиска как отсечение частей большого листа бумаги или картона. Несмотря даже на почти полное отсутствие накопленного опыта, ввиду огромности поля деятельности вначале отсечение происходит легко.
Однако, по мере понимания, где лежит цель поиска, отсечение окажется проводить всё труднее и труднее. И данное обстоятельство будет проявляться, несмотря на то, что в ходе работы накапливается нужный опыт.
В принципе, оно вовсе неудивительно, поскольку с каждым шагом отсекать почти всегда придётся всё более и более виртуозно почти всё более и более сложные фигуры. Вот именно здесь и проявляется обсуждаемое свойство антиномии, согласно которому противоречия между её полюсами, по мере их разрешения, только усиливаются.
Однако, вместе с усложнением задач растёт и скорость продвижения вперёд. Сказывается накопление опыта.
Однако, не стоит думать, что первый шаг познания, выкристаллизовывающий ту или иную антиномию,
