Только его объяснение понятия истинности ложно: если бы «истинное» и «ложное» были действительно объектами и аргументами в выражениях ~р и т. д., тогда смысл ~р отнюдь еще не устанавливался бы определением Фреге.).

4.44. Знак, возникающий из соотнесения знака «Я» с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.

4.441. Ясно, что комплексу знаков «Л» и «И» не соответствует никакой объект (или комплекс объектов); не более чем горизонтальными вертикальным линиям или скобкам соответствуют какие-либо объекты. Не существует «логических объектов». Аналогично, конечно, и для всех знаков, выражающих то же самое, что и схемы «И» и «Л».

4.442. Так, например:

(«Знак утверждения» Фреге «/-» логически полностью бессмыслен; он только указывает у Фреге (и у Рассела), что эти авторы считают отмеченные им предложения истинными. Поэтому «/-» является частью соединения предложений не более, чем, например, номер предложения. Предложение не может утверждать о самом себе, что оно истинно.)

Если последовательность возможностей истинности в схеме устанавливается правилом комбинации раз и навсегда, тогда уже одна последняя колонка является выражением условий истинности. Если мы напишем эту колонку в строчку, то пропозициональный знак будет:

«(ИИ-И} (р, q)» или еще яснее: «(ИИЛИ) (р, q)».

(Количество мест в левых скобках определяется количеством членов в правых.)

4.45. Для «n» элементарных предложений имеется Ln возможных групп условий истинности.

Группы условий истинности, принадлежащие к возможностям истинности некоторого числа элементарных предложений, могут упорядочиваться в ряд.

4.46. Среди возможных групп условий истинности имеется два предельных случая.

В первом случае предложение истинно для всех возможностей истинности элементарного предложения. Мы говорим, что условия истинности тавтологичны.

Во втором случае предложение ложно для всех возможностей истинности. Условия истинности противоречивы.

В первом случае мы называем предложение тавтологией, во втором — противоречием.

4.461. Предложение показывает то, что оно говорит, тавтология и противоречие показывают, что они ничего не говорят.

Тавтология не имеет условий истинности, потому что она безусловно истинна; а противоречие ни при каких условиях не истинно.

Тавтология и противоречие не имеют смысла. (Как точка, из которой две стрелки расходятся в противоположных направлениях.)

(Я не знаю, например, ничего о погоде, если я знаю, что дождь идет или что дождь не идет.)

4.4611. Но тавтология и противоречие не являются бессмысленными, они являются частью символизма, подобно тому как «О» есть часть символизма арифметики.

4.462. Тавтология и противоречие — не образы действительности. Они не изображают никакого возможного положения вещей, поскольку первая допускает любое возможное положение вещей, а второе не допускает никакого.

4.463. Условия истинности определяют область, которую предложение оставляет факту.

(Предложение, образ, модель напоминают в отрицательном смысле твердое тело, которое ограничивает свободу движения другого; в положительном смысле — пространство, ограниченное твердой субстанцией, в котором помещается тело.)

Тавтология оставляет действительности все бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет все логическое пространство и ничего не оставляет действительности. Поэтому ни одно из них не может каким-либо образом определить действительность.

4.464. Истинность тавтологии несомненна; предложение возможно, противоречие невозможно.

(Несомненно, возможно, невозможно: здесь мы имеем указание той градации, которую мы употребляем в теории вероятностей.)

4.465. Логическое произведение тавтологии и предложения говорит то же самое, что и предложение. Следовательно, это произведение тождественно с этим предложением. Потому что нельзя изменить существа символа, не изменяя его смысла.

4.466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Любая, же произвольная комбинация соответствует только несвязанным знакам.

Это означает, что предложения, которые истины для любого положения вещей, вообще не могут быть никакими комбинациями знаков, так как иначе им могли бы соответствовать только определенные комбинации объектов.

(И нет такой логической комбинации, которой не соответствует никакая комбинация объектов.)

Тавтология и противоречие являются предельными случаями комбинации знаков, а именно — их исчезновением.

4.4661. Разумеется, и в тавтологии, и в противоречии знаки также сочетаются друг с другом, т. е. они относятся друг к другу, но эти отношения незначимы, несущественны для символа.

4.5. Теперь, кажется, можно дать самую общую форму предложения, т. е. дать описание предложений некоторого знакового языка, так чтобы каждый возможный смысл мог выражаться символом, который подходит под это описание, и так чтобы каждый символ, подходящий под это описание, мог выражать смысл, если соответствующим образом будут выбраны значения имен.

Ясно, что при описании самой общей формы предложения может быть описано только ее существо — иначе она не была бы собственно самой общей формой.

То, что имеется общая форма предложения, доказывается тем, что не может быть ни одного предложения, чью форму нельзя было бы предвидеть (т. е. сконструировать). Общая форма предложения такова: «дело обстоит так-то и так-то».

4.51. Предположим, мне даны все элементарные предложения; тогда можно просто спросить: какие предложения я могу построить из них? И это — все предложения, и так они ограничиваются.

4.52. Предложениями является все то, что следует из совокупности всех элементарных предложений конечно, также и из того, что это есть совокупность их всех. (Так, можно, в известном смысле, сказать — что все предложения — обобщения элементарных предложений.)

4.53. Общая форма предложения есть переменная.

5. Предложение есть функция истинности элементарных предложений.

(Элементарное предложение — функция истинности самого себя.)

5.01. Элементарные предложения-аргументы истинности предложения.

5.02. Само собой напрашивается смешение аргументов функции с индексами имен. Я узнаю значение знака настолько же из его аргумента, насколько и из его индекса.

В расселовском +с, например, «с» есть индекс, указывающий на то, что весь знак есть знак сложения количественных чисел. Но этот способ символизации основывается на произвольном соглашения, и можно было вместо +с выбрать другой простой знак, но в выражении «~р» «р» — не индекс, а аргумент: смысл выражения «~р» не может быть понят, если до этого не понят смысл «р». (В имени Юлий Цезарь «Юлий» есть индекс. Индекс всегда является частью описания объекта, к имени которого мы его присоединяем. Например, Цезарь из рода Юлиев.)

Смешение аргумента и индекса, если я не ошибаюсь, лежит в основе теории Фреге о значении предложений и функций. Для Фреге предложения логики были именами, а их аргументы — индексами этих имен.

5.1. Функции истинности можно упорядочивать в ряд.

Это есть основоположение теории вероятностей.

5.101. Функции истинности каждого определенного количества элементарных предложений могут быть написаны в схеме следующего вида.

Те возможности истинности аргументов истинности этой схемы, которые подтверждают предложение, я буду называть основаниями истинности.

5.11. Если основания истинности, общие для некоторого количества предложений, представляют в то же время основания истинности некоторого определенного предложения, то мы говорим, что истинность этого предложения следует из истинности упомянутых предложений.

5.12. В частности, истинность предложения «p» следует из истинности другого — «q», если все основания истинности второго являются основаниями истинности первого.

5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого; р следует из q.

5.122. Если р следует из q, то смысл «р» содержится в смысле «q».

5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некоторые определенные предложения, то он тем самым создает мир, в котором верны предложения, следующие из них. И подобно этому, он не мог бы создавать такого мира, в котором предложение «р» было бы истинно, не создавая всей совокупности его объектов.

5.124. Предложение утверждает каждое предложение, следующее из него.

5.1241. «p.q» есть одно из тех предложений, которые утверждают «р» и которые в то же время утверждают «q».

Два предложения друг другу противоположны, если нет осмысленного предложения, которое утверждает их обоих.

Каждое предложение, которое противоречит другому, отрицает его.

5.13. Тот факт, что истинность одного предложения следует из истинности других предложений, мы усматриваем из структуры предложений.

5.131. Если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается теми отношениями, в которых находятся между собой формы этих предложений; и мы не нуждаемся в том, чтобы ставить их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения.

5.1311. Если мы заключаем от р V q и ~р к q, то отношение между формами предложений «p\/q» и «~р» здесь затемняется способом обозначения. Но если мы, например, вместо «pVq» напишем «р / q — /- р / q и вместо «~р» — «~p/р» (р/q==ни р, ни q), тo внутренняя связь станет очевидной.

(Тот факт, что можно заключить от (x)fx к fa, показывает, что общность существует также и в символе «(x)fx».)

5.132. Если р следует из q, то я могу заключить от q к р; вывести р из q.

Способ вывода всегда познается из обоих предложений.

Только они могут оправдывать вывод.

«Законы вывода», которые должны — как у Фреге и Рассела — оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни.

5.133. Все выводы происходят априори.

5.134. Из одного элементарного предложения не может следовать никакое другое.

5.135. Никаким образом нельзя заключать из существования какого-либо одного положения вещей о существовании другого, полностью отличного от первого.

5.136. Нет причинной связи, которая оправдывает подобный вывод.

5.1361. События будущего не могут выводиться из событий настоящего.

Вера в причинную связь есть предрассудок.

5.1362. Свобода воли состоит в том, что будущие действия сейчас не могут быть познаны. Мы могли бы их знать только в том случае, если причинность была бы внутренней, необходимостью, как и необходимость логического вывода. Связь здания и познанного есть связь логической необходимости.

(«А знает, что р имеет место» не имеет смысла, если р есть тавтология.)

5.1363. Если из того, что предложение для нас очевидно, не следует, что оно истинно, то очевидность также не является оправданием для нашей веры в его истинность.

5.14. Если какое-либо предложение следует из другого, то последнее говорит больше, чем первое; первое меньше, чем последнее.

5.141. Если р следует из q и q из р, то они являются одним и тем же предложением.

5.142. Тавтология следует из всех предложений: она ничего не говорит.

5.143. Противоречие есть то общее у предложений, что ни одно предложение не имеет общим с другими. Тавтология есть общее всех тех предложений, которые не имеют друг с другом ничего общего.

Противоречие исчезает, так сказать, вне всех предложений, тавтология — внутри них.

Противоречие есть внешняя граница предложений, тавтология — их лишенный субстанции центр.

5.15. Если Иr — количество оснований истинности предложения «r», а Иrs — количество тех оснований истинности предложения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», то мы назовем отношение Иrs: Иr мерой вероятности, которую предложение «r» дает предложению «s».

5.151. Пусть в схеме, подобной той, которая приведена выше за № 5.101, Иr — количество «И» в предложении «r»; Иrs — количество тех «И» в предложении s, которые стоят в одинаковых столбцах с «И» предложения r. Тогда предложение » r » дает предложению «s» вероятность Иrs: Иr.

5.1511. Нет никакого особого объекта, свойственного вероятностным предложениям.

5.152. Предложения, которые не имеют общих друг с другом аргументов истинности, мы называем независимыми друг от друга.

Два элементарных предложения дают друг другу вероятность