1/2.

Если р следует из q, то предложение q дает предложению «р» вероятность 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.

(Применение к тавтологии и противоречию.)

5.153. Предложение само по себе ни вероятно, ни невероятно. Событие наступает или не наступает; среднего не дано.

5.154. В урне было одинаковое количество белых и черных шаров (и только их). Я вытаскиваю один шар за другим и кладу их в урну обратно. Тогда я могу установить опытом, что число вынутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.

Это, следовательно, не математический факт.

Если я теперь говорю: одинаково вероятно, что я вытяну — как белый шар, так и черный, то это означает: все известные мне обстоятельства (включая и гипотетически принимаемые естественные законы) придают наступлению одного события не больше вероятности, чем наступлению другого. Это означает, что они дают — как легко понять из вышеприведенных разъяснений — каждому событию вероятность, равную 1/2.

Проверить я могу только то, что наступление этих двух событий не зависит от обстоятельств, которых я не знаю более подробно.

5.155. Единица вероятностного предложения такова: обстоятельства — о которых я больше ничего не знаю — дают наступлению определенного события такую-то и такую-то степень вероятности.

5.156. Таким образом, вероятность есть обобщение. Она включает общее описание формы предложения. Только за неимением достоверности мы нуждаемся в вероятности. Когда мы знаем факт не полностью, но, однако, знаем что-то о его форме.

(Хотя предложение, действительно, может быть не полным образом определенного положения вещей, но оно всегда какой-нибудь полный образ.)

Вероятностное предложение является как бы извлечением из других предложений.

5.2. Структуры предложения стоят друг к другу во внутренних отношениях.

5.21. Мы можем подчеркнуть эти внутренние отношения в нашем способе выражения, изображая предложение как результат операции, которая образует его из других предложений (оснований операций).

5.22. Операция есть выражение отношения между структурами их результатов и их оснований.

5.23. Операция есть то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другие.

5.231. И это, естественно, зависит от их формальных свойств, от внутреннего подобия их форм.

5.232. Внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого.

5.233. Операция впервые может выступать там, где одно предложение возникает из другого логически значимым способом, т. е. там, где начинается логическая конструкция предложения.

5.234. Функции истинности элементарных предложений являются результатами операций, которые имеют своими основаниями элементарные предложения. (Эти операции я называю операциями истинности.)

5.2341. Смысл функции истинности р есть функция смысла р.

Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. д. — суть операции.

(Отрицание делает противоположным смысл предложения.)

5.24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую.

Она дает выражение различию форм.

И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.

5.241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.

5.242. Та же самая операция, которая выводит «q» из «p», выводит из «q» из «p» и так далее. Это может быть выражено только тем, что «р», «q», «r» и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.

5.25. Наличие операции не характеризует смысла предложения.

Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции.

(Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)

5.251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.

5.252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)

5.2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением («0′ 0′ 0′, а») есть результат трехразового последовательного применения «0′ » к «а»).

В подобном же смысле я говорю о последовательном применении многих операций к определенному количеству предложений.

5.2522. Общий член формального ряда а, О’, а, О’ О’ а… я пишу поэтому так: «[а, x, О’, х]». Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй — форма произвольного члена х ряда и третий — форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.

5.2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию «и так далее».

5.253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.

5.254. Операция может исчезать (например, отрицание в «~ ~ p». ~ ~ р=р).

5.3. Все предложения представляют результат операций — истинности с элементарными предложениями.

Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений.

5.31. Схемы № 4.31 имеют значение также тогда, когда «р», «q», «r» и т. д. не являются элементарными предложениями.

И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4.42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если «р» и «q» являются функциями истинности элементарных предложений.

5.32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.

5.4. Здесь становится ясным, что нет «логических объектов», «логических констант» (в смысле Фреге и Рассела).

5.41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.

5.42. Очевидно, что V, É и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого.

Возможность перекрестного определения логических «первичных знаков» Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются «первичными знаками» и не обозначают никаких отношений.

И очевидно, что «É», которое мы определяем через «~» и «V» тождественно тому, посредством чего мы определяем «\/» с помощью «~», и что это «V» тождественно с первым, и так далее.

5.43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~ р, ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины «исходных предложений».

Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.

5.44. Функции истинности не являются материальными функциями.

Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком-либо смысле — в утверждении?

Отрицает ли «~~р» ~р или оно утверждает р? Или то и другое?

Предложение «~ р» не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении.

И если бы существовал объект, называемый «~», то «~~р» должно было бы говорить нечто другое, чем «р».

Так как одно предложение говорило бы о ~, другое — нет.

5.441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если «~($ х). ~fx» говорит то же самое, что и «(х). fx, или если «~($ х). ~fxх = a» говорит то же самое, что и «fа».

5.442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.

5.45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.

5.451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы «~ p» так же, как в предложениях вида — ~ p V q)», «($ х). ~fx » и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для употребления в обоих случаях одного и того же способа символизации.

(Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе «Основные законы арифметики» говорил относительно введения знаков через определения.)

5.452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике — так сказать, с совершенно невинной миной — в скобках или в сноске.

(Так, в «Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс фактически не дозволен.)

Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком-либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.

5.453. Все числа в логике должны допускать оправдание.

Или — скорее — должно выявиться, что в логике нет никаких чисел.

Нет никаких привилегированных чисел.

5.454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации.

В логике не может быть более общего и более особенного.

5.4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты.

Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры.

5.46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только «pVq», но также и «~(pV~q)» и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не «p\/q», ($ х) f(x)» и т. д., а самая общая форма их комбинаций.

5.461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псевдоотношения, как V и É, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений.

Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все-таки, по-видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.

5.4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.

5.47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз.

Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что «о» говорит то же самое, что и «($ х)fх.х. == а».

Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы.

Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом.

Но это есть общая форма предложения.

5.471. Общая форма предложения есть сущность предложения.

5.4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.

5.472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.

5.473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать.

Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. («Сократ тождествен» ничего не означает потому, что