конце концов, истина одна, а ложных путей сколько угодно. Пока не удается найти правильное решение проблемы, но оно, несомненно, будет найдено. Утверждение, содержащееся в пятом постулате будет доказано и станет одной из теорем геометрии.

Но что же случилось в начале XIX в.?

Отношение к проблеме доказательства пятого постулата существенно меняется. Мы видим целый ряд прямых заявлений по поводу весьма неблагополучного положения в математике в связи с тем, что никак не удается доказать столь злополучный постулат.

Наиболее интересным и ярким свидетельством этого является письмо Ф.Больяи его сыну Я.Больяи, который стал одним из создателей неевклидовой геометрии.

«Молю тебя, — писал отец, — не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты затратишь на

(262)

это все время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии».

Почему такая реакция возникает только в начале XIX в.?

Прежде всего потому, что в это время проблема пятого постулата перестала быть частной, которую можно и не решать. В глазах Ф.Больяи она предстала как целый веер фундаментальных вопросов.

— Как вообще должна быть построена математика?

— Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?

— Является ли она достоверным знанием?

— Является ли она вообще логически прочным знанием?

Такая постановка вопроса была обусловлена не только историей развития исследований, связанных с доказательством пятого постулата. Она определялась развитием математики в целом, в том числе ее использованием в самых различных сферах культуры.

Вплоть до XVII в. математика находилась в зачаточном состоянии. Наиболее разработанной была геометрия, были известны начала алгебры и тригонометрии. Но затем, начиная с XVII в., математика стала бурно развиваться и к началу XIX в. она представляла довольно сложную и развитую систему знаний.

— Прежде всего под влиянием потребностей механики были созданы дифференциальное и интегральное исчисления.

— Значительное развитие получила алгебра. В математику органично вошло понятие функции (активно использо-

(263)

валось большое количество различных функций во многих разделах физики).

— Сложилась в достаточно целостную систему теория вероятности.

— Сформировалась теория рядов.

Таким образом, математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. Вместе с тем появилось большое число понятий, которые математики не умели истолковывать.

— Например, алгебра несла с собой определенное представление о числе. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной мере ее объектами. Но что такое отрицательные или мнимые числа, этого никто не знал вплоть до начала XIX в.

— Не было ясного ответа и на более общий вопрос — что вообще есть число?

— А что такое бесконечно малые величины?

— Как можно обосновать операции дифференцирования, интегрирования, суммирования рядов?

— Что представляет собой вероятность?

В начале XIX в. никто не мог ответить на эти вопросы.

Короче говоря, в математике к началу XIX в. сложилась в целом сложная ситуация.

— С одной стороны, эта область науки интенсивно развивалась и находила ценные приложения,

— с другой — она покоилась на очень неясных основаниях.

В такой ситуации по-другому была воспринята и проблема пятого постулата геометрии Евклида.

Трудности истолкования новых понятий можно было понять так: то, что неясно сегодня, станет ясным завтра, когда соответствующая область исследований получит достаточное развитие, когда будет сосредоточено достаточно интеллектуальных усилий для решения проблемы.

Проблема пятого постулата существует, однако, уже два тысячелетия. И до сих пор у нее нет решения.

Может быть, эта проблема устанавливает некий эталон для истолкования современного состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще?

(264)

Может быть, тогда математика — это вовсе и не точное знание?

В свете таких вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной проблемой геометрии.

Она превратилась в фундаментальную проблему математики.

Этот анализ дает нам еще одно подтверждение той идеи, что фундаментальные открытия суть решения фундаментальных проблем.

Он показывает также, что фундаментальными проблемы становятся в рамках культуры, иначе говоря, фундаментальность исторически обусловлена.

Но в рамках культуры не только формируются фундаментальные проблемы, в них, как правило, подготавливаются и многие компоненты их решения. Отсюда становится ясным, почему такие проблемы решаются именно в данный момент, а не в какое-либо иное время.

Рассмотрим опять же в этой связи процесс создания неевклидовой геометрии. Обратим внимание на следующие интересные фрагменты истории исследований в этой области.

Доказательства пятого постулата Евклида проводились на протяжении двух тысячелетий, но при этом они считались задачей второго рода, т.е. постулат представлялся теоремой евклидовой геометрии. Это была задача с четко фиксируемым фундаментом для ее разрешения.

Однако во второй половине XVIII в. появляются исследования, в которых высказывается мысль о неразрешимости данной проблемы. В 1762 г. Клюгель, публикуя обзор исследований этой проблемы, приходит к выводу, что Евклид был, по-видимому, прав, считая пятый постулат именно постулатом.

Независимо от того, как относился к своему выводу Клюгель, его вывод был очень серьезным, так как провоцировал следующий вопрос: если пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой, то что же такое постулат? Ведь постулатом считалось положение очевидное, а потому не требующее доказательства.

Но подобный вопрос уже не являлся вопросом второго рода.

(265)

Он представлял уже метавопрос, т.е. выводил мысль на философско-методологический уровень.

Итак, проблема пятого постулата геометрии Евклида начинала порождать совсем особый род размышлений.

Перевод этой проблемы на метауровень придал ей мировоззренческое звучание.

Она перестала быть проблемой второго рода.

Другой исторический момент. Весьма любопытными представляются исследования, проводившиеся во второй половине XVIII в. И.Ламбертом и Дж.Саккери. Об этих исследованиях знал И.Кант, который не случайно говорил о гипотетическом статусе геометрических положений. Если вещи-в-себе характеризуются геометрически, то почему бы им, ставил вопрос И.Кант, не подчиняться какой-либо иной геометрии, отличной от евклидовой?

Ход рассуждений И.Канта был навеян идеями абстрактной возможности неевклидовых геометрий, которые высказывались И.Ламбертом и Дж.Саккери.

Дж.Саккери, пытаясь доказать пятый постулат геометрии Евклида в качестве теоремы, т.е. смотря на него как на проблему ординарную, использовал способ доказательства, называемый «доказательством от противного».

Ход рассуждений Дж.Саккери был, вероятно, следующим. Если мы примем вместо пятого постулата утверждение ему противоположное, соединим его со всеми другими утверждениями евклидовой геометрии и, выводя следствия из такой системы исходных положений, придем к противоречию, то тем самым мы докажем истинность именно пятого постулата.

Схема этого рассуждения очень проста. Может быть либо А, либо не-А, и, если все остальные постулаты истинны и мы допускаем не-А, а получаем ложь, значит, истинно именно А.

Используя этот стандартный прием доказательства, Дж.Саккери стал развертывать систему следствий из своих предположений, стремясь обнаружить их противоречивость. Таким образом он вывел около 40 теорем неевклидовой геометрии, но противоречий не обнаружил.

Как же он оценил складывающуюся ситуацию? Считая пятый постулат геометрии Евклида теоремой (т.е.задачей второго рода), он просто заключил, что в его случае метод «доказательства от противного» не работает. Итак, смотря на эту проблему как на проблему второго рода, он, имея в руках новую геометрию, не смог правильно истолковать ситуацию.

(266)

Отсюда следуют два вывода.

— Во-первых, в определенном смысле новая геометрия появилась в культуре уже до того, как была открыта неевклидова геометрия.

— Во-вторых, именно верная оценка проблемы пятого постулата, т.е. трактовка ее как проблемы первого, а не второго рода, позволила Н.И.Лобачевскому, Ф.Гауссу и Я.Больяи прийти к решению проблемы и создать неевклидову геометрию. Надо было понять саму возможность создания таких геометрий.

Дж.Саккери допускал такую возможность лишь как логическую, сделав конструктивный шаг в решении проблемы евклидовского постулата в традиционном стиле. Но он вовсе не рассматривал ее всерьез считая, что неевклидовы геометрии невозможны, хотя и логически допустимы.

Таким образом, история не только подготавливает проблему, но и во многом определяет направление и возможность ее решения.

Рассмотрим в таком ракурсе коперниканскую революцию.

Как хорошо известно, вовсе не Н.Коперник открыл гелиоцентрическую систему. Ее создал Аристарх еще в античности. Может быть, Н.Коперник не знал об этом? Да ничего подобного! Он знал и ссылался на Аристарха.

Но тогда почему же говорят о коперниканской?

Дело в том, что Н.Коперник перенес уже известную модель в совершенно новую культурную среду, поняв, что с ее помощью можно решить целый ряд проблем. В этом как раз и заключалась суть его революции, а вовсе не в создании гелиоцентрической системы.

5. ОТКРЫТИЕ Г. МЕНДЕЛЯ

Рассмотрим теперь вопрос о культурной подготовке открытий на примере открытия Г. Менделя.

(267)

— В этом открытии присутствуют не только так называемые законы Менделя, представляющие эмпирические закономерности, о которых обычно говорят, но и система очень важных теоретических положений, которая, по сути дела, и определяет значимость открытия Г.Менделя.

— Более того, эмпирические закономерности, установление которых приписывается Г.Менделю, вовсе и не были им установлены. Они были известны еще до него и изучались О.Сажрэ, Т.Найтом, Ш.Ноденом. Г.Мендель, собственно, только уточнил их.

— Существенно и то, что его открытие имело методологическое значение. Для биологии оно давало не только новую теоретическую модель, но и систему новых методологических принципов, с помощью которых можно было изучать очень сложные явления жизни.

Г. Мендель предположил наличие некоторых элементарных носителей наследственности, которые могут свободно комбинироваться при слиянии клеток в процессе оплодотворения. Именно это комбинирование зачатков наследственности, которое осуществляется на клеточном уровне, дает различные типы наследственных структур.

Такая теоретическая модель включает в себя ряд очень важных идей.

— Во-первых — это выделение элементарных носителей на уровне клетки.

Обосновывая такое выделение, Г.Мендель опирался, очевидно, на теорию клеточного строения живого вещества. Она была очень важной для него. Г.Мендель познакомился с основными ее положениями в курсе лекций Ф.Унгера в Венском университете. Унгер был одним из новаторов использования физико-химических методов в исследовании живого. При этом он считал, что эти исследования должны доходить до уровня клетки. — Во-вторых, Г.Мендель считал, что законы, управляющие носителями наследственности, столь же определенны, как и законы, которым подчиняются физические явления.

Очевидно, здесь Г.Мендель исходил из общей мировоззренческой установки, которая глубоко укоренилась в культуре того времени, т.е. установки о закономерности природы, которая распространялась и на явления наследственности.

(268)

— В-третьих, Г.Мендель реализовывал в своих исследованиях общий идеал физического познания мира, согласно которому следует выявить элементарный объект, найти законы управляющие его поведением и потом, опираясь на эти знания конструировать более сложные процессы, описывая и объясняя их особенности.

— В-четвертых, Г.Мендель предположил, что законы, управляющие его элементарными носителями, суть вероятностные законы. Для 1865