определял фигуры элементов и соединения треугольников, без внимания, подчеркнув главное: у Платона «сущность чувственных вещей составляют … треугольники» (Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Гегель: Соч. Т. 10, кн. 2. — С. 197). И Гегель продолжил далее: «Это основа понимания Платона, и тот способ, каким Платон определяет фигуры элементов и соединения треугольников, я оставляю без рассмотрения» (Там же).
Некоторые представители современной зарубежной философии пытаются представить Платона как предвестника математической физики. Например, С. Самбурский молчание Платона по поводу физического учения Демокрита объясняет платоновским презрением механистического и материалистического подхода атомистов. Тем не менее, Самбурский не в силах обойти аристотелевской критики идей Платона, которую он пытается сгладить. Создаётся впечатление, что Самбурский как бы жалеет Аристотеля за то, что тот, опираясь на свою традицию качественной теории, рассматривает математические предметы как абстракции от их осязаемых, воспринимаемых качеств. Аристотель «пропустил важный момент в теории Платона, который заключается в том, что определённые закономерности материи и изменений материи могут проистекать из геометрических отношений…» (Sambursky S. Physical world of late antiquity. — Hebrew University, Jerusalem. — London, 1962. — P. 33-34). Например, в ХХ веке В. Гейзенберг пришёл к выводу о десубстанциализации элементарных частиц (в основе сущего лежит не материя, а некие математические сущности). Он стал писать о том, что квантовая физика положила начало повороту от Демокрита к Платону (См.: Гейзенберг В. Открытие Планка и основные философские вопросы учения об атомах //Вопросы философии, № 11, 1958, — С. 62).
Подобные рассуждения становятся излишними при учёте математического атомизма Демокрита, ибо в этом аспекте противопоставлять концепции Демокрита и Платона не корректно. Это по сути дела одна и та же доктрина (См.: Лурье С.Я. Очерки по истории античной науки. — М.-Л., 1947. — С. 170). В пользу данного учения есть соответствующие свидетельства Плутарха (Там же.). Прежде всего отметим, что амеры Демокрита и элементарные платоновские треугольники — это математические неделимые элементы, которые лежат в основе бытия. У Демокрита амер представляет из себя минимум протяжения материи. Не являются чисто математическими объектами и элементарные треугольники Платона. Последние отличаются и от сугубо математических фигур, и от объектов физического мира. Вероятнее всего, платоновские треугольники — это геометрические фигуры, обладающие некоторыми физическими свойствами (См.: Ахундов М.Д. Проблема прерывности и непрерывности пространства и времени. М.: Наука, 1974. — С. 45).
Атом Демокрита — это элемент, который не может содержать в себе пустого пространства, а у Платона выходит, что элементы суть пространства, ограниченные плоскостями. Однако пространство Платона — «кормилица происхождения» и есть начало телесное, материальное (См.: Платон. Тимей, 52А). Другими словами, оно не составляет форму стихий (за это несут ответственность ограничительные плоскости соответствующих правильных многогранников), а само их субстанциальное содержание. Это содержание проявляется в тех математических пропорциях, которым подчинены элементарные платоновские треугольники. Тем самым математический атомизм Демокрита, амеры которого были призваны для измерения длин в атомном мире, получил определённый количественный элемент.
Надо сказать, что математический атомизм Платона оказался легко уязвимым для критики континуалистов. Это и определило отрицательное отношение к концепции элементарных неделимых плоскостей уже у современников Платона. Например, Аристотель заметил, что концепция Платона нелепа, в то время как учению Демокрита нельзя отказать в логичности (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. — С. 385). В трактате «О возникновении и уничтожении» данная мысль выражена наиболее рельефно (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. М.: Мысль, 1981. — С. 385).
Решив проблему существования математических предметов, Аристотель совершает своего рода отрицание отрицания (См.: Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии. — М.: Высшая школа, 1981. — С. 310). В этом можно убедиться, если вспомнить, что пифагорейцы не отделяли числа от вещей и для этого геометризировали как тела, так и сами числа. Источники доносят, что вещи от чисел стали отделять академики, превратив последние в самостоятельные сущности, а Платон в последний период своей деятельности дошёл до того, что арифметизировал и сами идеи
С такой позицией был не согласен Аристотель, который возвратил числа в вещи, но не по-пифагорейски. Он полагал, что математические предметы не существуют ни в самих чувственных вещах, ни вне их. Математические предметы — только абстракции от одной из сторон реальных вещей (См.: Аристотель. О душе. — М., 1937. — Кн. 1, гл. 1. — С. 8). Такой поход особенно ярко проявился при анализе природы треугольника. Философия этой пространственной фигуры двух измерений у Аристотеля по существу становится логикой. Вот почему подавляющее количество геометрических примеров упоминается Аристотелем именно в логических трактатах.
Подобно тому, как сущностью каждой вещи является то, что с ней почти сливается, характеризуемое как её форма, также подлинной природой треугольника будет не треугольник вообще, как «род», а его конкретная, абстрагируемая от свойств реальных тел, геометрическая форма, проявляющаяся в фактическом равенстве или неравенстве его внутренних углов двум прямым. У Платона же треугольник всегда выступает как «род», как всеобщее и наделён самостоятельным существованием.
Аристотель в данном отношении решительно расходится с Платоном. Он чётко определяет, что «роды не существуют помимо видов» (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 1. — С. 108). Следовательно, «роды» не могут быть сущностями. Поэтому для Аристотеля немыслимо говорить, как это делали академики, о самостоятельной идее треугольника. Это важнейшее обстоятельство и сближает геометрический аспект аристотелевского понимания пространства с современной математикой.
Таким образом, если платоновская идея о дроблении треугольников по отношению к нашим физическим и математическим представлениям выступает как чисто внешняя и случайная аналогия, то мысль Аристотеля о природе треугольника, заключённая в свойствах самой прямой линии, гораздо ближе современным представлениям о пространстве с точки зрения его геометрии. Может показаться, что в вопросе о важности прямой линии для описания природы пространства Аристотель философски предвосхищает Фихте, который линии, как известно, отводил фундаментальную роль в процессе трансцендентальной дедукции категорий времени и пространства. Однако для Фихте прямая линия есть образ «ноуменального Я» или «чистой свободы». Для Аристотеля прямая линия есть нечто конкретное и потому заранее предполагающее анализ своей собственной природы. Это видно, в частности, из следующих слов «Физики»: «…если прямая линия есть вот это, то треугольник необходимо имеет углы, равные двум прямым. Но нельзя сказать, что если последнее положение правильно, то правильно и первое, а только: если оно неправильно, не будет правильно и определение прямой» (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. — С. 101). В то же время Аристотель понимал, что вскрыть природу параллельных (= доказать пятый постулат в доевклидовом смысле) не удаётся независимо от установления величины суммы внутренних углов треугольника. Другими словами, Аристотель, по всей видимости, размышлял над следующей проблемой: почему мы успешно доказываем, что сумма углов треугольника равна двум прямым, используя пятый постулат, а сам его вывести из остальных аксиом не можем? Вероятнее всего, Аристотель потому и говорит: «нельзя сказать».
Упоминание Аристотелем того факта, что сумма углов может быть большей двух прямых, означает, по всей видимости, его знакомство с идеями сферической геометрии (См.: Веселовский И.Н. Неевклидова геометрия в древности. — М.: Наука, 1971. — XIII Международный конгресс по истории науки. СССР, Москва, 18-24 августа 1871 г.). Однако о данной области математики мы имеем сведения из более поздних источников. Вместе с тем, интересными и загадочными остаются следующие слова: » Таким образом, знать, что именно есть, и знать, почему есть, означает, как сказано, одно и то же (Аристотель, как видим, отождествляет что и что (Was и DaB). А это знание касается или вещи вообще, а не чего-то из присущего, или чего-то из присущего, как, например, что углы равны двум прямым или что нечто больше или меньше» (Аристотель. Аналитики первая и вторая. — М., 1952. — С. 251-252). Данное суждение есть свидетельство того, что уже древние, вероятно, пытались рассмотреть следствия, вытекающие из допущения, что сумма углов треугольника больше или меньше двух прямых. Но всё же судить об этом с уверенностью нам не представляется возможным (Б.А. Розенфельд и А.П. Юшкевич считают: «во всяком случае, нет оснований предполагать, что древние были близки к созданию той или иной неевклидовой геометрической системы». — См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке IX-XIV вв. — С. 11).
Ярко выраженный диалектический характер подхода Аристотеля к указанной проблеме раскрывается в другом тексте: «Если, например, полагают, что треугольник не изменяется, то не будут думать, что углы его в одно время равны двум прямым, а в другое нет» (Аристотель. Соч. в 4-х т .: Т. 1. — С. 251).
Т. Хит, И. Тот и некоторые другие исследователи творчества Аристотеля (Heath Th. Mathematics in Aristotlе. — Oxford, of the Clarendon Press, 1949.; I. Toth. Das Parallelenprobleme in Corpus Aristotelicum. — Archive of History of Exact Sciences, 1967, vol.3, № 4/5, p. 249-422.; I. Toth. Aristoteles in der Entwicklungsgeschichte der geometrischen Axiomatik. Verlag Nauka, Moscau, 1971. — XIII Internationaler Kongress fur Geschichte der Wissenschaft UdSSR, Moscau, 18-24 August, 1971. Имре Тот отстаивает тот взгляд, что в трудах Аристотеля есть многочисленные места, где приводятся положения, относимые к неевклидовой геометрии. И. Тот раскрывает роль Аристотеля в истории развития аксиоматики, которая, по его мнению, состоит в том, что Аристотель в различной форме высказывал положение, согласно которому евклидова теорема о сумме внутренних углов треугольника (Начала, I, 32, 3) сама по себе недоказуема, так как непосредственная сущность и основа существования треугольника заключается в том, что он может иметь сумму углов, равную, большую или меньшую 2R. — См.: I. Toth. Aristoteles in der Entwicklungsgeschichte der geometrischen Axiomatik. — Verlag Nauka, Moscau, 1971) привели достаточно полный перечень его текстов, в которых содержатся высказывания, позволяющие нам отчасти воссоздать общее состояние теории параллельных в эпоху, непосредственно предшествовавшую написанию «Начал» Евклида. Но создавал ли сам Аристотель математические трактаты? Ответить на этот вопрос с уверенностью трудно. А.Н. Чанышев полагает, что Аристотель не писал математических трудов (См.: Чанышев А.Н. Указ. соч. — С. 309). Мы же не будем столь категоричными. Диоген Лаэртский указывал, что у Аристотеля было сочинение «О математике» (См.: Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. — М.: Мысль, 1986. — С. 195). Большой математический материал собран Аристотелем в «Механических проблемах». Кроме того, О. Хайям в «Комментариях к трудностям во введении книги Евклида» упоминает о геометрических принципах, заимствованных у философа Аристотеля» (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Указ. соч. — С. 11-12).
