а именно от подлежащей бесконечной божественной
субстанции, внутри которой самоопределение выступает
как частичная негация. Божественная
субстанция-природа имеет бесконечные атрибуты, в т. ч. протяженность
и длительность. Время же, число и мера являются только
конечными, или потенциально бесконечными средствами
воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза
предвосхищает подходы к бесконечному у создателя
теории множеств Г. Кантора.
Спекулятивная теология Николая Кузанского служит
также основанием представлений и о бесконечности
Вселенной. Бог является, «основанием» мира: то, что содержится в
Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в
пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и
время его существования не могут быть конечными,
потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не
является бесконечным в том же смысле, как и Бог, — мир не
есть все, что может быть, — тем не менее его привативная
бесконечность (не infinitum, a Indeterminatum) включает в
себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр
Коперником геоцентрической системы и полемический
талант Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в
высшей степени популярным к 18 в.
Декарт также поддерживал идею беспредельности мира:
хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но
следует просто считать беспредельными веши, у которых мы
не усматриваем никаких границ, — такова протяженность
мира, делимость частей материи, число звезд и т. д.»
(Первоначала философии, ч. I). Кроме того, по Декарту,
бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным
признаком образа Божьего в человеческом существе. Именно
несоответствие конечности человеческого разума и
бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных
суждений. На фоне других философов 17 в. Лейбниц выступает
как наиболее убежденный защитник существования
актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась
Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно
прежде всего количество субстанций — монад — в универсуме.
Каждая часть материи представляет собой также актуально
бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов
этих монад связана с особыми принципами их подчинения
и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть
материи можно представить наподобие сада, полного
растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения,
каждый член животного, каждая капля его соков есть опять
такой же сад или такой же пруд» (Монадология, 67). В свою
очередь каждая монада представляет в своих
восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в
пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница
в психологии к формулировке концепции
бесконечно-малых («подсознательных») восприятий. В математике же это
приводит к особому пониманию структуры
пространственного континуума и, наконец, к созданию
дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в
отношении актуальной бесконечности остаются в высшей
степени действенными и по существу непревзойденными
все последующие три столетия.
Несмотря на то что молодой Кант еще всецело разделял лей-
бницевскую точку зрения в отношении актуальной
бесконечности, позже его взгляды резко меняются. В «Критике
чистого разума» в силу кантовской философии математики
оказываются невозможны ни бесконечное число, ни
бесконечная величина. Мир же в отношении своих
пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный,
ни как бесконечный, а как indefmitum — неопределенный.
У Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Экхарта о
причастности человеческого духа к божественной сущности,
вся природа выступает уже как бледное отражение истинной
бесконечности, заключенной в абсолютном «Я». Фихте учил
о становлении нового мира, точнее, целой
последовательности миров, но не через катастрофический онтологический
разрыв христианской теологии («Второе пришествие»), а
в результате органически развивающегося процесса
деятельности абсолютного «Я». В этой от века сушей потенциально
бесконечной деятельности божественная природа
абсолютного «Я» все яснее приходит к осознанию своей актуальной
бесконечности. У Гегеля конечное и бесконечное являются
лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое
отрицание конечного дает лишь «дурную бесконечность»:
никогда не завершающийся переход от одного конечного к
другому и представляет собой лишь «долженствование
бесконечного». Истинная бесконечность должна диалектически
снять оба соотнесенных момента, быть некоторым
становлением, которое одновременно есть и самораскрытие. Истинно
бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух, который
одновременно и актуально бесконечен, и осуществляет свое
развитие через мир конечных духов.
В 1851 вышла работа Б. Больцано «Парадоксы
бесконечного», в которой делается попытка опровергнуть
традиционные возражения против актуально бесконечного. В ней

248

БЕСКОНЕЧНОЕ
обсуждались понятия, ставшие в дальнейшем главными
и для Кантора: различение потенциальной и актуальной
бесконечности, трансфинитного и абсолютного и ряд
других.
В 20 в. философские дискуссии вокруг проблем
бесконечности соотносятся с теорией множеств и проблемой
оснований математики. Таковы, напр.,
феноменологический подход к проблемам теории множеств у О. Бек-
кера (Becker О. Mathematische Existenz. Halle, 1927);
интерпретация проблем теории множеств как выражения
классического конфликта между аристотелевским
концептуализмом и платонистской традицией в математике
у Л. Брюнсвика (Brunschvicq L. Les etapes de la philosophie
mathematique. P., 1922); рассмотрение канторовской
иерархии бесконечного на фоне концепции всеединства у
Б. П. Вышеславцева (Вышеславцев Б. П. Этика
преображенного эроса. М., 1994).

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ ИЛОТИКЕ.
Использование актуальной бесконечности в математике
настойчиво стремятся легализовать со 2-й пол. 19 в. В этом
процессе большую роль сыграли труды Б. Больцано, К.
Вейерштрасса, Р. Дедекинда и в особенности Г. Кантора.
В их работах было систематизировано употребление
понятия бесконечности в европейской традиции, выделены
его основные аспекты и была предложена (Кантором)
беспрецедентно дерзкая конструкция «шкалы
бесконечностей», ведущая от самых простых типов бесконечности
до бесконечности в Боге. Несмотря на то что конструкции
Кантора, ставшие основанием всей современной
математики, привели к перманентному кризису этого
основания, продолжавшемуся весь 20 в., теория множеств
представляется зрелым плодом взаимодействия центральных
философских тем европейской культурной традиции.
Трагические коллизии мысли, связанные с историей т. н.
парадоксов теории множеств, представляют собой
своеобразное раскрытие и саморазоблачение тех
титанических импульсов, которые сыграли существенную роль в
становлении новоевропейской науки и цивилизации в
15-17 вв.

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВКАНТОРА. Кантор развил
определенную технику оперирования с актуально
бесконечными множествами и построил определенный аналог
понятия количества для бесконечных множеств. Основой
этой техники служит понятие взаимно-однозначного
соответствия между элементами двух множеств. Говорят, что
элементы двух множеств можно поставить во
взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу первого
множества можно поставить в соответствие элемент
второго множества, разным — разные, и при этом каждый
элемент второго множества будет соответствовать какому-то
элементу первого. Про такие множества говорят, что они
эквивалентны, что они имеют одинаковую мощность, или
одинаковое кардинальное число. Если же можно доказать,
что элементы множества А можно поставить во
взаимнооднозначное соответствие с элементами подмножества В1
множества В, а элементы множества В нельзя поставить во
взаимнооднозначное соответствие с элементами А, то
тогда говорят, что мощность множества В больше мощности
множества А. Эти определения применимы и к конечным
множествам. В этом случае мощность представляет собой
аналог конечных чисел. Но бесконечные множества
имеют в этом смысле парадоксальные свойства. Бесконечное
множество оказывается эквивалентным своей части, напр.
так, как это происходит в т. н. «парадоксе Галилея»:
1,2,3,4, …,п, …
i i i i I
2, 4,6,8, …,2п,…
Эти парадоксы были известны давно, и именно они, в
частности, служили препятствием для рассмотрения
актуально бесконечных множеств. То, что здесь просто
сказывается специфика актуально бесконечного, объяснял в
«Парадоксах бесконечного» Больцано. Дедекинд считал
это свойство актуально бесконечных множеств
характеристическим.
Кантор развивает арифметику кардинальных чисел.
Суммой двух кардинальных чисел является мощность
объединения соответствующих им множеств, произведением —
мощность т. н. множества-произведения двух данных
множеств и т. д. Важнейшим оказывается переход от данного
множества к множеству-степени, т. е., по определению, к
множеству всех подмножеств исходного множества.
Кантор доказывает основополагающую для его теории
теорему: мощность множества-степени больше мощности
исходного множества. Если мощность исходного множества
записать через я, то в соответствии с арифметикой
кардинальных чисел мощность множества-степени будет 2а , и
мы имеем, следовательно, 2а > а.

Значит, переходя от некоторого бесконечного множества,

напр, от множества всех натуральных чисел, имеющего

мощность К0 (обозначение Кантора), к множеству всех

подмножеств этого множества, к множеству всех

подмножеств этого нового множества и т. д., мы будем получать

ряд множеств все более возрастающей мощности. Есть ли

какой-то предел этому возрастанию? Ответить на этот

вопрос можно, только введя в рассмотрение некоторые

дополнительные понятия.

Оперировать с бесконечными множествами, лишенными

всякой дополнительной структуры, вообще говоря,

невозможно. Поэтому Кантор ввел в рассмотрение упорядоченные

множества, т.е. множества, для любых двух элементов

которых определено отношение «больше» < (или «меньше» <). Это отношение должно быть транзитивным: из а<Ь и Ь<с следует: а<с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные — роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» — первую букву еврейского алфавита с индексами) К я будет соответствовать бесконечно много ординалов: 249 БЕСКОНЕЧНОЕ О 1 2 ... cuo, С0п+ 1... ю ... 0)2 ... со,, ... cucuo ... П (ординалы) 012... So ...Si ...S2 ...Хп ... Xu,,. ...t («тау»-кар- диналы) Согласно теоремам теории множеств любой «отрезок» шкалы Q. ординальных чисел, сам как множество вполне упорядоченное, будет иметь больший ординал, чем все заключенные в этом отрезке. Отсюда вытекает, что невозможно рассматривать все U. как множество, т. к. в противном случае П имело бы своим ординалом ?, которое больше всех ординалов в Q, но поскольку последнее содержит все ординалы, т.е. и ?, то было бы: ? > ? (парадокс Бурали—Форти,

1897). Кантор стремился обойти этот парадокс введением (с

1880-х гг.) понятия консистентности. Не любая

множественность (Vielheit) есть множество (Menge). Множественность

называется консистентной, или множеством, если ее можно

рассматривать, как законченное целое. Если же допущение

«совместного бытия» всех элементов множественности

ведет к противоречию, то множественность оказывается

неконсистентной, и ее, собственно, нельзя рассматривать в

теории множеств. Такими неконсистентными множествами

оказываются, в частности, Cl — множество