всех ординальных
чисел и т («тау») — множество всех кардиналов («алефов»).
Тем самым мы опять возвращаемся к бесконечности как к
процессу. Как пишет математик 20 в. П. Вопенка: «Теория
множеств, усилия которой были направлены на
актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной
потенциальность устранить, а только смогла переместить ее
в более высокую сферу» (Вопенка П. Математика в
альтернативной теории множеств. — «Новое в зарубежной науке.
Математика», 1983, № 31, с. 124.) Это не смущало, однако,
самого Кантора. Он считал, что шкала «алефов»
поднимается до бесконечности самого Бога и поэтому то, что
последняя оказывается математически невыразимой, было для
него само собой разумеющимся: «Я никогда не исходил из
какого-либо «Genus supremum» актуальной бесконечности.
Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное
несуществование «Genus supremum» для актуальной бесконечности. То,
что превосходит все бесконечное и трансфинитное, не есть
«Genus»; это есть единственное, в высшей степени
индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает
«Абсолютное», непостижимое для человеческого
понимания. Это есть «Actus Purissimus», которое многими
называется Богом» (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg
Cantors. — «Der Mathematikuntemcht», 1971, № 4, S. 30-34).
ПАРАДОКСЫ И ТРУДНОСТИ ТЕОРИИМНОЖЕСТВ.
С 90-х гг. 19 в. начинается широкое обсуждение
парадоксов теории множеств. Кроме парадокса Бурали — Форти
существует парадокс Рассела, вскрывающий сложную
логическую природу понятия бесконечного множества.
Анализируя канторовскую теорему о множестве-степени,
Рассел выделил понятие «множества, которое не является
элементом самого себя». Напр., множество всех множеств
не будет таковым, а множество натуральных чисел — будет.
Однако в отношении множества всех множеств, не
являющихся элементами самого себя, мы уже не можем решить,
будет ли оно обладать свойством не являться своим
элементом или нет. Оба ответа ведут к противоречию.
Подобные размышления привели Рассела к выделению
предикативных и непредикативных свойств множеств, и
построению т. н. теории типов, которую он развивал совместно
с Уайтхедом. Можно привести также формулировку
парадокса Банаха — Тарского, который хотя и не относится
непосредственно к теории множеств, но характеризует ту
математику, которая вытекает из этой теории. Парадокс
формулируется так: можно разбить шар на конечное число
частей, которые можно переставить так, что получатся два
шара такого же размера, как и исходный шар.
Теория множеств оказалась естественным языком для
решения стоявшей веками задачи арифметизации континуума.
Во 2-й пол. 19 в. было предложено несколько
арифметических конструкций действительных чисел (К. Вейерштрасс,
Р. Дедекинд, Г. Кантор). Мощность получающихся
числовых моделей континуума оказывалась равна 2К°. Кантор
предположил, что 2К°=К,, где X, — наименьшая из
мощностей, больших X о — мощности множества натуральных
чисел: {1,2,3,…}. Это утверждение и называется
континуум-гипотезой. Но несмотря на пламенную веру Кантора в
истинность этого результата, ни ему, ни последующим
математикам не удалось доказать этого факта. Более того, в
1963 П. Коэн доказал, что континуум-гипотеза независима
от системы аксиом теории множеств Цермело — Френкеля.
Другими словами, континуум-гипотеза не может быть ни
доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту
систему аксиом. Философский смысл этих результатов в
том, что если мощность континуума равна какому-то «але-
фу», (не обязательно № 1, т.е. обобщенная
континуум-гипотеза), то континуум «конструируется из точек». Сам же Коэн
считал, что континуум-гипотеза скорее всего не верна, что
континуум «рассматривается как невероятно большое
множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой
и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни
было постепенного процесса построения» (Коэн Я. Теория
множеств и континуум-гипотеза. М., 1969, с. 282).
Другой классической проблемой теории множеств является
аксиома выбора. Она формулируется следующим образом:
дано некоторое, вообще говоря, бесконечное множество
множеств. Существует функция, ставящая в соответствие
каждому множеству один его элемент (выбирающая из
каждого множества по элементу). Несмотря на простоту
формулировки аксиомы выбора, трудно представить, как
бы можно было ее доказать. В то же время от этой аксиомы
зависит большое множество теорем анализа, а в самой
теории множеств — доказательство фундаментальной теоремы
Цермело о возможности сравнения мощностей различных
множеств. Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963)
было установлено, что аксиома выбора независима от
корпуса других аксиом теории множеств Цермело — Френкеля.
Вместо аксиомы выбора были предложены альтернативные
аксиомы, напр. аксиома детерминированности. При
изменении аксиом теории множеств, естественно, меняется
и характер математики, построенной на базе этой теории
множеств.
ХРИСТИАНСКАЯ ТЕОЛОГИЯ И ТЕОРИЯМНОЖЕСТВ.
В соответствии с пониманием святых отцов христианский
Бог-Троица непостижим в своей сущности, но познается в
откровении в своих энергиях. Энергии открывают
человеку имена Божий, которые характеризуют Его в отношении
к миру. Эти имена — Всемогущий, Всеблагой, Всевидящий
и т. п. — характеризуют бесконечную мощь божественных
проявлений, рядом с которой все аналогичные тварные
250
свойства оказываются, вообще говоря, конечными. В
пантеистических системах божественным оказывается сам мир;
различие между трансцендентной сущностью и энергиями
игнорируется, и сам мир наделяется бесконечными
характеристиками. Так, напр., у Спинозы протяженность и
длительность как атрибуты божественной субстанции природы
будут бесконечны. Создатель теории множеств Кантор
пытался дать и богословское применение своим конструкциям,
с актуальной бесконечностью (Кантор вообще считал теорию
множеств относящейся столько же к метафизике, сколько и
к математике). Он различал три типа бесконечного: беско
нечное в Боге («в уме Бога») — Абсолютное, в тварном мире —
Трансфинитное, в уме человека — трансфинитные числа
(ординалы). Несмотря на то что в канторовской философии
математики критерием научности служила лишь
логическая непротиворечивость, для оправдания теории множеств,
Кантор нуждался в доказательствах существования
трансфинитного (бесконечного в мире). Это не только служило
бы опровержению аристотелевской догмы, но и явилось
опорой для его программы развертывания новых
подходов в физике и химии на основе теории множеств. Кантор
пытался толковать известное место из Книги Премудрости
Соломона, XI, ст. 21: «Ты все расположил мерою, числом и
весом» — как подтверждение существования
трансфинитного в мире. «Здесь не стоит in numero finite», — писал Кантор
(Meschkowski H. Aus den Briefbuchem Georg Cantor,— «Archive
for History of Exact Sciences», 1965, v. 2, N 6, p. 503-519).
Кантор также пытался доказать существование трансфинитного
в мире как более подобающего бесконечному и всемогущему
Богу. Это вызвало справедливую критику католических
теологов, обвинявших Кантора в наклонности к пантеизму.
Лит.: Фрагменты ранних греческих философов, ч. 1. М., 1989;
Николай Кузанский. Об ученом незнании. — Николай Кузанский.
Соч. в 2 т., т. 1. М., 1979; Бруно Дж. О бесконечности, вселенной
и мирах.—В кн.: Он же. Диалоги. М., 1949; Лейбниц Г. В. Соч. в
4 т., т. 1. М., 1982; Декарт Р. Первоначала философии. — Он же.
Соч. в 2 т., т. 1. М., 1989; ЛоккДж. Опыт о человеческом
разумении.— Он же. Соч. в 3 т., т. 1. М., 1985; Кант И. Критика чистого
разума. — Он же. Соч. в 6 т., т. 3. М., 1964; Гегель Г. В. Ф. Наука
логики, т. 1. М., 1970; Больцано Б. Парадоксы бесконечного.
Одесса, 1911; Флоренский П. А Соч. в 4 т., т. 1. М., 1994; Тайден-
коП. П. Эволюция понятия науки, т. 1—2. М., 1980—87; Кантор Г.
Труды по теории множеств. М, 1985; Дедекинд Р. Непрерывность
и иррациональные числа. Одесса, 1923; Гедель К Совместимость
аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с
аксиомами теории множеств. — «Успехи математических наук», 1948,
№ 1; Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.,
1966; Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969;
Dauben /. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the
Infinite. Cambr.-L., 1979.
Б. H. Катасонов
БЕСКОНЕЧНОЗНАЧИМАЯ ЛОГИКА- см. Многозначные
логики.
БЕССМЕРТИЕ— вера в нескончаемость человеческого
существа, особенно души человека. Эта вера образует ядро
мифов и религий. Истоками идеи бессмертия были
убеждения в божественном происхождении души, ее простоте, ме-
материальности и неразрушимости. Понимание бессмертия
различно в разных философских дискурсах. Из них можно
вычленить четыре типа, в рамках которых представлены
совершенно различные трактовки бессмертия: 1)
эйдетический, связывающий бессмертие с приобщением к миру
вечных идей, 2) христианский, исходящий из смертности
человека как единства тела и души и связывающий
бессмертие с Воскресением и причастием к благодати Св. Духа,
3) натуралистический, подчеркивающий бренность
человеческой природы и бессмертие ее первоначал
(мигрирующих атомов, «зародышевой плазмы», генетического кода
и пр.), 4) социокультурный, усматривающий в бессмертии —
сохранение достижений личности в памяти
человечества. Эти типы философского дискурса о смерти и
бессмертии обусловливают и различные типы духовных практик
в частности похоронных обрядов, ритуалов, призванных
обеспечить загробную жизнь. В религиозных верованиях
индусов и египтян существовала идея переселения душ (см.
Метемпсихоз). В античной культуре идея бессмертия души
возникает у орфиков (Диоген Лаэртский 1, 24) и
пифагорейцев, отстаивавших идею «вечного возвращения» (там же,
V111, 14). Бессмертна душа, по Алкмеону (см.: Аристотель.
О душе, 1 2,405 а 30). Согласно Платону, душа как
первоначало жизни непорождаема и бессмертна («Федр», 245, 246 а,
«Государство» X 608 d, 611 а) и родственна вечным идеям
(«Федон», 62). Трактовка Платоном судьбы души после
смерти и ее возрождения на земле связана с орфико-пифа-
горейским учением о переселении душ. У Аристотеля душа
есть форма тела и неотделима от него, бессмертием обладает
лишь разумная часть души («О душе», III 5, 430 а 20). Для
него неприемлема мысль о перевоплощении душ,
поскольку каждое тело имеет свою собственную душу. Для Эпикура
все живое смертно, бессмертны лишь атомы, из которых
они состоят. Стоики (напр., Зенон) считают, что только
разум бессмертен. Для Хрисиппа лишь мировая душа,
составляющая часть души человека, обладает бессмертием
(Диоген Лаэртский, VII 156). Бессмертна душа, по
Цицерону («Тускуланские беседы», 1 27, 66). Эпиктет и Марк
Аврелий отрицали индивидуальное бессмертие. О бессмертии
духа говорили Филон Александрийский, Плотин. Против
идеи бессмертия выступал Лукреций («О природе вещей»,
III, 410). Согласно античному мировоззрению, бессмертие
означало «божественность». Поэтому для античной мысли
бессмертие души тождественно ее вечности и
божественности, причастности миру идей: лишь то, что не имеет
начала, бессмертно. Смерть для греков — освобождение от
телесности и возвращение в мир духа. Христианство связано с
новым пониманием смертности человека, вытекающим из
представления о сотворении мира Богом (в т. ч. и человека).
Хотя душа и сотворена Богом бессмертной, она из-за
грехопадения оказывается смертной и лишь по благодати Божией
станет бессмертной. Для христианина смерть — катастрофа,
«возмездие за грех» (Рим 6:23), следствие грехопадения,
нарушения взаимоотношений с Богом и отделения души от
тела. Если в античной философии бессмертие понимается
как пребывание в вечности — в вечном мире эйдосов, то в
христианской философии бессмертие — это пребывание
во времени, жизнь преображенной души и преображенной
плоти, лишенной тления и косности. Христианская идея
апокатастасиса предполагает восстановление каждого
человека в полноте всей его природы, приведение всей твари к
совершенству и нетлению. Поэтому, как заметил Г. Флоров-
сккй, «христиане, будучи христианами, не должны верить
251
философским теориям бессмертия. Они должны верить во
Всеобщее Воскресение. Человек — тварь. Самым своим
существованием он обязан Богу. Человеческое бытие не
необходимо. Оно — милость Божия. Но Бог сотворил
человека для бытия, то есть для вечности. Достичь же вечности
и обрести ее можно только в единении с Богом» (Флоров-
ский Г. Догмат и история. М., 1998, с. 254). Христианство
как религия спасения души и преображения ее плоти, как
вера в Воскресение принципиальным образом отличается
как от космотеизма греков, так и от натурализма Нового
времени.
Один из первых христиан-апологетов, Иустин, считал, что
Бог есть жизнь, а душа как нечто тварное лишь может иметь
жизнь, дух. Татиан подчеркивал, что душа смертна, но
может и не умирать (Oratio ad Graecos, 13). Согласно Иринею
Лионскому, душа пребывает столько, сколько Богу
угодно. Климент Александрийский говорит о том, что лишь
божественная благодать делает душу бессмертной.
Бессмертие души как дар Божий отстаивали Тертуллиан (De
an. 41), Григорий Нисский (De creat, horn. 27), Ориген («О
началах» II, 8), Лактанций (Inst. V 18). Августин, согласно
которому душа причастна вечным истинам («О количестве
души», гл. XIII—XIV), подчеркивал, что бессмертие души
не абсолютно и ее можно назвать смертной. В противовес
платонизму он
