низвержения в Англии и Франции
абсолютных монархий, а в Северной Америке — установления
конституционного республиканского строя. Ее далеко
идущим следствием стала распространенная во всех
современных демократических странах периодическая выборность
властей путем всенародного голосования, что означает в
сущности заключение всякий раз общественного
соглашения.
А. Л. Субботин
ДОЙССЕН(Deussen) Пауль (7 января 1845, Обердрейс
— 6 июля 1919, Киль) — немецкий философ и историк
философии. Учился в Боннском университете (вместе
с Ницше); диссертация о «Софисте» Платона (1869). С
1872 начал систематически изучать индийскую
философию; в 1881—89 преподавал в Берлине, с 1889 —
профессор в Киле. Испытал сильнейшее влияние Ницше,
выразившееся в его обращении к философии
Шопенгауэра и к научной индологии. В 1911 Донесен опубликовал
681
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ
четырнадцатитомное критическое издание
сочинений Шопенгауэра (до снх пор наиболее авторитетное),
в 1912 основал Шопенгауэровское общество. В духе
шопенгауэровской этики видел цель индивида в
преодолении «воли к жизни» или эгоизма естественного
существования посредством «самоотрицания» как реализации
надындивидуального существования; божество в
понимании Дойссена носит безличный характер. Дойссен
стоял у истоков философской компаративистики; он
считал, что истина раскрывается в архетипе «вечной
философии», основное ядро которой — учение об иллюзорности
феноменального мира — было намечено в Упанишадах,
разрабатывалось представителями эдейской школы и
Платоном, получило научную формулировку в «Критике
чистого разума» Канта и окончательную — в философии
Шопенгауэра. Труд жизни Дойссена — «Всеобщая
история философии» (Allgemeine Geschichte der Philosophie,
Bd. I, Abt. 1-3, Bd. II, Abt. 1-3. Lpz., 1894-1917), в
которой по существу впервые материал индийской
философии (три тома из шести) был введен в общефилософский
контекст. Дойссену принадлежат образцовые переводы на
немецкий язык Упанишад, мировоззренческих текстов
«Махабхараты» и «Брахмасутрабхашьи» Шанкары.
Соч.: Die Elemente der Metaphysik. Aachen, 1877; Das System des
Vedanta. Lpz., 1883; Die Sutras derVedanta oder die Sari rakami mamsa
des Badarayana. Lpz., 1887; Sechzig Upanishads des Veda. Lpz., 1897;
Vier philosophische Texte des Mahabharatam. Lpz., 1906.
В. К. Шохин
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ— раздел современной
математической логики, изучающий свойства и
преобразования формальных доказательств, т.е. формальных
объектов, синтаксическая правильность которых гарантирует
семантическую. Это определение унифицирует
множество разнородных понятий формального доказательства,
существующих в математической логике:
последовательности формул, графы, диаграммы и т. д. В некоторых
областях современного общества понятие доказательства
стало практически тоже формальным. В частности,
понятие документа в юриспруденции включает в себя прежде
всего правильность его формы, которая делает его
содержание истинным по определению. Однако формальное
определение доказательства может в некоторых случаях
быть содержательно неадекватным. Часто составленный
по всей форме документ прикрывает результат абсолютно
незаконных действий либо обмана.
Доказательств теория первоначально появилась в связи
с программой Гильберта (см. Формализм), с задачей
обоснования того, что каждый формальный вывод
содержательно интерпретируемого (реального) утверждения дает
содержательно правильный результат, включающий в
случае необходимости и соответствующее построение.
Одним из шагов по направлению к данной цели казалось
доказательство непротиворечивости формальных теорий.
Это средство незаметно подменило собой цель, и поэтому
первым громко прозвучавшим результатом теории
доказательств была теорема Геделя о неполноте и ее следствие —
о недоказуемости непротиворечивости.
Важным позитивным результатом является теорема Я. С.
Новикова: утверждение о существовании результата
алгоритмического построения, доказанное в классической
арифметике, дает верное следствие, и в том числе (грубую)
оценку числа необходимых шагов построения. Эта теорема
стала основой целого класса результатов современной
теории доказательств, обосновывающих совпадение
классической истинности и конструктивной обоснованности для
многих видов утверждений (в последнее время такие
результаты все чаще доказываются методами моделей теории).
Следующим шагом в развитии теории доказательств,
надолго предопределившим ее магистральное направление,
стала формулировка Г. Генценом исчисления секвенций и
естественного вывода и доказательство им теоремы
нормализации для классического и интуиционистского исчисления
секвенций. Содержательно теорема нормализации означает
возможность перестроить любой формальный вывод в
нормализованный вывод без лемм. Было ясно, что понятие
нормализованного вывода применимо и к естественному
выводу, но точную формулировку дал только Д. Правиц
(1965). Хотя формально определение Правица является
сложным, содержательный смысл его вполне прозрачен.
Логических правил для каждой связки обычно два:
правило ее введения, показывающее, как доказывать
утверждения данного вида, и правило удаления, показывающее,
как их применять. Напр., для импликации в классической
и во многих других логиках правила имеют вид:
Допустим А
В, исходя из А А,А=>В
А^В В
Во втором из данных правил формула А => В используется
именно как импликация, формула же А не анализируется
и может быть любой. Для того чтобы подчеркнуть данный
факт, А => В называется главной посылкой правила
удаления импликации.
В выводе есть окольный путь, если результат правила
введения используется как главная посылка в
соответствующем правиле удаления, а такая пара правил
называется вершиной окольного пути. Если в выводе нет вершин
окольных путей, то он называется прямым либо
нормализованные.
Теорема нормализации гласит, что любой вывод можно
перестроить в нормализованный. Длительное время
разные формы нормализации являлись ведущей темой
исследований в теории доказательств. Расширялся класс
исчислений и теорий, для которых устанавливалась норма-
лизуемость выводов. Сейчас она обоснована для теории
типов и для множества неклассических логик.
Устанавливались и оценки соотношения длины
нормализованного и исходного выводов. Здесь была подтверждена
правота Гильберта о необходимости идеальных объектов
для реальных результатов. В частности, В. А. Оревков
построил пример последовательности формул, таких, что
доказательство я-й формулы с окольными путями
происходит приблизительно за 13« шагов, а нормализованный
вывод либо вывод методом резолюций должен делать
не менее 22″ (п раз) шагов. В косвенном доказательстве
(п + 1)-й формулы используется промежуточный результат,
содержащий в два раза больше связок, чем в доказательстве
л-й. В исчислении высказываний оценка увеличения
длины вывода чуть «оптимистичней» — она экспоненциальна.
В свою очередь изучение свойств самих преобразований,
используемых при нормализации выводов, в частности
показало, что предложенная Правицем система операций
682
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ
устранения вершин окольных путей обладает свойством
полной недетерминированности: независимо от порядка
применения операций за конечное число шагов
получается нормшшзованный вывод. Но сам результирующий
вывод существенно зависит от порядка применения шагов.
В последнее время на стыках между теорией доказательств
и информатикой появились новые классы результатов.
Во-первых, выяснилось, что структуры доказательств и
структуры извлекаемых из них построений, записанных
на алгоритмическом языке достаточно высокого
уровня (допускающем работу с значениями высших типов;
так что Pascal и С этим требованиям не удовлетворяют),
тесно связаны. Построение мономорфно вкладывается
в доказательство, а часть доказательства, получающаяся
отбрасыванием шагов и формул, нужных лишь для
обоснования результата, изоморфна программе.
Далее, были рассмотрены соотношения между
преобразованиями доказательств и скрытых в них программ.
Оказалось, что нормализация соответствует вычислению
программы в символьной форме (т. е. когда.проделываются
все вычисления и преобразования выражений,
которые не зависят от входных данных). Оптимизирующие
преобразования программ в свою очередь подсказали
новые классы преобразований доказательств,
ориентированные на устранение избыточностей.
Лит.: Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Та-
кеути Г. Теория доказательств. М., 1978.
Я. Н. Непейвода, В, А. Смирнов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВАРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ
ФИЛОСОФИИ, а также в религиозно-правовой мысли
(фикх) понимается на основе соотнесения получаемого или
оцениваемого знания с троичной градацией степеней его
достоверности: «уверенность» (йакйн), «мнение» (занн),
«сомнение» (шакк; см. Знание). В качестве доказательства в
философии рассматриваются способы получения
«уверенного» знания, в фикхе — то, что дает «уверенное» знание
и «мнение». Несмотря на общность терминологии, сами
«уверенность» и «мнение» понимаются по-разному в
философии и фикхе: «мнение» во втором случае ближе к тому,
что философия называет «уверенностью», нежели
«мнением». Доказательность знания, наличного или получаемого,
связывается в самом широком плане с его ясностью.
Среди терминов, которыми в философии, фикхе и
филологии обозначается доказательство в общем смысле, многие
происходят от корня б-й-н, передающего эту идею (байан,
табййн, баййина). Ясность достигается разными путями, в
соответствии с чем можно в целом разделить способы
доказательства на недискурсивные и дискурсивные. Первые
не предполагают процедур перехода от наличного знания
к искомому и соответственно необходимости орудий
такого перехода, вторые в них нуждаются. С этим связана в
целом устойчиво признаваемая и в философии, и в фикхе
предпочтительность недискурсивных способов
доказательства в сравнении с дискурсивными. Не нуждающимися в
доказательстве признавались ясные для ума априорные
истины (‘ава’ил ал-‘акл) типа «целое больше части», а
также «врожденное знание» (фитриййат), которым любая
душа обладает независимо от своего желания. Близким к
последнему можно считать понятие «неизбежное знание»
(‘илм идтирар, ‘илм дарурийй), в которое некоторые мута-
каллимы включали, в частности, знание о наличии Творца.
Помимо отмеченных наиболее общими терминами для
доказательства служат «далала» (указание), однокоренное
«истидлал» (руководство указанием), а также «худджа»
(аргумент). Термином «бурхан» обозначается аподейк-
тическое доказательство в логике. Хотя были найдены
стоические аналоги для понимания «далала» (напр., дым
является «признаком» — ‘амара — огня, доказывающим
его наличие), этот термин в арабо-мусульманской мысли
значительно шире своего возможного прототипа.
Понимание далала тесно связано и с классической теорией
указания на смысл, в которой связь между «выговоренностью»
(лафз) и «смыслом» (ма’нан), а также между «состоянием
вещей» (насба) и смыслом считается, во-первых,
сущностной, а не случайной (а потому разводится с указанием
«знака» — «’алам» на «означаемое» — «мадлул», которое-
случайно и может быть установлено произвольным
образом) и, во-вторых, улавливаемой ясно и безошибочно и по
сути дела непосредственно (см. Смысл).
В фикхе в качестве источников «уверенного» знания
рассматриваются Коран и сунна, точнее, только те их
положения, которые в результате длительной работы по
различению «отменяющих» (насих) и «отмененных» (мансух),
«ясных» (мухкамат) и «неясных» (муташабихат) аятов
Корана и их взаимного отношения, классификации хадисов
по степеням достоверности и установления их отношения
к кораническим аятам были признаны в качестве
незыблемых норм (насс, букв, —текст). Соответственно
«доказательство от текста» (далалат ан-насс) считается прямым
свидетельством истины, перевешивающим все прочие.
Хотя вычленение незыблемых норм-насс из текста
Корана и сунны включает дискурсивные элементы, сами по
себе такие нормы являются недискурсивным
доказательством. Разновидностью недискурсивного доказательства
в фикхе можно считать «единогласие» (иджма’), хотя этот
метод оценивается ниже далалат ан-насс и даже
дискурсивного кийас (соизмерение), в основном в связи с
сомнением в возможности его безошибочного установления.
В философии также исследуются пути недискурсивного
достижения абсолютной несомненности. Она
связывается с возможностью «соединения» (иттисал) субъекта и
объекта познания в силу их тождественности. Ибн Cum
разрабатывает в этом направлении понятие «хадс»
(интуиция), вслед за ним ас-Сухравардй говорит о
непосредственной и полной «явленности» (зухур) «яйности»
(‘ана’иййа) человека самому себе. Близким можно
считать понятие «завк» (вкушение) в суфизме, хотя в него, в
отличие от авиценновского и ишракистского понимания
«явленности», может включаться и постижение сенси-
бельного. Хотя такая явленность не является
доказательством в привычном смысле слова, она прямо связывается
с пониманием очевидности и ясности как обладающими
высшей доказательной силой. Кроме того, недискурсив-
ность гарантирует от ошибок, связанных с
неправильным применением дискурсивных методов доказательства
или ошибочностью их исходных посылок. В исмаилизме
недискурсивность доказательства связывается скорее с
его авторитетным характером, нежели с ясностью: «цело-
купное» (куллиййа) метафизическое знание, полученное
избранными единицами благодаря горней «поддержке»
(та’йид), само не нуждается в доказательстве и служит
основой всякого доказательства, которое сводится к
детализации и конкретизации этого знания.
683
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ
Основной тип дискурсивного доказательства связан в
классической арабской мысли с понятием «соизмерение»
(кийас). Из трех главных теоретических областей знания
— философии, фикха и филологии — кийас
теоретически менее всего разработан в последней. Сам этот термин
на первых стадиях развития и в фикхе сохраняет черты
общности с однокоренным микйас (образец для
соизмерения, гномон), но в филологии употребляется фактически
как его синоним в рассмотрении вопросов морфологии,
а также синтаксиса, где структура слова или фразы
объясняется как выстроенная «по соизмерению» с другой, хотя
и в философии кийас может употребляться в схожем
смысле, как синоним «соотнесения» (нисба) или
«сопряжения» («идафа»). Начало разработки теории кийас в фикхе
обычно связывают с «ар-Рисала» («Трактат») аш-Шафи’и,
но зрелое ее изложение содержат сочинения по ‘усул
ал-фикх (основам фикха). Кийас в фикхе предполагает
решение вопроса о том, применима ли к произвольному
случаю, не входящему в число насс, некая норма (хукм),
установленная для случая-насс. Последний считается
основой (‘асл), рассматриваемый — ветвью (фар’), в
«основе» выделяется обоснование (‘илла) для нормы
основы (хукм ал-‘асл), устанавливается его наличие в «ветви»,
которая т. о. получает норму ветви (хукм ал-фар’),
перенесенную на нее с «основы». Кийасу как рациональному
доказательству противопоставляется в фикхе
«предпочтение» (истихсан), когда та или
