a priori. Они обладают

строгой всеобщностью и необходимостью.

Синтетические суждения a priori составляют каркас чистой

математики и общего естествознания. Метафизика только

претендует на априорные синтетические познания, и может

реализовать их лишь в качестве практических постулатов.

Неспособность метафизики к априорным синтетическим

познаниям связана с тем, что ее предметная область (Бог,

свобода и бессмертие души) лежит за границами

возможного опыта. Между тем антиципировать можно лишь

формы возможного опыта. Соответственно, сфера априорных

синтетических познаний связана исключительно с

предметами, которые могут стать объектами восприятия. Таким

образом, исследование Кантом синтетических суждений а

priori включает: 1) установление общих условий их

возможности, 2) определение на основании этих условий границ

синтетического познания, 3) доказательство реализован-

ности этих условий в том или ином конкретном случае,

к примеру, для основоположения о причинности (область

возможных случаев определяется также a priori).

Кантовская концепция аналитических и синтетических

суждений вызвала значительный резонанс в европейской

философии. Однако ближайшие последователи Канта

не придавали ей определяющего значения, выдвигая тезисы

об относительности данной дистинкции. Активные

дискуссии на эту тему возникли в 20 в. в связи с «лингвистическим

поворотом» современной философии. Среди наиболее

спорных проблем — вопрос о синтетической природе

математического знания. Это кантовский тезис отвергался

большинством аналитиков, близких идеям Венского кружка.

Правда, при этом нередко принимали во внимание одно

лишь номинальное определение синтетических суждений.

Ещеболеемощнойатакеподверглосьцентральноеположение

Канта о возможности синтетических суждений a priori в

целом. Стандартная «аналитическая» схема вообще исключает

эту разновидность суждений и подразумевает жесткое

противопоставление конвенциональных аналитических

положений и синтетических суждений опыта. Во 2-й пол. 20 в. вновь

усиливается тенденция к отказу от резкого

противопоставления аналитического и синтетического познания (У. ван

О. Куайн, Р. Рорти).

В. В. Васильев

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ- класс суждений

(утверждений, высказываний, предложений), истинность

которых устанавливается путем чисто логического

анализа составляющих их элементов (терминов, элементарных

высказываний) без обращения к внелогической или вне-

языковой информации. Понятие аналитических суждений

в противопоставлении понятию синтетических суждений

было впервые сформулировано И. Кантом применительно

к суждениям с субъектно-предикатной структурой:

«Аналитические суждения высказывают в предикате только то, что

уже мыслилось в понятии субъекта, хотя и не столь ясно и

не с таким же сознанием» (Кант И. Соч., т. 4 (1). М., 1965, с. 80).

Однако определяющие признаки аналитических суждений,

не связанные только с суждениями с

субъективно-предикатной структурой, по существу были сформулированы уже

Лейбницем в контексте противопоставления им «истин

разума» и «истин факта». Последние понимались Лейбницем

как необходимые истины, устанавливаемые путем анализа

их составляющих, причем безотносительно к эмпирической

информации. «Истины разума» рассматривались как

априорные «истины во всех возможных мирах», т.е. как истины,

которые независимы от положения дел, как оно

складывается в этом реально существующем мире. Д. Юм проводит

различные «отношения идей» и «положений дел»: первые носят

для него необходимый характер и устанавливаются путем

чисто логического анализа понятий. И для Лейбница, и для

Юма априорность утверждений, их независимость от опыта

жестко связана с их аналитичностью (в отличие от Канта,

вводящего понятие синтетических априорных суждений).

Новая волна интереса к понятию’ «аналитические

суждения» была связана в гносеологии и методологии науки

20 в. прежде всего с развитием исследований по

обоснованию математики и математической логики. Б. Рассел

и Л. Витгенштейн сформулировали понятие тавтологий

(или тождественно истинных высказываний), посредством

101

АНАЛИТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ МЕТОД

которого они интерпретируют статус т. н. законов логики,

т.е. формул исчислений математической логики, истинных

при любой подстановке в них дескриптивных постоянных

вместо переменных. К содержанию этого понятия

применяется термин «аналитические суждения», хотя, строго

говоря, классическому смыслу этого термина, по Канту,

соответствуют только дескриптивные аналитические суждения

типа «всякий холостой мужчина не женат». В соответствии

с разделявшейся Расселом и Витгенштейном концепций

логицизма, сводящей математику к логике, признак

аналитичности был распространен и на положения математики.

Эта трактовка аналитических суждений легла в основу

классификации предложений языка науки логическим

позитивизмом Венского кружка. Согласно этой классификации,

все осмысленные предложения языка науки исчерпывающе

делятся на два взаимоисключающих типа, для обозначения

которых применяются идущие от Канта термины

аналитичности и синтетичности утверждений. Определяющим

признаком первой выступает возможность чисто логического

обоснования. При этом специфика трактовки

аналитичности в логическом позитивизме заключается в истолковании

аналитических предложений как схем допустимых

формальных преобразований в системе языка. Если для

классического рационализма аналитические суждения выступали

как логически необходимые, содержательные «истины

разума», то для логического позитивизма аналитические

предложения оказываются языковыми конструкциями, которые

не несут в себе какой-либо информации о мире, являются

«тавтологиями» (в специфическом смысле этого термина в

философии логического анализа), принимаются на основе

конвенционально устанавливаемых правил «языка науки».

Трактуя логику и математику в противопоставлении

остальным т. н. фактуальным наукам как «формальную науку»,

состоящую из подобного рода аналитических предложений,

логические позитивисты пытались примирить свой

«радикальный эмпиризм» в трактовке фактуальной науки с

признанием специфики статуса логики и математики, всегда

представлявшим непреодолимую трудность для эмпиризма.

Кроме аналитических предложений формальной науки, т.е.

логики и математики, в предлагаемой логическими

позитивистами схеме предусматривался и подкласс дескриптивных

аналитических предложений фактуальной науки,

приводимых на основе правил языка к виду «предложений логики»,

что, собственно, только и соответствовало аналитичности в

классическом смысле Канта.

И логика, и математика, предлагая определенные правила

работы в языке науки, основываются тем не менее на

определенных онтологических установках. В последующем

развитии методологии науки, использующей идеи

логической семантики, аналитичность интерпретируется как

возможность обоснования утверждений при помощи исходных

семантических правил данного языка, но при этом она

оказывается связанной с наличием некоторых исходных

предпосылок рассмотрения мира, постулируемого семантикой

данной языковой системы. Рациональный смысл

различения аналитичности и синтетичности фиксирует реальную

методологическую проблематику выделения исходных

основоположений построения языков науки и предложений,

связанных с выражением той информации, которая

ассимилируется в этих языках. Поскольку и семантика исходных

постулатов языковой системы задает определен-ный взгляд

на мир, определенную его картину, аналитические

суждения не являются в этом смысле «истинами во всех

возможных мирах» (как характеризовал их Лейбниц), а только в том

«мире», картина которого задана семантикой

соответствующей языковой системы. Таким образом, явно или неявно

сами исходные семантические постулаты языка

предполагают определенную онтологию.

В. С. Швырев

АНАЛИТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ МЕТОД- разрешающий

метод для проблемы общезначимости формул

классической, интуиционистской и модальной (система S4) логики

высказываний, В сочетании с некоторыми

дополнительными приемами этот метод применим и для классической и

интуиционистской логики предикатов. В последнем случае

метод аналитических таблиц представляет собой полураз-

решаюшую процедуру, псокольку положительное решение

вопроса об общезначимости достижимо для любой

общезначимой формулы, а отрицательное — не для всякой

необщезначимой формулы. Так как к вопросу об

общезначимости формул сводятся вопросы о наличии

логического следования, а также несовместимости по истинности

(ложности) формул языков соответствующих логических

систем, то аналитические таблицы применимы и для

решения этих вопросов.

Построение аналитической таблицы для некоторой

формулы А начинается с предположения о ее ложности. Далее

по правилам построения осуществляется сведение этого

предположения к все более простым условиям ложности

А в виде выражений ТВ («истинно В») и FB («ложно В»),

называемых отмеченными формулами (далее «Г^-форму-

лы»), где В — формула соответствующей системы. В случае

общезначимости А процесс редукции приводит к

противоречию.

Правила построения аналитических таблиц специфичны

для каждой системы, а также зависят от способа

построения. Имеются два таких способа: в виде дерева, или

множества столбцов (когда ветви дерева рассматриваются как

столбцы), и в виде последовательности семейств множеств

TF-форщл, называемых конфигурациями. (При этом

исходной конфигурацией для А является {{/И}}). Первый

способ, предложенный Р. Смаллианом как результат

модификации семантических таблиц (таблиц Бета),

применим лишь для классической логики. Второй — результат

дальнейшей модификации семантических таблиц для

синтаксической (финитной) процедуры доказательства. Этот

способ предложен Фиттингом. Согласно Фитингу, каждое

правило применяется к какому-либо множеству

/^-формул (далее « Г^-множество») в составе некоторой

конфигурации и ведет к преобразованию некоторой TF-формулы

этого множества. Результатом применения является одно

или пара Г^-множеств, которыми заменяется исходное в

данной конфигурации. Таким образом, применение

правила является также и преобразованием конфигурации.

В приводимых ниже правилах S обозначает некоторое,

возможно пустое, Г/’-множество.

1) Для пропозициональной классической логики:

Т&: {S, 71A&B)} F&: {S,F[A&B)} 7v: {S, ЦАу В)}

{S, ТА, ТВ) {S, FA), {S, FB} {S, TA}, {S, ТВ}

102

АНАЛОГИЯ

Fs:{S,F{AvB)}

{S, FA, FB}

T^AS,UAz>B)} Ib:{S,F{Az>B)} T-,: {S, T^A}

‘{S, FA), {S, ТВ] {S, TA, FB} {S, FA}

F-,: {S, F-Л}

{S, TA} ;

2) для интуиционистской пропозициональной логики те же,

кроме 7Ь, Fb, Г-п, F-i, которые заменяются на:

7Ь:{? Т\А^В)} Fd:{S,F(A^B)}

{S, 7\Az>B), FA}, {S, 7\Az>B), TB} {Sr TA, FB}

7Ц: {5, Г^А} F^: {S, F-Л}

{S,T^A,FA} {SpTA} ,

где ST — результат исключения из S всех формул вида FB.

3) для 54 — те же, что в 1) с добавлением

TU : {S, TuA) /fa: {S, FoA]

{S, TuA, TA} {SD,FA} ,

где S0 — результат исключения из S всех формул, не

имеющих вида Т в В.

4) для классической и интуиционистской логики

предикатов те же, что в 1) и 2) соответственно, с добавлением:

W.{S,T\/xA(x)} /У: {S, FVxAjx)} 73: {S, T3xA(x)}

{S, 7Vx4(x), TA(a)} {S, FA{b)} {S, TA(b)}

F3: {S, F3xA(x)}

{S, F3xA(x), FA(a)},

где а — основная произвольная предметная постоянная

константа, b — вспомогательная постоянная, каждый раз новая

(не встречавшаяся в исходном множестве), А(а) (А(Ь)) —

результат их подстановки вместо х в формулу А(х).

^-множество называется замкнутым, если и только если в нем

имеются ТВ и FB для какой-нибудь формулы В языка

соответствующей системы. Г/’-множество называется

исчерпанным, если и только если оно замкнуто или никакое

применение правил к нему не приводит к новой конфигурации.

Т. о., аналитической таблицей некоторой формулы А

называется непустая конечная последовательность конфигураций,

первая из которых есть {{FA }}, а каждая из последующих

конфигураций получается из предыдущей по одному из

правил. Аналитическая таблица называется завершенной,

если и только если каждое Г/’-множество ее последней

конфигурации является исчерпанным. Неразрешимость

исчисления предикатов относительно проблемы

общезначимости и доказуемости равносильна неразрешимости вопроса о

существовании завершенной аналитической таблицы для

произвольной формулы ее языка. Таблица является

замкнутой, если и только если каждое TF-множество ее последней

конфигурации является замкнутым.

Формула А языка любой из рассматриваемых систем

общезначима ( для классической пропозициональной логики —

тождественно-истинна), если и только если для нее

существует замкнутая таблица. (Последнее оказывается

существенным при построении аналитических таблиц для формул

интуиционистской и модальной логики, т. к. варьирование

порядка применения правил может привести к

построению различных таблиц для одной и той же формулы.) Для

классической логики завершенная незамкнутая таблица

указывает возможные элементарные условия ее ложности

(опровергающие примеры). Ими являются незамкнуты

исчерпанные множества последней конфигурации.

Примеры:

1) Формула ((D/7 V uq) z) ?(/? V q)) системы S4

общезначима, поскольку для нее существует замкнутая аналитическая

таблица:

l.{{F((npvnq)z>n{pvq))}};

2.{{T\npvnq),FD{pvq)}};

3. {{1Ър, FU(p v ф), {Tuq, Fu(p v q)}};

4. {{7U/?, F(pwq)}? Tuq, F(pvq)}};

5. {{Tnp, Fp, Fq}, {Tuq, Fp, Fq}}\

6. {{Tnp, Tp, Fp, Fq},{Tuq, Tq, Fp, Fq}}.

2) Аналитическая таблица для формулы интуиционистской

логикир v -п/>: 1. {{F(pv^p)}}; 2. {{Fp, F^p}}; 3. {{Тр}} не

является замкнутой, и невозможно изменением порядка

применения правил получить другую таблицу этой формулы,

следовательно, данная формула не является законом

интуиционистской логики.

Для классической логики имеется непосредственная связь

между способом построения А.т. для некоторой формулы

и доказательством ее в некотором секвенциальном

исчислении (см. Исчисление секвенций), получаемом

переформулировкой правил построения таблицы. Аналитическая

таблица классической формулы А в виде дерева (множества

столбцов) также может быть получена перестройкой ее

таблицы, представленной в виде последовательности

конфигураций.

Возможность применения метода аналитических таблиц для

решения задач как семантического

(теоретико-модельного), так и формально-дедуктивного

(теоретико-доказательственного) характера позволяет выявить гносеологически

весьма важное обстоятельство, состоящее в том, что основу

дедукции составляют некоторые отношения

содержательно-семантического характера. Очевидны также широкие

эвристические возможности этого метода для поиска и

построения выводов и доказательств.

Лит.: Fitting M. С. Intuitionistic Logic Model Theory and

Forcing, Amst.-L., 1969; Кангер. С. Упрощенный метод

доказательства для элементарной логики. — В кн.:

Математическая теория вывода. М., 1967. Костюк В. Н. Логика.

Киев-Одесса, 1975; Смирнова Е. Д Упрощение бетовско-

хинтикковского доказательства полноты исчисления

предикатов первого порядка. — В кн.: VII Всесоюзный

симпозиум по логике и методологии науки. Тезисы. Киев, 1976.

Е.К.Войшвилло

АНАЛОГИЯ(греч. ovaXoyia — соразмерность, пропорция) —

отношение сходства между объектами; рассуждение по

аналогии — вывод о свойствах одного объекта по его сходству

с другими объектами. Общие схемы