относительно зависимости чистой логики
и математики от онтологии платонизма» {Beth E.W. The
foundations of mathematics. Amst, 1959, P. 471). С критики
этих тенденций и принципов начинается глубокая
дифференциация методологических подходов и способов
мышления (по типу применяемых абстракций) в современном
научном (в особенности математическом) познании,
стремление преодолеть возникший «кризис оснований» не только
техническими средствами усовершенствования научных
теорий, но также тем или иным решением
гносеологических проблем абстракции.
ОЧЕРКТЕОРИИ. Простейшим вариантом абстракции
является акт отвлечения, точнее, акт избирательного
отражения или интерпретации данных. При одних и тех же
данных в различных ситуациях возможны различные акты
отвлечения. И хотя произвольность отвлечений
неоспорима, они оправдываются обычно в той мере, в какой
абстракция приводит к успехам в познании или практической
деятельности. Произвольный акт отвлечения только
случайно может дать такой результат. К примеру,
отождествляя, как правило, выбирают лишь такие основания для
отождествления, которые наделили бы абстракцию
отождествления определенным гносеологическим смыслом.
Обычно это определяется целью, или задачей, или какой-
либо другой установкой. Вообще от установки
существенно зависит структура абстрактного образа (абстрактного
объекта) и его перестройка (при смене установки). При
этом абстракция может быть осознанной, отрефлектиро-
ванной на уровне мышления, или неосознанной,
осуществляемой на уровне функциональных свойств рецепторов
(органов чувств, приборов). Однако в любом случае
абстракция должна давать определенный «частичный образ»
из практически необозримого множества возможностей
(потока внешних данных).
Истолкование абстракции как отвлечения предполагает
либо переходную, либо непереходную форму глагола
«отвлекать». Хотя позиции этих форм в самом языке
равноправны, их семантические роли неодинаковы. Обычно (но
не всегда) они выражают дополнительные аспекты
абстрагирования: переходная форма фиксирует внимание на
части, выделенной из целого, непереходная, напротив, — на
целом, лишенном части. Первый (положительный) аспект
вводит информационный (абстрактный) образ
непосредственно, тогда как второй (отрицательный) — только
косвенно, через неполноту основы, оставляя завершение
(дорисовку) образа на долю идеализации или воображения.
Вот почему абстрактное нередко характеризуют как
негативное, «лишь как момент чего-то реального» (Гегель).
Указанное деление аспектов абстрагирования, вообще
говоря, условно, но выбор того или иного из них оказывал
заметное влияние на ценностное отношение к абстракции.
Так, Аристотель гносеологическую ценность абстракции
усматривал в решении ею положительной задачи познания,
а Кант, напротив, признавал за абстракцией только
отрицательную работу, относя решение положительной задачи
на счет рефлексии. Эти полярные точки зрения
подчеркивают важность осмысления абстракций в контексте
современной научной практики, поскольку привычка выделять
элиминативный (отрицательный) аспект абстракции все
еще довлеет ее словарным определениям: расхожим
значением термина «абстракция» является буквальный
перевод с латинского.
Конечно, чистый акт отвлечения сам по себе не способен
обеспечить полезный осмысленный образ. Необходим
анализ достаточных оснований отвлечения — субъективных,
с одной стороны, и объективных — с другой, при которых
информацию, «захваченную» процессом абстракции и
включенную в ее результат, можно было бы считать фактически
независимой от прочих данных и поэтому посторонних для
этой абстракции. Разыскание объективно постороннего,
точнее, выяснение того, какие именно характеристики целого
(или среды) являются посторонними для информационного
образа, — это один из основных вопросов абстракции.
Отчасти он совпадает с пресловутым вопросом о существенных
свойствах, но только в строго научной его постановке, когда
под существенными имеют в виду такие определимые
свойства объекта, которые способны полностью представлять
(замешать) этот объект в определенной гносеологической
ситуации. Этим подтверждается относительность «существа
дела», представленного посредством абстракции, ведь
свойства объектов сами по себе ни существенны, ни
посторонни и могут быть такими лишь для чего-то и по отношению
к чему-то. Кроме того, отвлечением абстрактный образ
реализуется с полнотой, не превышающей полноту наличных
данных. А этого явно недостаточно для порождения
абстрактных объектов высокого порядка, создаваемых специально
ad usum theoreticae. Так, первые эмпирические понятия о
фигурах материальных тел в наблюдаемом пространстве —
«абстракцию чувственной фигуры» — создают
индуктивно, отвлекаясь от всех свойств этих тел, кроме форм и
размеров. Но геометрические образы в собственном смысле
17
АБСТРАКЦИЯ
получают логической реконструкцией индуктивных
понятий, пополняя эмпирические свойства
теоретическими — точечным (в теоретико-множественном смысле)
«устройством» фигур, возможностью их непрерывных
(конгруэнтных, аффинных, топологических)
преобразований, вообще всеми свойствами, которые необходимы для
формулировки или доказательства геометрических
теорем. Очевидно, что абстрактные объекты такого порядка
только генетически связаны с отвлечением. Их содержание
не исчерпывается данными опыта. Тут речь идет об
определенном истолковании реальности, о понимании ее «в
законах», что само по себе невозможно без порождения новой
сематики, без прибавления к данным опыта новой
информации, логически не вытекающей из этих данных. Но коль
скоро абстракция заявлена как научная, она ограничена
в своем произволе не столько соответствием фактам,
сколько тем, что она «не может вводить никаких
логических противоречий» (Ф. Клейн). Соблюдение указанного
ограничения на применение абстракций существенно
отличает норму науки от нормы искусства, где допустимо не
только «отойти от факта», но и пойти на внутреннее
противоречие в изображении фактов ради решения
определенной художественной задачи.
Не секрет, что в системе научных представлений
абстракция не всегда подчиняется логике эмпирических фактов.
Более того, основанием для принятия той или иной
абстракции может служить и догма. Таков, в частности,
постулат античной науки о совершенстве кругового движения
(«догма об окружности»), который поставил абстракции
над фактами астрономических наблюдений и надолго
определил не только характер первых теорий небесной
механики, но и подход к математическому описанию
физических явлений посредством экспонент. И все же в целом
в научном отношении в абстракции преобладает иде-оло-
гия эмпиризма. Для теоретического естествознания это
очевидно. Но и математик, когда возникает потребность
в обосновании какой-либо абстракции, не пренебрегает
возможностью представить эту абстракцию «с наглядной
стороны», отыскать ее прообраз в чувственном опыте.
Это не означает, конечно, действительного исключения
абстракции, но позволяет понять генезис абстракции, ее
связь с тем, что уже точно может быть «привязано» к
эмпирическому факту.
Абстрагируя от эмпирических данных, получают
абстракции первого порядка. Их называют также реальными.
Каждый последующий шаг от этих абстракций порождает
абстракции более высокого порядка, чем первый. Их
называют идеальными. Эта шкала порядков не является,
конечно, абсолютной, как не является абсолютным и
критерий, позволяющий раз и навсегда отличать абстракции от
неабстракций. По крайней мере в сфере научного
познания «эмпирическое» (конкретное) и «теоретическое»
(абстрактное) — это соотносительные понятия, и альтернатива
между ними возможна только через абстракцию. Правда, в
процессе познания конкретное всегда имеет
экзотерический смысл. Оно рассматривается и объясняется в аспекте
«абстрактной реальности», поскольку любой «факт только
в абстракции может быть знаем мыслью» (А. И. Герцен).
В свою очередь, абстрактное, напротив, всегда эзоте-
рично. Оно — атрибут мышления, представляющий
идеальный момент реальности как содержание
понятий. Объективность этой идеальности выясняется, как
правило, в приложениях, т.е. вообще всюду, где
абстракции применяются. Тогда гносеологическое отношение
оборачивается: индуктивный путь «опыт — абстракция»
заменяется дедуктивным путем «абстракция — опыт». Вот
почему, восходя к абстрактным объектам высокого
порядка, необходимо позаботиться о том, чтобы обратный путь
их «исключения» был каким-либо образом обеспечен. Для
научного познания возможность обернуть отношение,
сделать абстракцию самостоятельным исходным пунктом
исследования, независимо от того, найден ее
эмпирический эквивалент или нет, является важнейшим условием
развития. То же самое можно сказать и о логике, которая
лишь в сфере абстракций чувствует себя на «родной
почве». Эта возможность позволяет не только совместить
наблюдение и опыт с логической дедукцией, но и восполнить
при случае принципиальное отсутствие
экспериментальной основы, которую тогда «должна заменить сила
абстракции» (К. Маркс). А отсюда уже прямой путь к
аксиоматическому методу в науке, который в свою очередь
становится инструментом абстракции и анализа и в качестве
содержательной аксиоматики, сохраняющей явную связь
с эмпирическим опытом, и в качестве аксиоматики
формальной, не сохраняющей такой связи. В последнем
случае значение метода особенно очевидно, ведь переход от
содержательной аксиоматики к формальной — это далеко
идущее обобщение, требующее, как правило, абстракций
более высокого порядка, чем те, которыми обходятся при
содержательном истолковании понятий. Поэтому только
формальной аксиоматикой выявляется различие между
интуитивным смыслом абстракции, подразумеваемым в
языке исследователя, и их обобщенным смыслом,
закодированным в языке формальной теории. Отсюда, как
следствие, неоднозначность абстракции, неуловимая на
индуктивном пути.
Философская идея намеренной неполноты знания,
обусловленной отвлечением, при последовательном
проведении абстрактной точки зрения дополняется требованием
его полноты относительно области значения абстракции.
Вопросу о содержании этой области, ее глубине или о ее
границах не всегда, разумеется, удается найти априорный
ответ. Но именно проблема полноты абстракции
естественно приводит к гносеологическому понятию интервала
абстракции как характеристике свободы (допустимости)
отвлечения или как меры информационной емкости
абстракции, выражающей своего рода «замысел абстракции»,
условия ее «модельной реализуемости». В этом смысле
интервал абстракции не зависит от «внешней»
(эмпирической) детерминации, а определяется собственной логикой
абстракции как «тема, образующая основу для
выполнения» (Гегель).
Выработка и анализ абстракций являются специальной
целью и задачей науки, по крайней мере поскольку
«всякая наука исследует общее» (Аристотель). Стремление к
общности созвучно стремлению к порядку. И если одна
из задач науки — «открывать» факты, то другая, не менее
важная, — приводить факты в порядок. Поэтому поиск
обобщающих точек зрения начинается с поиска
закономерностей, которые фиксируются в абстракции «научный
закон», что дает «как бы естественную систему координат,
относительно которой мы можем упорядочивать явления»
(В. Гейзенберг). Упрошенный образ действительности без
«побочных черт» или «массы подробностей» — это только
18
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
начальное дело абстракции, которая в ее подлинно
научном проявлении идет значительно дальше того, что
можно извлечь из данных опыта. Тезис, что познание
через абстракцию искажает (огрубляет) реальность,
наталкивается на возражение, что подлинные интересы
познания устремлены, как правило, «по ту сторону»
наличного опыта к инвариантному «существу дела»,
представленному в абстракции. Сам по себе чистый акт
отвлечения только предваряет поиск таких инвариантов,
маскируя дальнейший нетривиальный процесс
мысленного анализа отношений между абстракцией и реальО
ностью.
По-видимому, нет области знания, где абстракция не
служила бы рациональной основой познания, хотя в
различных областях применяемые абстракции и особенности их
использования, конечно, различны. Самой
