развитой
системой абстракций обладает математика, которая по
существу является наукой об абстракциях. Естествознание в
той мере, в какой оно пользуется математикой,
заимствует из ее абстракций, добавляя к заимствованным и свои.
Но вместе с тем существуют и общенаучные абстракции,
необходимые как на первых шагах образования понятий,
так и на всех уровнях формирования знаний о природной
и общественной жизни. Вот почему абстракции — это
не «строительные леса», которые после постройки какой-
либо отрасли знания можно и даже нужно отбросить. Это
не только форма, но и сама суть науки.
Лит.: Мировоззренческие и методологические проблемы научной
абстракции. М., 1960; Горский Д. П. Вопросы абстракции и
образование понятий. М., 1961; Розов М. А. Научная абстракция и
ее виды. Новосибирск, 1965; Петров Ю. А. Логические проблемы
абстракций бесконечности и осуществимости. М., 1967;
Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М., 1972;
Лазарев Ф. В. О природе научных абстракций. М., 1971; Он же.
Абстракция и реальность.— «Вестник МГУ», 1974; № 5; Виленкин
Н. Я., трейдер Ю. А. Понятие математики и объектов науки.—
«ВД», 1974, № 2; Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очерк
истории и теории. М., 1984; Новосёлов M. М. Об абстракциях
неразличимости, индивидуации и постоянства. — В кн.: Творческая
природа научного познания, М., 1984; Он же. Абстракция и
научный метод. — В кн.: Актуальные вопросы логики научного
познания. М., 1987; Schneider H. J. Historische und systematische
Unteisuchungenz ur Abstraction. Erlangen, 1970; VuilleminJ. La logique
et le monde sensiable. Etude sur les theories contemporaines de
l’abstraction. P., 1971; Logic and abstraction. Goteborg, 1986;
Pollard St. What is abstraction? — «Nous», 1987, vol. 21, N 2; RoeperR
Principles of abstraction for events and processes. — «J. of philos. Logic»,
1987, vol. 16, N3.
M. M. Новосёлов
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ-
основанный на акте творческого воображения способ
образования абстрактных понятий, лежащий в основе
формирования одной из наиболее сложных
разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной
бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого-
либо необрывающегося конструктивного процесса,
порождающего объекты определенного типа, — абстракция
актуальной бесконечности состоит в отвлечении от
принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его
как бы «продолженным до конца» и тем самым
завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый
результат —множество (совокупность) всех порожденных им
объектов. При этом возникшее таким образом множество
в дальнейшем начинают трактовать в качестве
актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от
процесса последовательного порождения натуральных
чисел 0, 1,2, .., в результате применения к нему абстракции
актуальной бесконечности приходят к актуально
бесконечному объекту — натуральному ряду, который в дальнейшем
выступает в качестве наличного объекта, равноправного
с составляющими его числами. В более сложных случаях
аналогичной процедуре подвергаются «процессы»
существенно более сложных типов. В результате объектами
рассмотрения становятся актуально бесконечные множества
элементов произвольной природы, что приводит к
необходимости изучения понятия множества как отдельного
абстрактного понятия.
В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат
только акты «чистого» мысленного отвлечения,
абстракция актуальной бесконечности существенным образом
использует акты творческого воображения, решительного
отхода от действительности, и это создает определенные
методологические трудности, в частности трудности
истолкования суждений о возникающих в результате
такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные
с косвенным характером «осязаемости» полученных с
применением абстракции актуальной бесконечности
объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях,
когда абстракция актуальной бесконечности
применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями.
В логическом аспекте принятие абстракции актуальной
бесконечности ведет к обоснованию классической
аристотелевской логики, и в частности исключенного третьего
закона.
Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет
в канторовской «архитектурной программе для
математики», предусматривающей построение математики в виде
надстройки над созданной им множеств теорией
(точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении
о множествах). Согласно этой программе, получившей в
математике самое широкое распространение, всякий
математический объект рассматривается как множество,
удовлетворяющее определенному условию, и это
обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности
основным в рамках данного подхода объектообразую-
щим фактором. Однако в связи с упоминавшимися выше
труд-ностями неограниченное ее применение в качестве
право-мерного средства образования математических
понятий неоднократно вызывало возражения со стороны
ряда вьшающихся математиков (К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер,
Д. Гильберт, Г, Вейлъ и др.). Альтернативные по отношению
к канторовской программы построения математики на
базе использования одной лишь абстракции
потенциальной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэром
(см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см.
Конструктивное направление). Без использования абстракции
актуальной бесконечности обходится также и доказательств
теория Д. Гильберта.
Лит.: Бесконечность в математике (А. Н. Колмогоров). — БСЭ, т. 3.
М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965;
Марков А. А. О конструктивной математике. — Труды математического
института им. В. А. Стеклова, т. 67. М.~Л., 1962; Кантор Г. О
различных точках зрения на актуально бесконечное. — В кн.: Он же.
Труды по теории множеств. М., 1985.
Н. М. Нагорный
19
АБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ
АБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ- абстракция,
принятая в рамках интервального анализа, с целью
уточнения понятий о тождестве и различии в ситуациях, когда
отсутствует априорная информация об индивидуацш
объектов универсума (предметной области), а процессы их
отождествления или различения определяются конечной
информацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно это
означает зависимость суждений о тождестве и различии
от информационных условий познания — разрешающей
способности актов восприятия, свойственных
наблюдателю или какой-либо иной информационной системе.
При этом тождество по неразличимости, принимая во
внимание неизбежную «энтропию опыта», естественно,
не является инвариантной величиной. К примеру,
человеческий глаз воспринимает и различает только
конечное число градаций яркости, не замечая тех объективно
различных градаций, которые заключены в пространстве
меньшем, чем пространственный порог разрешения для
глаза. Ситуация такого рода является основной
гносеологической ситуацией в любых познавательных актах,
в которых исследуемый объект представлен не «сам по
себе», а некоторым конечным вектором его измеримых
признаков. В этом смысле (с учетом квантовых
эффектов) абстракция неразличимости служит обобщением
классической философской (логической) идеи о
тождестве неразличимых (принципа тождества неразличимых)
на эмпирические условия познания, чем и оправдывается
введение специального термина «абстракция
неразличимости» (М.М. Новосёлов, 1970).
Во многих важных случаях отношения неразличимости
можно определять через функции расстояний, что
согласуется с практикой приближенных методов вычислений,
когда неразличимость задается интервалом
неопределенности, который — в качестве условия на отождествление —
выражает меру неразличимости объектов: «внутри»
интервала неопределенности допустимо абстрагироваться от
возможного различия объектов, рассматривая просто пары
неразличимых, наделенные точностью. Опираясь на
принцип замены равного равным в интервале
неопределенности, этот интервал можно рассматривать как
адекватное выражение идеи тождества ?-неразличимых, связывая
с этим понятием и понятие о соответствующей абстракции
6-неразличимости.
Дальнейший анализ этой абстракции позволяет, с одной
стороны, ввести методологически важное понятие о
гносеологической точности научных теорий, основанных на
данных опыта, с другой — представить совокупность
отношений эмпирических неразличимостий (&-неразличи-
мостей) как модель псевдобулевой алгебры, или, иначе, в
виде импликативной (скулемовской) структуры с
относительным псевдодополнением, или, что то же, как одну из
«космоса» промежуточных (между классической и
интуиционистской) логик с минимальным отрицанием.
Лит.: Новосёлов M. M. Об абстракциях неразличимости, индивиду-
ации и постоянства. — В кн.: Творческая природа научного
познания. М., 1984; Он же. О гносеологической точности. — В кн.:
Философские вопросы технического знания. М., 1984; Он же. О логике
эмпирических неразличимостей. — В кн.: Синтаксические и
семантические исследования неэкстенсиональных логик. М, 1989;
Novosyolov M. On epistemological preciseness: interval approach. —
Science as a subject of study. M., 1987.
M. M. Новосёлов
АБСТРАКЦИЯ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ- способ
формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том,
что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых
исходных объектов принимаются во внимание лишь те
их различия, которые по тем или иным причинам
оказываются для нас существенными, и игнорируются другие —
несущественные. Объекты, различающиеся лишь
несущественным образом, начинают считать одинаковыми.
В речевом аспекте абстракция отождествления
проявляется в том, что о двух одинаковых реальных объектах,
отождествляя их, мы начинаем говорить как об одном и том же
абстрактном объекте, закрепив за ним соответствующий
термин. Так, напр., отождествляя одинаковые реальные
буквы (слова, алфавиты), мы приходим к понятию
абстрактной буквы (абстрактного слова, абстрактного
алфавита). В связи с этим в гносеологическом плане абстракция
отождествления оказывается важнейшим объектообразу-
юшим фактором. Особенно интересен случай, когда,
применяя абстракцию отождествления к реальным объектам,
отвлекаются от временной их изменчивости, создавая тем
самым устойчивые, как бы «вечные», «неразрушимые»
абстрактные объекты. Такого рода применения
абстракций отождествления особенно типичны для математики,
объекты рассмотрения которой в известном смысле
«вечны» и «неразрушимы», в отличие от объектов реальных:
конкретный реальный объект (напр., стол) можно
разрушить, в то время как натуральное число разрушить нельзя.
С лингвистической стороны это находит выражение в том,
что в «сверхточных» математических языках (напр., в
формализованных языках с их точным синтаксисом и
семантикой) временной аспект отсутствует вообще, а в привычных
для математика фрагментах «обиходного» языка глаголы,
применяемые, напр., в прикладной деятельности либо в
преподавании, как правило, употребляются в настоящем
времени: о числе «нуль» невозможно сказать, что оно
«существовало» или же «будет существовать»; приемлемым
образом звучит лишь утверждение, что оно «существует».
Но это существование на самом деле «длящееся»: число
это существует «сегодня и всегда». Обсуждение данного
феномена тесно связано с рядом важнейших общих
философских проблем, напр. с проблемой понимания самого
феноменавремени(азначит,игфиродыпричинно-следствен-
ных связей).
Н.М. Нагорный
АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ОСУЩЕСТВИМОСТИ— метод мысленного отвлечения,
лежащий в основе идеи т. н. потенциальной бесконечности.
Представление о неограниченном развитии какого-либо
конструктивного процесса, являющееся конкретным
воплощением этой идеи, требует совершения
всевозрастающего количества конструктивных актов, и попытки
реального их осуществления, даже в том случае, когда начальные
шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно
сталкиваются с препятствиями чисто материального
характера: для совершения очередного акта недостает
времени, места или материала. Абстракция потенциальной
осуществимости представляет собой решение отвлекаться
от всей совокупности осложнений указанного рода,
считать их несущественными. Тем самым шаги,
осуществимость которых носит лишь воображаемый характер,
начинают мыслиться совместно и равноправно с реально вы-
