полного сведения чистой математики к логике была предпринята в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела и, в известном смысле, стала естественным логическим завершением всего этого движения. Таким образом, математика была, по существу, сведена к логике. Еще Фреге положил начало так называемому логицизму, заявив, что математика — это ветвь логики. Эта точка зрения была принята и Расселом.
Попытка сведения математики к логике с самого начала подвергалась критике со стороны многих математиков, придерживавшихся, вообще говоря, весьма различных взглядов. Защитники логицизма утверждали, что все математические рассуждения совершаются в силу одних лишь правил логики, точно так же, как все шахматные партии происходят на основании правил игры.
Противники его доказывали, что вести плодотворное рассуждение в математике можно только введя предпосылки, «е сводимые к логике. Решающее значение для исхода этой довольно продолжительной полемики имела знаменитая теорема Гёделя. В 1931 г. Гёдель доказал, что в каждой достаточно богатой средствами выражения формализованной системе имеются содержательные истинные утверждения, которые не могут быть доказаны средствами самой этой системы; это значит, что полная формализация, например, арифметики принципиально неосуществима, что «понятия и принципы всей математики не могут быть полностью выражены никакой формальной системой, как бы мощна она ни была» [2].
1 Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С. 366.
2 См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959. С. 36.
215
Нас здесь все эти проблемы интересуют не сами по себе, а с точки зрения того влияния, которое они оказали на становление логического позитивизма. Опыт построения формализованных систем породил надежды на то, что вообще все научное знание можно выразить аналогичным образом. Это было, в общем-то, понятное увлечение успехами формализации. Казалось, что весь вопрос в том, чтобы подобрать соответствующий язык — знаковую символику, включающую как необходимые термины, так и правила оперирования ими, в частности правила выведения.
Как говорит Эрмсон в своей книге «Философский анализ», Рассел считал, что «логика, из которой может быть выведена математика во всей ее сложности, должна быть адекватным остовом языка, способного выразить все, что вообще может быть точно сказано» [1].
1 Urmson J. О. Philosophical analysis. Oxford, 1961. P. 7.
Большую роль сыграли здесь теория типов и теория дескрипции, созданные Б.Расселом.
Поводом для создания теории типов явились парадоксы, обнаруженные Расселом при изучении работ Фреге и Кантора. Эти парадоксы заставили вспомнить о старых парадоксах, известных еще древним. Например, парадокс «Лжец» состоит в следующем: Эпименид — критянин говорит, что все критяне лгут. Но так как он сам критянин, то, следовательно, и он лжет. Таким образом, получается, что критяне говорят правду. Второй вариант этого же парадокса: «Все, что я говорю, — ложь; но я говорю, что я лгу, значит, я говорю правду, а если я говорю правду, то значит, я лгу».
Аналогичен и «парадокс крокодила»: крокодил утащил у женщины ребенка, женщина стала плакать и молить крокодила вернуть ребенка. Крокодил сказал: «Если ты угадаешь, что я сделаю, я верну ребенка. Если не угадаешь, то не верну». Женщина сказала: «Ты не вернешь мне ребенка». Теперь крокодил задумался: «Если он вернет ребенка, значит, женщина не угадала, и он не должен его возвращать. Но если он не вернет, то значит, женщина угадала, и по уговору он должен его вернуть. Как же тут быть?» Говорят, что крокодил думал, думал, думал — пока не сдох. Крокодила не стало, а парадокс остался.
Обратимся теперь к собственному парадоксу Рассела. Предположим, что имеются классы различных вещей. Иногда класс может быть членом самого себя, иногда — нет. Класс чайных ложек не есть чайная ложка. Но класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам есть вещь, не являющаяся чайной ложкой. Следовательно, он член самого себя.
216
Теперь возьмем класс всех классов, которые не являются членами самих себя. Является ли он членом самого себя? Если да, то он должен обладать отличительным признаком своего класса, то есть не быть членом самого себя. Если же он не член самого себя, то он должен быть таким членом, так как должен войти в класс всех классов, не являющихся членами самих себя. Для наглядности этот парадокс можно сравнить с «парадоксом парикмахера». Единственный парикмахер в городе получил приказ брить всех тех, кто не бреется сам (такой приказ мог, например, издать царь Петр). И вот парикмахер ходит по дворам и бреет всех бородатых. Но в конце концов он сам обрастает бородой. Возникает вопрос — должен ли он теперь сам бриться? Если он не будет бриться, то он должен себя брить. Но если он бреется сам, то он не должен этого делать согласно условию.
Парадокс Рассела вызвал необходимость в тщательном анализе того, как мы пользуемся языком, не совершаем ли мы каких-либо ошибок, имеем ли мы право задавать подобного рода вопросы, имеют ли они смысл.
Рассел попытался найти решение парадокса, создав теорию типов. Она устанавливала определенные правила и ограничения пользования терминами.
Суть этой теории Рассел разъясняет на примере парадокса «лжец». «Лжец говорит: «Все, что я утверждаю, ложно». Фактически это утверждение, которое он делает, но оно относится ко всей совокупности его утверждений, и парадокс возникает потому, что данное утверждение включается в эту совокупность» [1]. Если бы это утверждение стояло особняком, то парадокса не было бы. Мы знали бы, что в случае его истинности все, что лжец утверждает, ложно. Но когда мы включаем само это утверждение в ту совокупность утверждений, к которой оно относится, о которой оно говорит, или которую характеризует, тогда только и возникает парадокс. Этого, полагает Рассел, делать нельзя.
Он говорит: «Мы должны различать предложения, которые относятся к некоторой совокупности предложений, и предложения, которые к ней не относятся. Те, которые относятся к некоторой совокупности предложений, никогда не могут быть членами этой совокупности» [2].
1 Russel D. My Philosophical Development. N. Y., 1959. P. 82.
2 Ibid. P. 22.
Основная идея Рассела состоит в том, что в правильном языке предложение не может ничего говорить о самом себе, вернее, о своей истинности. Однако наш обычный язык такую возможность допускает,
217
и в этом его недостаток. Поэтому необходимы ограничения в правилах пользования языком. Такие ограничения и вводит его «теория типов».
Рассел делит предложения на порядки: предложения первого порядка никогда не относятся к совокупностям предложений, они относятся к внеязыковым явлениям.
Например: роза есть красная — PI
Предложения второго порядка относятся к предложениям первого порядка.
Например: предложения Р1 и Р2 истинны — а
предложение РЗ ложно — б
Предложения третьего порядка относятся к предложениям второго порядка.
Например: предложения а и б написаны на русском языке.
Таким образом, Рассел устанавливает, что и о чем мы можем говорить, а чего не можем. Это значит, что некоторых вещей говорить нельзя.
Отсюда вытекает очень важное следствие: оказывается, что наряду с предложениями, которые могут быть истинными или ложными, есть и такие предложения, которые не могут быть ни истинными, ни ложными. Такие предложения являются бессмысленными.
Однако этот вывод вовсе не является абсолютно бесспорным. Например: предложение «четные числа питательны», с точки зрения Рассела, бессмысленно. Однако вполне можно сказать, что оно ложно.
В теории типов Рассела содержатся зародыши двух идей, имевших значительные последствия для философии и логики. Когда Рассел утверждает, что предложение ничего не может говорить о себе, эту мысль можно расширить и сказать, что язык ничего не может говорить о себе. Это будет идея, которую защищал Л.Витгенштейн. Когда же Рассел утверждает, что предложение второго порядка может высказывать нечто о предложениях первого порядка, то отсюда возникает концепция метаязыка.
Теория типов устраняла парадоксы, и все же она подвергалась критике. Почему? В частности, потому, что устранение парадоксов вовсе не всегда желательно. Язык, исключающий возможность парадоксов, для определенных целей хорош, для других нет. Такой язык беден, он не гибок, и потому не адекватен очень сложному пути познания.
218
Теория дескрипций призвана разрешить другую трудность. Эта теория была призвана рассеять одно распространенное в логике и в философии недоразумение. Оно состояло в отождествлении имен и описаний и приписывании существования всему тому, к чему они относятся. Логики, замечает Рассел, всегда считали, что если два словесных выражения обозначают один и тот же объект, то предложение, содержащее одно выражение, всегда может быть заменено другим без того, чтобы предложение перестало быть истинным или ложным (если оно было тем или другим).
Однако возьмем такое предложение: «Скотт есть автор «Веверлея»». Это предложение выражает тождество, но отнюдь не тавтологию. Это видно из того, что король Георг IV хотел узнать, был ли Скотт автором «Веверлея», но он, конечно, не хотел узнать, был ли Скотт Скоттом. Это значит, что мы можем превратить истинное утверждение в ложное, заменив «автор «Веверлея»» «Скоттом». Отсюда следует, что надо делать различие между именем и описанием (дескрипцией). «Скотт» — это имя, но «автор «Веверлея»» — это дескрипция.
«Скотт» в качестве собственного имени является тем, что Рассел называет «простым символом». Он относится к индивиду прямо, непосредственно обозначая его. При этом данный индивид выступает как значение имени Скотт. Это имя обладает значением и сохраняет его вне всякой зависимости от других слов предложения, в которое оно входит. Напротив, «автор «Веверлея»» в качестве дескрипции не имеет собственного значения вне того контекста, в котором это выражение употребляется. Поэтому Рассел его называет «неполным символом».
«Автор «Веверлея»» сам ни к кому определенному не относится, так как в принципе им может быть кто угодно. Недаром ведь король Георг IV хотел узнать, кто именно был автором «Веверлея».
Только в сочетании с другими символами «неполный символ» может получить значение.
Далее, теория дескрипции была призвана разрешить и другую трудность. Возьмем такое предложение: «Золотая гора не существует». В этом предложении ясно утверждается, что не существует золотой горы. Но о чем идет
