из новых геометрий означала то ли открытие, то ли создание «совершенно нового мира»; во всяком случае, место единст
336
венного «реального пространства» с евклидовыми характеристиками заняло неунитарное многообразие, в котором евклидово пространство заняло куда более скромное положение, потеснившись и предоставив место целому семейству «неевклидовых пространств». Пытаясь снова навести строгий порядок в области науки о пространстве, немецкий математик Феликс Клейн в 1872 г. сформулировал так называемую «Эрлангенскую программу» объединения геометрического знания в целостную систему. В ней было предложено попытаться подвести под все геометрические конструкции общее, теоретико-групповое, основание, представив каждую из геометрий как теорию инвариантов особой группы пространственных преобразований объекта, то есть таких, которые допустимы без изменения некоторого набора фундаментальных свойств. Для случая евклидовой геометрии таким набором допустимых преобразований, при которых не меняются расстояния между точками на поверхности, площадь фигуры и т.п., была «метрическая группа»: поворот, изгиб, перенос. В основе другой геометрии, проективной, лежит другая группа допустимых преобразований, с другими инвариантами. Классификация групп преобразований представала в таком случае единым логическим основанием для множества геометрий (и соответственно основанием их классификации в единой геометрической науке), а теория алгебраических и дифференциальных инвариантов представляла собой аналитическую структуру соответствующей геометрии. Благодаря такому единству предмета и науки одна геометрия может быть «переведена» в другую посредством определенной логической техники. Позже эти идеи сыграли большую роль в гильбертовой аксиоматике геометрии, а затем теория групп позволила синтезировать геометрию с алгеброй.
По ходу дела математические проблемы все больше «сливались» с логическими, методологическими и общефилософскими — хотя бы уже потому, что при разработке теории множеств, этого общего основания математики, обнаружились логические парадоксы.
В 1897 г. в Цюрихе состоялся Первый международный конгресс математиков. Проблемы, которые математики на этом конгрессе обсуждали, отнюдь не были посвящены исключительно достижениям математической техники. Э.Пикар, один из видных математиков того времени, на заключительном банкете сказал: «И мы имеем своих математиков-философов, и под конец века, как и в прежние эпохи, мы видим, что математика вовсю флиртует с философией. Это — на благо дела, при условии, чтобы философия была весьма терпимой и не подавляла изобретательского духа» [1].
1 Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М., 1969. С. 273.
337
Математические проблемы, обернувшись логическими, вызывали потребность в методологическом, гносеологическом и вообще философском обсуждении. Уже через три года после Первого математического всемирного конгресса в Париже состоялся Первый международный конгресс по философии математики. Вообще, все начало столетия ознаменовалось острейшими спорами об основах математического мышления.
В такой интеллектуальной атмосфере и вызревала проблематика первого цикла работ Гуссерля. Главными из них были «Философия арифметики» (1891) и двухтомник «Логические исследования» (1900-1901). Их установки, при тождестве общей цели, настолько разнятся, что есть все резоны говорить о двух этапах в развитии идей Гуссерля за это десятилетие. Тем не менее имеется и нечто весьма важное, что их друг с другом связывает. Это общее было точно выражено Гуссерлем на первых страницах «Логических исследований»: «При таком состоянии науки, когда нельзя отделить индивидуальных убеждений от общеобязательной истины, приходится постоянно снова и снова возвращаться к рассмотрению принципиальных вопросов» [1]. Такова была главная цель уже его первой публикации. В «Философии арифметики» он искал «последние основания», на которых, по его мнению, должно стоять все здание арифметики если она и в самом деле строгая наука.
1 Гуссерль Э. Логические исследования. СПб., 1909. С. 2.
В общем, поиск этих оснований Гуссерль ведет согласно рецептуре, некогда предложенной Декартом. Именно последний выдвинул парадоксальную для его времени, еще насквозь пропитанного религиозным догматизмом, методологическую программу обоснования знания посредством погружения его в испепеляющий огонь универсального сомнения. В итоге беспощадного критического испытания, вполне сравнимого с тем, какому подверг веру патриарха Авраама суровый Бог «Ветхого Завета», потребовав от него жертву любимого и единственного сына, Декарт надеялся получить прочную и незыблемую опору знания (не веры!) — в том, что, подобно вере Авраама, выдерживает любое сомнение; поэтому действительное основание всякого подлинного знания, по Декарту, должно быть самоочевидным, оно должно само являть себя перед нашим мысленным взором (так же точно, заметим, как для истинно верующего человека очевиден символ веры).
Способ, применив который Гуссерль в «Философии арифметики» пытался достичь самоочевидных оснований научного знания, был, однако, вместе с тем отмечен печатью модного тогда теоретико-познавательного «психологизма». Рассуждения Гуссерля во многом схожи с установками Авенариуса и Маха, тоже занимавшихся поиском оснований знания — правда, в более общем, гносеологическом, плане.
338
Гуссерль пробует свести все понятия арифметики в конечном счете к «простым восприятиям», с которых, как он думает, соответственно аксиоме эмпиристски ориентированной антиметафизической гносеологии должно начинаться всякое подлинное знание: в самом деле, с чего оно может начинаться, как не с восприятия? С помощью такой редукции «сложного» в составе математического знания к «простому» (или, что то же самое, позднейшего к изначальному) он надеялся не только согласовать друг с другом, но и равным образом обосновать два факта, контрастирующие друг другу: с одной стороны, устойчивость и универсальность понятийных конструкций арифметики, чисел, а с другой многообразие и переменчивость практики счета. Базисом математического знания он объявляет «первое впечатление», которое возникает в сознании при «столкновении» — нет, не с чувственными предметами, как полагали философствующие эмпирики — индуктивисты, а с миром чисел самих по себе! По его мнению, нельзя сказать, что человек сначала начинает считать чувственные объекты, а потом изобретает числа (и вообще математику) в качестве технического средства этих операций. Напротив, человеческое сознание в акте интеллектуального созерцания, по его мнению, именно обнаруживает числа пусть они и предстают чувственному созерцанию в «одеянии» чувственных объектов. Сознание сразу отличает множество из трех предметов от множества из пяти предметов: второе больше даже в том случае, когда те предметы, которые составляют второе множество, меньше. Правда, такого рода непосредственное впечатление числа сознание получает только тогда, когда имеет дело с «простыми числами». Можно сказать иначе: простые числа непосредственно переживаются как таковые; потом это переживание может стать предметом рефлексии, в результате чего возникает понятие числа. В случае простых чисел это понятие действительное, поскольку его содержанием является само переживаемое число. Большие числа сознание непосредственно переживать не в состоянии — здесь оно вынуждено считать, для чего использует «суррогаты», заместители числа в сфере знания, изобретая приемы счета и системы счисления (например, десятичную), которые предстают как методы конструирования суррогатов больших чисел самих по себе, численных понятий более высокого порядка; их можно назвать и способом обозначения больших «чисел-в-себе». Таким образом, согласно мнению Гуссерля, сознание в случае арифметики и в самом деле конструктивно; но конструирует оно не числа, а их «заместителей», представителей мира чисел в сфере знания. Повторю: согласно Гуссерлю, во-первых, есть различие
339
между «самими числами» и понятиями чисел; во-вторых, есть разница и между понятиями разных чисел: понятия малых, простых чисел — это «действительные понятия», а понятия больших чисел — только «символические»; первые имеют своим содержанием «само число» (иначе говоря, эти понятия суть непосредственные переживания числа); вторые же только обозначают «сами числа». Однако, поскольку и те и другие равно суть понятия, разница между ними сводится к тому, что малые числовые понятия, так сказать, «ближе» к «самому числу», хотя понятийная «оболочка» роднит их с понятиями больших чисел: понятия простых чисел как бы образуют мостик между «самими числами» и их искусственными заместителями в знании. Поэтому, благодаря «частичной доступности» мира чисел (в случае малых чисел), существует связь, по большей части опосредованная, любых образований математики с миром «чисел-в-себе». Надежность этой связи обеспечивает закон экономии мышления, которому подчинен прогресс математического познания (как и всякого познания вообще).
Сознание человека, таким образом, «несовершенно» в том смысле, что непосредственно постигнуть, пережить любое число оно не может: ему приходится конструировать, чтобы быть способным считать; а счет единственный способ постижения больших чисел человеческим разумом. Совершенное (абсолютное) сознание переживало бы, распознавало с «первого взгляда» не только группы из двух, трех и пяти объектов, но и любые множества: «Бог не считает!»
Арифметика как наука, которая занимается символическими числовыми образованиями и приемами счета, таким образом, компенсирует несовершенство («конечность») человеческого сознания. Но сама задача подобной компенсации может возникнуть только в том случае, если человек сознает собственную ограниченность — только тогда он начинает создавать искусственные средства выхода за свои «естественные» пределы [1].
1 Весьма убедительный пример: используя римские цифры, совершать любые арифметические операции несравненно труднее, чем в случае применения арабских цифр: тот, кто хотел бы в этом убедиться, может попробовать сам.
Когда знакомишься с представлениями Гуссерля о том, как мышление переходит от созерцания простых чисел в непосредственном переживании к конструированию всех остальных, близость его установок с таковыми эмпириокритицизма просто бросается в глаза: например, представление Р.Авенариуса об «апперцепции» включает тот же признак минимальных изменений в процессе развития знания и подобные же представления о «непосредственном переживании» в качестве нача
340
ла знания. Э. Мах, который и сформулировал принцип «экономии мышления», тем самым фиксирует особое внимание на этом моменте минимальных изменений в ходе познания; его концепция непрерывности познавательного процесса, который начинается с чувственного переживания, нашла выражение и в том, что понятие Мах определял как «общее представление»: тем самым он принимал в качестве аксиомы тезис, что не существует не то, что качественной разницы, но вообще сколько-нибудь четкой грани между чувственным и рациональным в составе знания [1].
1 Напомним, что маховский принцип «экономии мышления» был гносеологическим средством оправдать редукцию состава знания к его базису, к первоистокам. Он был порожден стремлением избавиться от «метафизических постулатов» догматической философии как идеализма, так и материализма. Но критическая установка эмпириокритицизма была именно методологическим сомнением в стиле Декарта: оно не оставляет преимуществ ни философскому идеализму, ни философскому материализму, поскольку оба в равной мере догматичны; априори такое сомнение не предрекает поражения или победы ни одной из позиций — сомневающийся готов принять любой результат, только бы он был научно (то есть средствами теории познания) обоснован. Под углом зрения теоретико-познавательного подхода обоснование означало методичную, без всяких «скачков мысли», редукцию выдвигаемого тезиса к его первоистокам в знании. Не мешает иметь в виду также и всеобщее увлечение дифференциальным исчислением (которое тогда называлось анализом бесконечно малых), привлекавшим пристальное внимание философов и тем более
