Евклида[64 — Джон Вамис (1616—1703) — английский математик. О его работах по пятому постулату Евклида см.: Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. М., 1976. С. 93 — 94. —93.]. К аксиоме о гомогенности пространства примыкает далее определение прямой по Евклиду: «Прямая линия есть та, которая лежит равно своими точками», или равносильная ему —Дельбёфа: «Прямая линия есть линия однородная, т. е. такая, части которой, произвольно выбранные, подобны между собою, или различаются только по длине».

Итак, вырезок пространства в любом месте (изогенность) и любого размера (гомогенность) сам по себе не имеет никаких отличительных признаков; безразлично, как взят он. Пространство Евклида безразлично к геометрическим образам в нем и, следовательно, не имеет каких‑либо зацепок, служащих опорами, удерживающими на своих местах физические процессы. Перемещение в пространстве некоторой физической системы, поскольку нет вне ее какой‑нибудь другой системы, остается в первой незамеченным и никак не может быть учтено. Такова однородность евклидовского пространства. Ясное дело, ни в прямом восприятии действительности, ни в искусстве, на это восприятие опирающемся, этой однородности мы не можем установить, и каждое место пространства имеет в нашем опыте своеобразные особенности, делающие его, это место, качественно иным, нежели все прочие.

А раз так, то не приходится говорить и об однородностях более частных, т. е. об евклидовских плоскостях и об евклидовских прямых. Мы можем, некоторыми сложными приемами, заставить себя понимать воспринимаемое нами пространство как содержащее евклидовские плоскости и прямые, но это понимание покупается дорогою ценою и требует очень сложных мысленных построений, которых никто не захочет делать, если только отчетливо сознает, что именно от него требуется. Обычное же доверчивое принятие евклидовского толкования, но без соответственных физических и психофизических коррективов, свидетельствует о беспечности принимающих гораздо больше, чем о действительном сложении опыта.

X

Близкое, но вовсе не тождественное с однородностью, свойство евклидовского пространства — изотропность. Иногда его склонны недостаточно отличать от однородности, но это так же неверно, как если бы кто из соотносительности и аналогичности свойств углов и отрезков стер границу между теми и другими.

Изотропность пространства в отношении поворотов луча около точки говорит то же, что однородность — в отношении удалений от точки. Это значит, что все прямые, исходящие из точки, вполне равноправны между собою, не имеют никакого индивидуализирующего их своеобразия, а следовательно, и не различимы сами по себе, каждая порознь. Нет никакого признака, установленного применительно к одному направлению в евклидовском пространстве, который не был вместе с тем признаком и всякого другого направления. Любые повороты фигуры в пространстве ничего не изменяют в внутренних ее соотношениях: евклидовское пространство безразлично к вращению в нем, как оно безразлично к переносам в нем же.

Всякий действительный опыт показывает нам обратное, и непосредственное сознание вполне ясно отмечает себе качественную особенность каждого из направлений. Кристаллическая среда дает выразительный образ неизотропности, хотя и всюду однородна: кристаллическими осями указываются направления наибольшей выраженности того или другого свойства среды. Всякое действительное восприятие — мы уже видели это ранее—дает каждому из основных направлений некоторую абсолютную качественность, никак не могущую быть смешанной с другою; никто не отождествит вертикаль и горизонталь, хотя в евклидовском пространстве вполне безразлично, что принять за вертикаль и что —за горизонталь. Истолковать в этом, изотропном, смысле непосредственный опыт можно лишь более дорогой ценой, нежели в смысле однородном. В действительном опыте руководиться Евклидом, конечно, можно, но придерживаясь правила: «Fiat justitia, id est geometria Euclidiana, pereat mundus,·— pereat experimentum»[65 — Да свершится правосудие, то есть геометрия Евклида, и да погибнет мир, —да погибнет опыт (лат.). —95.].

XIV[66 — Параграфы XI‑XIII в рукописи отсутствуют. — 95.]

Как было уже сказано, вышеперечисленные и другие свойства пространства сполна или в значительной мере могут быть сведены к одной характеристике, а именно — к понятию кривизны, причем утверждается, что мера этой кривизны для евклидовского пространства равна нулю. Может быть, логически и не удалось бы опереть характеристики евклидовского пространства о нулевую меру этой кривизны, как не удалось бы и вообще совокупную характеристику всякого другого пространства формально–логически свести к соответственной мере его кривизны. Но во всяком случае мера кривизны очень глубоко характеризует пространство и должна быть признана если и не единственным, то все‑таки главным корнем всей организации данного пространства.

Первоначальное понятие о кривизне возникает применительно к плоским линиям. Кривизною в данной точке оценивают здесь, насколько быстро, или, если угодно, насколько интенсивно, уклоняется в этой точке линия от прямизны, мерою же степени искривленности берется такая линия, у которой искривленность всюду одинакова, т. е. окружность. Мы подбираем такую окружность, которая слилась бы с данной кривой в данной точке, что выражается общностью у них трех бесконечно близких точек. Более наглядно мы должны представлять себе это измерение кривизны как физическое измерение: мы имеем набор твердых кругов, причем номер в этой шкале тем более высок, чем круче изогнута дуга окружности. Если теперь мы будем приставлять по касательной к промеряемой линии эти круги, то одни из них пойдут по одну сторону линии, а другие — по другую, т. е. одни изогнуты положе этого места нашей линии, а другие — круче. Какой‑то промежуточный номер соответствует окружности изогнутой не круче и не положе, нежели измеряемая линия, и такая окружность некоторое, весьма малое расстояние идет вместе с нашей линией, не отступая от нее ни в ту, ни в другую сторону. Эта окружность, или степень ее искривленности, и измеряет кривизну данного места нашей линии.

Кривизна же окружности характеризуется ее радиусом R или, лучше, величиною К обратною этому радиусу.

Кривизна К линии от точки к точке меняется и может становиться в некоторых местах нулевою, отрицательною — когда линия изгибается в обратную сторону, и бесконечно большою — когда линия заостряется.

Аналогичное понятие можно установить и в отношении геометрических образов двухмерных, т. е. поверхностей. Но эту аналогичность нельзя упростить, заменяя измеряющую окружность таковою же сферою и принимая за меру кривизны величину, обратную радиусу этой сферы.

В самом деле, будучи многообразием двухмерным, поверхность в одном направлении искривляется вне какойлибо зависимости от своего искривления в направлении перпендикулярном; пример листа бумаги, которая может быть изгибаема так или иначе, оставаясь по перпендикулярному направлению не изогнутой, поясняет это свойство поверхностей. Итак, величина, характеризующая кривизну поверхности, должна принимать во внимание степень искривленности поверхности по двум, взаимно перпендикулярным направлениям, т. е. двумя радиусами кривизны, как говорят — главными радиусами, из которых один —наибольший —/ίι, а другой —наименьший — Так возникает понятие о Гауссовой кривизне[67 — См.: Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях//Об основаниях геометрии. М., 1956. —96.] поверхности в данной точке К причем

Мера кривизны К, вообще говоря, меняется от точки к точке и может принимать всевозможные значения между —оо и +<». Геометрический смысл величины К, как одной характеристики, устанавливается теоремою Гаусса о так называемом сферическом избытке. Пусть имеется у нас на евклидовской плоскости треугольник ABC, со сторонами а, Ь, с. Сумма углов его равна π, так что α=2ς–π= О, где 2ς=ΔΑ+ΔΒ + Δϋ. Перенесем теперь наш треугольник, предполагая стороны его гибкими, но не растяжимыми, на рассматриваемую кривую поверхность и возможно натянем его стороны, так чтобы при этом они не отставали от поверхности. Тогда каждая из них пойдет в направлении кратчайшего расстояния по поверхности, или, как говорят, по геодезической линии поверхности. Такую линию, согласно определению прямой как кратчайшего расстояния, жители этой поверхности должны признавать за прямую, или прямейшую, —прямую на этой поверхности и, следовательно, весь треугольник — за прямолинейный. Но, понятное дело, форма этого треугольника теперь изменилась и изменились его углы; теперь они уже не А, В и С, а Л, В\ С и сумма их 2q уже не π, а некоторая другая величина. Поэтому α = 2<7 π, где 2q — Z_A+/LB+/LC\ уже не равно нулю. Эта величина чх, т. е. величина отступления суммы углов деформированного на кривой поверхности треугольника от того же треугольника на евклидовской плоскости, носит название сферического избытка. Ясное дело, этот избыток имеет искривленность поверхности и, следовательно, сам эту искривленность характеризует. Но далее, деформация треугольника должна сказаться на величине его площади. Если представить себе, что мы выложили треугольник на плоскости весьма малыми квадратиками и сосчитали число их, а затем то же самое проделали с треугольником на кривой поверхности, то число квадратиков, там и тут выстилающих его площадь, окажется различным, и эта разница опять‑таки характеризует искривленность поверхности. Следовательно, должна возникнуть мысль связать эти три величины — площадь, сферический избыток и кривизну. Это и делает теорема Гаусса, согласно которой где интеграл распространяется на всю поверхность треугольника ABC на кривой поверхности, a da есть элемент площади этого треугольника. Смысл теоремы —в том, что сферический избыток накапливается в общей сложности всеми элементами поверхности, но в тем большей степени, чем больше кривизна в этом элементе. Иначе говоря, мы должны себе представлять кривизну поверхности по какой‑то формальной аналогии с поверхностной плотностью, и суммарное накопление этого качества поверхности сказывается сферическим избытком треугольника. Физически теорему Гаусса можно толковать, воспользовавшись сыпучим или жидким телом. Если бы некоторое количество жидкости, мыслимой как несжимаемая, было налито тонким, ровным слоем на поверхность плоского треугольника, а затем перелито слоем той же толщины на треугольник деформированный, то жидкости или не хватило бы, или было бы слишком много. Вот этот‑то избыток, с положительным или отрицательным знаком, жидкости, отнесенный к толщине слоя, и равнялся бы сферическому избытку треугольника. Возвращаемся к формуле Гаусса. Согласно приемам анализа бесконечно малых, она может быть переписана в виде: где К есть некоторое значение кривизны нашей поверхности внутри треугольника. Следовательно: Это среднее значение кривизны характеризуется как сферический избыток деформированного треугольника, отнесенный к единице его же площади. Иначе говоря, это есть избыток жидкости при деформации треугольника, отнесенный к полному ее количеству, или, иначе говоря, относительное изменение поверхностной емкости нашего треугольника при его деформировании. Представим себе теперь, что треугольник наш делается все меньше и меньше. Тогда площадь его станет беспредельно убывать, но вместе с тем станет беспредельно убывать и сферический избыток (если только рассматриваемая точка не есть исключительная). Отношение же этих убывающих причин будет стремиться к пределу, вызывающему относительное изменение поверхностной емкости в данной точке. Это и есть истинная Гауссова кривизна поверхности в данной точке. Итак, когда мы обсуждаем кривую поверхность из трехмерного евклидовского пространства, то перенос на нее плоского треугольника мы истолковываем как деформацию и к понятию кривизны подходим из представления, что стороны его сделались кривыми. Но это есть оценка происходящего извне и притом, когда признается этот внешний мир безусловно неизменным; это есть высокомерное объяснение, которое было