сущности дипломатический язык; будучи вполне истинным, он, однако, избегает ответственности за наглядную сторону дела и высказывает всякое положение надвое, равно угождая как принимающим точку за исходный элемент плоскости, а прямую за производный, так и их противникам, видящим изначальность в линии, а производность —в точке. По этому самому эта дипломатическая речь на обычный язык наглядных образов может быть в каждом ее высказывании переводима двояко, и притом совсем по–разному. И тот и другой перевод будут каждый вполне истинен, но между собою, как теорема о наглядных образах, не будут иметь ничего общего. Таким образом, каждая теорема может быть удвоена без малейшего труда, — нельзя же считать за труд механическую замену нескольких слов другими, согласно точно определенным требованиям. Попросту говоря, к формально–логическому построению геометрии должен быть еще приложен словарик в десятка полтора–два слов (из них особенно потребны слова первого десятка). Словарь этот располагается в три столбца: первый столбец содержит буквенные символы и знаки логистики, второй — соответствующие тем и другим понятия точечной геометрии, а третий —соответственные понятия геометрии линейной. Тогда любое высказывание на одном из трех языков может быть без труда переведено на оба других языка: формально–логическое соотношение знаков протолковано на языке наглядных точечных или наглядных линейных образований, а высказывание той или другой наглядной области превращено в соответственное высказывание другой области или же возведено к своей формально–логистической схеме.

Этот словарик, если оставить сейчас нас мало занимающий столбец языка логистического, построен примерно так:

Соединяя их всеми возможными способами, мы получим шесть прямых: четыре стороны и две диагонали четырехугольника. Если теперь провести прямую, соединяющую точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, то диагонали засекут на этой прямой две точки, и они, как доказывается, будут гармоническими в отношении точек пересечения сторон. Из этой теоремы нетрудно вывести и двойственно сопряженную. А именно: возьмем четыре прямые (вместо четырех точек) и все шесть точек их взаимного пересечения (вместо шести прямых их соединения). Соединим теперь прямыми (вместо: возьмем точки пересечения) противоположные вершины: они пересекутся в одной точке (вместо соединения точек одною прямою). Тогда две другие точки пересечения противоположных сторон вместе с этой точкой определят две прямых (вместо пересечения в двух точках). Эти две прямые вместе с прежними диагональными прямыми образуют пучок, и пучок этот будет гармоническим.

Или вот еще пример: две чрезвычайно важные теоремы, Паскаля и Брианшона[95 — Паскаль Блез (1623—1662) — французский религиозный философ, математик, физик. Сформулировал одну из теорем проективной геометрии. Брианшон Шарль Жюльен (1785—?)— французский математик, проф. артиллерийской школы королевской гвардии; в 1806 г. независимо от Паскаля доказал аналогичную теорему, известную как «теорема Брианшона». Доказал носящую его имя теорему проективной геометрии, которая переходит в теорему Паскаля, относительно двойственности, описываемой Флоренским. Эта двойственность была открыта Врианшоном в 1806 г. См. подробности в кн.: Клейн Ф. Высшая геометрия. М.; I1., 1939. С. 65—67, 79—85; Гильберт Д. и Кон–Фоссен С. Наглядная геометрия. М.; II., 1936. С. 109; Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. М., 1981. С. 33—36. —140.], были открыты независимо друг от друга и приблизительно на расстоянии двухсот лет; между тем, простым словесным переводом каждая из них превращается в другую. Теорема Паскаля относится к шестиугольнику: если имеется шесть точек на плоскости, то, соединяя прямою каждую из смежных пар (а какие пары считать смежными —это зависит от нашего произвола), мы получим шесть сторон шестиугольника, — хотя он может ничуть не походить на то, что в элементарной геометрии называется этим именем. Рассмотрим теперь точки пересечения пар противоположных сторон, т. е. в условленном порядке вершин — разделенных одною вершиною. Таким образом найдутся три точки пересечения. Теорема Паскаля состоит в том, что они лежат на одной прямой. Станем теперь переводить все сказанное на язык геометрии линейной. Итак, берем шесть прямых (вместо шести точек) и условливаемся о порядке их последовательности. Затем пересекаем их в порядке их последовательности (вместо соединения) и находим шесть вершин (вместо шести сторон). Противоположные вершины (т. е. разделенные одною стороною) соединяем теперь (вместо: пересекаем стороны) прямыми; найдутся тогда три прямые (вместо трех точек). Теорема Брианшона состоит в том, что все три прямые проходят чрез одну точку (вместо: лежат на одной прямой). Подобных примеров, как указано выше, можно дать в буквальном смысле сколько угодно, ибо любая теорема точечной геометрии может подвергнуться такому переводу на язык геометрии линейной. Но и на данных двух примерах достаточно ясно, что речь идет здесь отнюдь не о какой‑то тавтологии и даже не о том превращении, которое дается обратными теоремами; принцип двойственности ведет к геометрической истине существенно новой, и устанавливаемое им свойство геометрических образов, как наглядно представляемых, не имеет ничего общего с тем исходным, из которого было первоначально получено. Не зная принципа двойственности, об этом новом свойстве никоим образом нельзя было бы догадаться, и нужно было бы открывать его совершенно заново, как это, например, и случилось с Брианшоном.

XXXVI

В трехмерном пространстве принцип двойственности оказывается уже иным. Тут один из способов понимания пространства есть подход к пространству как точечному, а двойственно сопряженный ему подход считает первоначальным элементом пространства — плоскость. Тогда в приведенном выше словаре слово «прямая линия» должно везде быть заменено словом «плоскость», а производная от «прямая» или «сторона» — соответственными производными от «плоскость» или «грань»; так, вместо «многосторонник» надо поставить в словаре «многогранник» и т. п. Что же касается до прямой линии, то она тут есть образование всегда вторичное и определяемое либо соединением двух точек, либо пересечением двух плоскостей.

Поэтому при переводе с языка точечной геометрии на язык плоскостной и наоборот слово «прямая линия» и его производные остаются без перевода; не меняя своей фонемы, они терпят изменения семемы в силу произведенного перевода прочих слов. Таким образом, в пространственной двойственности прямая сама себе соответствует.

Как было уже указано, принцип двойственности может быть обобщен и на такое понимание пространства, в котором нет прямых, а есть лишь пути соединения некоторых областей, называемых здесь точками[96 — Здесь, возможно, имеется в виду, что двойственность в проективной геометрии можно представить как частный случай двойственности Пуанкаре в топологии между циклами дополнительной размерности на многообразии. —142.]. Но сказанного выше достаточно, чтобы дать понятие о формальнологическом значении двойственного подхода к пространству.

XXXVIII[97 — Параграф XXXVII в рукописи отсутствует. На полях запись автора: «XXXVII. Графика и живопись как проекции двойственного понимания трехмерного пространства». Ни здесь, ни в других своих текстах Флоренский не дает ответа на естественно возникающий вопрос: каким образом математические понятия двойственности, изложенные в предшествующих лекциях, связаны с той двойственностью между графикой и живописью, о которой он столько говорил перед этим?Чтобы ответить, начнем с чисто математического обсуждения этого вопроса. Свяжем двойственность в проективной геометрии с ситуацией зрительного восприятия, использованной Флоренским для описания графики и живописи. Пусть «глаз» смотрит на картину. Будем считать, что плоскость картины — это наша проективная плоскость Л т. е. она бесконечно удалена от «глаза». В этой плоскости есть и точки, и прямые («следы движения»). Если мы соединим эти геометрические образы с помощью световых лучей с точкой взора (соединяя, для простоты, оба глаза в один), то получим прямые и плоскости в трехмерном векторном пространстве Е. Это —хорошо известное представление проективной плоскости в виде множества прямых («световых лучей»). Прямые и плоскости в трехмерном пространстве Ε однозначно определяют соответственно точки и прямые на проективной плоскости Р. Оказывается, что двойственность в проективной геометрии возникает из двойственности векторных пространств, имеющейся в линейной алгебре.Пространство Ε снабжено евклидовой метрикой. Если FczE— его подпространство (прямая или плоскость), то ему можно сопоставить подпространство 7г1с£, ортогональное к F. Если F— прямая, то F1 — плоскость и наоборот, и это именно то соответствие, которое определяет двойственность в проективной плоскости.Эта двойственность может быть определена через преобразование Фурье / функций на пространстве Ε. С каждым подпространством Fa Ε естественно связывается его характеристическая функция δ7, (дельта–функция, сосредоточенная на F)y и нетрудно проверить, что Ог=аг±.Итак, проективная двойственность, которая имеется в геометрии и о которой говорит о. Павел, является частным случаем общей конструкции преобразования Фурье.Вернемся теперь к словам Флоренского о двойственности точки, точки как чувственного, сенсорного образа, как того, что мы осязаем, и линии, которую вырезает наша рука для графического произведения или скульптуры. Мы можем назвать их дополнительными в смысле квантовой теории, и эта дополнительность будет выражаться той самой математической конструкцией, которая имеется в квантовой теории в дополнительности координатного и импульсного описаний свободной частицы, т. е. преобразованием Фурье.Далее, учитывая, что эти две картины — графическая и живописная, борются друг с другом, они противоречат друг другу, доведенные до своего логического предела, они полностью уничтожают противоположную картину, мы можем сказать, что перед нами есть, в точном смысле слова, проявление дополнительности, причем дополнительности не в микроскопическом квантовом мире, а в части человеческой жизни — искусстве, где ее наличие выглядит совсем неочевидным.Когда о. Павел читал свои лекции, квантовая теория только зарождалась, концепции дополнительности еще не было, и мы можем только гадать, в какой форме он выразил свои идеи о связи двойственности в математике и искусстве. Мы привели здесь возможный вариант развития его идей.Подробнее об этом и о связях этого круга вопросов со свойствами симметрии человека см.: Паршин А. Н. Дополнительность и симметрия (в печати). —142.]

1924.111.30

Таким образом, основная задача изобразительного искусства на поверхности — организация пространства — может быть решена двумя подходами, близкими друг к другу формально, но глубоко чуждыми по ощущениям, лежащим в основе того и другого подхода. На одном пути изображаемое пространство мыслится осязательно и строится точками или пятнышками, а они в свою очередь определяют линию, но линии мыслятся тут как возможные пути движения, причем более или менее безразлично, осуществляются эти движения или нет. Напротив, при двигательном подходе к пространству, оно организуется линиями, и линии здесь — первичные элементы, активные и собою определяющие некоторые точки, как места возможных встреч, а потому и остановок осязанию. Но при этом безразлично, воспользуется ли на самом деле этими точками осязание, или нет. Иначе говоря, поверхности и объемы наглядно представлены здесь как образы двигательные, но с указанием до известной степени возможных осязаний; а при другом подходе, наоборот, поверхность и объемы представлены как образы осязательные, но с указанием возможных движений.

Но теперь осязаются вещи, а пространство дает простор движениям, как и наоборот, пространство не осязаемо, а в вещах как таковых нельзя двигаться. Отсюда понятно господство в каждой из названных двух ветвей искусства одной из