и не быть однородным. Так, пространство с неоднородностями, распределенными вполне беспорядочно, будет вполне изотропно, но однородным не будет.

Таким образом, изотропность и однородность пространства—признаки друг от друга независимые, и совмещение их есть очень специальный случай, который подлежит особому доказательству.

5. Но, кроме изотропности, должно быть особо утверждаемо свойство, которое формально можно было бы подвести под понятие изотропности, но по своему внутреннему смыслу, ради отчетливости, должно рассматриваться как самостоятельное. Это свойство — битлярностъ. В самом деле, у прямой линии, кроме ее направления (direction), должен рассматриваться ее смысл (sens), и требуется всякий раз особое доказательство, что в данном случае тот и другой смысл данного направления безразличны[185 — В случае direction речь, очевидно, идет о скалярном смысле направленности, соответствующем понятию биполярности, т. е. обратимости перспективы, а в случае sens —о ее векторном смысле, соответствующем понятию униполярности, необратимости перспективы.На эффекте необратимости векторных направленностей основана разработанная П. А. Флоренским концепция обратной изобразительной перспективы. —280.]. Если это доказано относительно каждого из направлений пространства, то мы имеем право называть его биполярным, если же безразличие смысла остается под вопросом, или даже отрицается, то такое пространство мы должны считать по тем направлениям, относительно которых безразличие их смысла не доказано, пространством, обладающим свойством униполярности. —Понятие биполярности может быть еще расширено и тогда уже явно отделится от понятия изотропности, если говорить о смысле не направления, т. е. прямой, а о смысле всякого пути между двумя точками. Вообще говоря, прохождение некоторого произвольно выбранного пути между точками А и В от А к 5 — не то же, что от В к А, т. е. в отношении любого пути пространство, если нет особых ограничений, должно считаться униполярным. —Изотропностью характеризуются направления в пространстве, а униполярностью — отрезки этих направлений между двумя точками. Таким образом, для построения понятия об униполярности, необходимы и прямая (шире —вообще линия) и точка, и, следовательно, униполярность имеет связь как с изотропностью, так и с однородностью.

6. Пространство непрерывно и связно. Первоначальное понятие о непрерывности дается указанием на возможность беспредельного деления всякого геометрического образа в пространстве, а о связности — указанием на несуществование в пространстве отдельных, друг от друга уединенных областей, между собою не координированных и не имеющих беспредельного множества путей взаимного сообщения. Однако эти предварительные указания очень недостаточны, и, ограничиваясь ими, мы далеко не выразили бы предносящегося общечеловеческому сознанию понимания непрерывности и связности. — Несравненно более строгая формулировка этого понимания принадлежит Георгу Кантору[186 — См. примеч. 12 к «Анализу пространственности…». —281.]. Она обнимает оба указанные свойства одним термином Continuum, с тем чтобы расчленить его несколько по–новому. Определение Кантора: «Continuum есть совершенное и связное множество точек». Это тонкое определение, но так как и оно, равно как и последующие усовершенствования его, все‑таки не адекватно интуиции непрерывности и связности, здесь было бы неуместно обсуждать тонкости и контроверзы теории множеств. —В порядке изложения следует отметить лишь, что и непрерывность и связность пространства отнюдь не вытекают аналитически из его понятий и следовательно должны быть доказаны особо. При этом, чем тоньше и глубже проводится логический анализ Continuum’a, тем более частным случаем оказывается пространство евклидовской геометрии. И значит, тем сложнее и потому маловероятнее условия его существования и тем труднее доказательство, что пространство в самом деле таково. Вообще говоря, нет оснований ждать, чтобы пространство имело своими свойствами непрерывность и связность. Из всех возможных случаев непрерывное и связное пространство было бы неожиданной и величайшей редкостью.

7. Пространство трехмерно. Обычное разъяснение трехмерности делается с ссылкою на возможность провести чрез каждую точку пространства три, — не более и не менее как три, —взаимно перпендикулярные прямые. Но такое разъяснение предполагает ряд других свойств, которые в существе дела не связаны необходимо со свойством трехмерности. Поэтому правильнее будет охарактеризовать трехмерность пространства как необходимость и достаточность для точек его определяться тремя, — не более и не менее как тремя, —независимыми друг от друга данными, каковы бы они ни были. Если три данные устанавливают точку в пространстве, два данных или одно недостаточны, так как оставляют возможность бесконечного выбора, а четыре, или большее число данных, если они независимы друг от друга, оказываются, вообще говоря, несовместимыми и друг друга исключающими, то такое пространство обладает свойством трехмерности, если же этого нет, то нет причин называть пространство трехмерным. От других вышеуказанных свойств трехмерность независима и потому должна быть доказываема особо.

8. Пространство однозначно. Три данные или координаты определяют точку в пространстве, т. е. исключают возможность произвольного выбора в том или другом непрерывном геометрическом образе. Однако это не отменяет выбора какого бы то ни было. Определенному сочетанию трех координат может отвечать несколько или даже бесконечное множество различных точек, своею совокупностью не образующих, однако, никакой непрерывности. —Иначе говоря, соответствие точек и координатных триад может быть не однозначным, или во всяком случае, хотя и однозначным, но не взаимно однозначным. Можно мыслить трехмерное пространство таким, что всякой точке или быть может некоторым точкам, соответствует не одна, а множество различных координатных триад; а с другой стороны, можно мыслить пространство, в котором каждой координатной триаде или некоторым соответствует некоторое множество точек. Это будет пространство хотя и трехмерное, но не однозначное. Указанная возможность мыслима и суженною, так, чтобы координатным триадам соответствовали точки однозначно, но не наоборот, или чтобы точкам однозначно соответствовали координатные триады, но триадам соответствие точек было бы многозначное. Итак, вообще говоря, пространство — трехмерное и иное, должно мыслиться вообще говоря многозначным, и лишь на основании особых доказательств может быть признано однозначным. Ясное дело, многозначность пространства есть свойство общее, сравнительно с частным —однозначности, и последнее требует для своего существования особых условий. — Сказанное о точках должно быть повторено с соответственными изменениями также о направлениях в пространстве, в путях и различных геометрических образах, в отношении которых однозначность должна быть всякий раз доказываема особо, тогда как многозначность, вообще говоря, разумеется сама собою. Сюда относится, например, расширение и обогащение понятия о четнои нечетносторонних поверхностях: в связи с существованием, наряду с нормалью, бинормали и тринормали возможны чрезвычайно сложные трехмерные аналогии односторонним и двусторонним поверхностям обыкновенного пространства, но бесконечно более богатые свойствами, подобно тому, как поверхность богаче плоских линий. Наконец, пространство обладает всюду нулевою кривизною. Это свойство пространства не вытекает из предыдущих и должно утверждаться и доказываться особо. Из бесчисленных возможностей различных положительных и отрицательных кривизн, хотя бы и всюду постоянных, нулевая кривизна есть лишь частный случай, и потому доказательство действительности его лежит на том, кто утверждает этот частный случай, тогда как вообще говоря, о кривизне пространства надо говорить как об отличной от нуля. Далее, в главе о полях, понятие кривизны пространства будет рассмотрено более обстоятельно.

IV. ПРОСТРАНСТВО ФИЗИЧЕСКОЕ

1925. V.15

Перечисленными выше признаками характеризуется евклидо–кантовское пространство, т. е. пространство обыкновенной геометрии. Это —то самое пространство, с которым имеет дело рациональная механика. Но пространство физического мира, даже схематически строенное физикою, имеет признаки, существенно отличные от перечисленных выше. Уже основные аксиомы ньютоновской механики, в частности принцип инерции, несовместимы с бесконечностью и некоторыми другими свойствами евклидовского пространства, так что требуется какая‑то перестройка самого понятия пространства. Более глубокая перестройка основ физики на почве обоих принципов относительности повела к существенно отличным от прежних взглядов на пространство, установив его конечность, неоднородность и неизотропность, многомерность (в концепции Эдцингтона — пятимерность), отличие его кривизны от нуля, и притом различное в разных местах, многозначность и, при известном подходе (использование мнимостей), — его несвязность. В дальнейшем можно предвидеть, уже намеченное современной мыслью, отрицание непрерывности на почве теории квантов. Современная физика уже порвала с канто–евклидовским пространством. Достаточно отметить хотя бы эйнштейновский вывод из общей теории относительности о квази–сферичности мирового пространства с радиусом, равным

где ρ есть средняя плотность материи, или подобный же вывод де–Зитмера[187 — Вероятно, имеется в виду Вильгельм де Зиттер (1872—1934). —283.]о конечности времени, или хотя бы результат астрономических исследований Шварцшильда[188 — Карл Шварцшильд (1873—1916) — немецкий астроном. Скорее всего П. А. Флоренский имеет в виду работу К. Шварцшильда «О допустимой кривизне пространства»//Новые идеи в математике. Вып. 2. СПб., 1913. т-283.] и Гарцера[189 — Пауль Герман Гарцер (1857—1932). Гарцер П. Г. Звезды и пространством/Новые идеи в математике. Вып. 2. СПб., 1913. —283.] об эллиптичности (в римановском смысле) пространства вселенной с радиусом кривизны, примерно в 100 миллионов раз превосходящим радиус земной орбиты, как представление, согласованное с астрономическим опытом, чтобы убедиться, насколько далека от современной физики евклидовская геометрия. На эту тему можно было бы еще говорить много и показать всесторонне выветривание евклидовского пространства под действием физических исследований. Но в данном случае это не является необходимостью, хотя и могло бы быть полезным дидактическим вступлением для тех, кто в своем мышлении о действительности отправляется от схем и абстракций вместо прямого использования непосредственного опыта. Но поскольку настоящая книга, хотя и общедоступная, предназначена все‑таки тем, кто вниманию своему подвергает действительно переживаемое, а не провозглашаемое таковым в угоду построений схематических, постольку анализ физического пространства здесь был бы скорее вредным, отнимая место у других глав, и подсказывая ложную мысль о необходимости считаться при изучении искусства с выводами физики, и создавая соответственную привычку.

Между тем, в настоящем случае должна быть намечена со всею твердостью полная независимость исследования пространственности в изобразительном искусстве от тех или иных признаний физики; самое большее, они могут дать некоторый аналогон, коренящийся на общих с искусствоведческим исследованием общефилософских и общематематических предпосылках и методах. Наряду с понятием пространства физического установлено таковое же пространства психофизиологического. Оно отвечает, как некоторая схематизация, пониманию пространства нашей повседневной жизни, определяемой психическими и психофизиологическими процессами. Ясное дело, нет никакого основания загодя утверждать тождество пространства психофизиологического с физическим, потому что наша повседневная жизнь не считается с отвлеченными основаниями физики, а физика в своих построениях сознательно отвлекается от явлений психических и психофизиологических.

Таким образом устанавливаются три слоя в понятии пространства: геометрический, физический и психофизиологический, последовательно приближающиеся к пространству конкретному, т. е. к нашему жизненному опыту. Но все они, хотя и в разной мере, отличны от понятия пространства эстетического, той схемы, в которую выкристаллизовывается опыт художника и наблюдателя художественных произведений. Понятие эстетического пространства есть самостоятельный слой в общем понятии о пространстве; самое близкое к понятию эстетического пространства — это понятие пространства психофизиологического, самое далекое от него понятие о пространстве геометрическом, а строемое физикою лежит посредине между обоими.

V. ПРОСТРАНСТВО ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКОЕ

1925. V. I7

Эстетическое восприятие не исчерпывается ни психофизиологией, ни просто психологией, и было бы глубоким непониманием нормативности искусства рассчитывать, что