само по себе понятие это значит, что в этом пространстве вы можете брать вырезки сколь угодно большие.
Наряду с этим, современная геометрия различает между бесконечностью и беспредельностью пространства. Под беспредельностью разумеет возможность двигаться в пространстве, не встречая никаких препятствий, но это не значит, что те величины, которые вы будете захватывать, будут бесконечно велики. Если мы берем прямую, то мы говорим, что она бесконечна и беспредельна, потому что, как бы далеко я ни стал двигаться в направлении, если мы возьмем замкнутую прямую — окружность, то по отношению к окружности мы должны говорить, что она беспредельна. Если я не имею ясного представления, что линия замкнута, я никогда не буду убежден, что это есть та же самая точка, а не такая же.
Вы помните Ницше, идею о вечном возвращении[222 — О Ницше см. в примеч. П. —342.], которая идет из глубокой древности: есть некий Мировой Год, подобно тому как по окончании года астрономическое явление начинает повторяться, должны повторяться и исторические события, все то же самое. Когда говорил Ницше о том, что все, что происходит, будет повторяться, он не мыслил, что это те же самые явления, это такие же самые явления. Время тут мыслится бесконечным и беспредельным. При этой концепции каждая из мировых координат мыслится беспредельной и бесконечной.
Я хочу различить эти два понятия —беспредельности и бесконечности. Возьмем поверхность, мир двухмерный вместо одномерного, линейного мира. Берем сферу. Эта поверхность беспредельна, но не бесконечна. Если бы мы захотели некоторую площадку на сфере увеличивать, для чего должны бы увеличивать радиус окружности, мы достигаем (пропуск/з строки), которая равна половине полной поверхности сферы. Наконец, она дойдет до полной сферы. Если бы захотели еще дальше увеличивать, то мы увидим, что увеличить поверхность мы не можем, но двигаться на сфере нам никто не мешает, но поверхность мы бы захватывали, взятую раньше, мы ничего к ней не прибавили.
То же самое вы должны отнести к объему. Формально перенесите на трехмерное пространство это понятие замкнутости. Тогда, если бы вы стали увеличивать некий объем, если у вас некоторый клубок дыма стал бы все возрастать и, наконец, занял бы собою все пространство, то, хотя бы частицы могли двигаться дальше, но объем не мог бы возрастать. Евклидовское пространство мыслится как беспредельное и бесконечное в противоположность пространству, которое мыслится беспредельным, но не бесконечным. И, наконец, мыслится пространство, которое и не беспредельно и не бесконечно.
Спросим себя по отношению к пространству художественного произведения — можем ли мы его назвать бесконечным? Ясное дело, что нет, что самая идея бесконечности была бы отрицательна, это было бы утверждение, что есть какие‑то области, которые мы в своем восприятии никогда не достигнем в этом произведении, что в нем какие‑то области достижимы, а что‑то всегда остается вне нашего восприятия, какие‑то темные основы. Если это чувство в нас рождается, то нам делается неприятно, и тогда вместо замкнутого пространства художественного произведения мы начинаем чувствовать конец этого произведения, и (пропуск */з строки) какойто мрак. Оно не является в хорошем смысле рациональным. Может быть, когда мы имеем дело с (рамой?), это зрение и есть привкус этой бесконечности или, во всяком случае, такой чрезмерности, которая не доступна оценке восприятия.
Если мы возьмем беспредельность, то тут наоборот естественно ждать, что в большинстве случаев художественное произведение является пространством беспредельным, т. е. что мы никогда зде. сь не натыкаемся на что‑то, что мешало бы восприятию произведения. Это смыкание. Если вы возьмете картину, она не всегда должна быть и физически замкнута. Очень часто бывают случаи, когда смыкаются края картины в художественном восприятии, а физически они разомкнуты. Когда, подходя к краю картины, мы сразу воспринимаем противоположный край, картина является циклической, внутренне замкнутой.
Евклидовское пространство непрерывно. Точно определять это понятие я сейчас не стану, это нам сейчас не важно, а самым грубым образом и предварительно. Это значит, что отдельные его части связаны так, что всегда есть возможность перейти от одной части к другой, нет в пространстве такой (пропуск/строки), через которые мы не могли бы перейти. Если мы говорим о механическом движении пространства, это значит, что никакая материальная точка не может очутиться в каком‑то другом положении, не пройдя через все промежутки и находясь в них каждые последовательные моменты времени.
В мире, если его мыслить по–евклидовски, нет никаких областей абсолютно нового пространства. От всего этого переход ко всему. Можно ли применить этот признак евклидовского пространства к пространству художественного произведения? Разумеется, нет. Бывают очень часто случаи, когда пространство художественного произведения распадается на несколько подпространств, имеющих каждое свое особое качество и связанных между собою некоторым новым пространством, но таким, что прямого перехода от одного пространства к другим нет, есть скачок. Например, когда на картине изображена картина. Пространство основной картины не допускает переходить в пространство картины, изображенной на картине, потому что картина должна быть самозамкнутым целым. Зрительно в некоторых случаях можно говорить о непрерывности пространства художественного произведения. В частности, осязательно этой прерывностью пространства пользуются художники для разных целей, например, для изображения видений, для изображения вида в окно, когда дается совсем другое пространство, никак не соотносимое с пространством в комнате[223 — Здесь Флоренский развивает аритмологическую тему применительно к художественному произведению. Об аритмологии см. в примеч. 10. —344.].
Два последних признака(— однородность и изотропность. Под однородностью пространства) разумеется одинаковость качества, какие бы вырезки из пространства мы ни взяли. Все равно, вырезать ли из евклидовского пространства на Луне или на Земле, мы мыслим его абсолютно тождественным по качеству. Под изотропностью разумеется одинаковость качеств пространства по всем направлениям. Эти лучи по вертикали и горизонтали, они будут тождественны по своим качествам. Они отличаются между собою условно и соотносительно — если я одну считаю горизонталью, то другую я называю вертикалью, а хотите, и наоборот. То и другое свойство вовсе не присуще пространству вообще, т. е. нет оснований ждать, чтобы оно было присуще пространству художественного произведения.
Но относительно того, что оно не присуще и вообще пространству действительного восприятия, вы можете судить и по тому, что для нас горизонтальная и вертикальная плоскость вовсе не одно и то же, для нас не все равно, положить картину так или так, качества картины от этого меняются. Пространство художественного произведения, как и пространство восприятия, не изотропно, лучи по разным направлениям обладают разными свойствами. Есть некоторое абсолютное направление в пространстве, которое мы не смешаем с другими. Нам не все равно, идет ли луч справа налево или наоборот. Возьмите любой приличный рисунок и посмотрите на свет. С другой стороны, направление вперед и назад и направление горизонтали справа налево и слева направо вовсе не тождественны. Для них существует особая мера, масштаб, и особая чувственная окраска.
Теперь у нас есть вопрос об однородности. Конечно, в нашем непосредственном восприятии не все равно, взять ли вырезку пространства около меня или за сто верст от меня, взять ли кусок пространства здесь или в конце комнаты. Здесь он доступен моему непосредственному опыту, осязательному, а там — только зрительному. Зрение будет действовать иначе тут, чем там.
В художественном произведении вы увидите, что каждый квадратный сантиметр, взятый в том или другом месте, имеет особый масштаб, качественность и особые законы. Он далеко не тождественен с другим квадратным сантиметром. Тут пространство художественного произведения не однородно, как и не изотропно.
По всем признакам, характерным для евклидовского пространства, художественное пространство отличается от этого пространства. Прямой перенос евклидовского пространства на художественное произведение есть только недоразумение.
(8–я ЛЕКЦИЯ[224 — 7–я лекция пропущена. Рассуждения о кривизне пространства в начале 8–й лекции подробнее представлены в тексте книги «Анализ пространственности…», параграфы XIV‑XV (наст, изд., с. 95—101). Эти параграфы были изданы Флоренским в виде отдельной статьи: «Физическое значение кривизны пространства (Из курса лекций 1923—1924 гг. во ВХУТЕМАСе по анализу пространственности в изобразительно–художественных произведениях)»//Математическое образование. 1928. № 8. С. 331—336. —345.])
(Дата в рукописи не указана)
Строение пространства характеризуется его кривизною. Мне очень совестно, что я надоедаю математическими понятиями, но я не вижу иного пути, чтобы подойти к проблемам эстетическим. То, что выработано современной математикой, может быть вполне перенесено в область эстетики, но, к сожалению, я не могу ссылаться на ее собственные понятия. Понятие кривизны позволяет еще досадить вам математикой.
Прежде всего, кривизна по отношению к одномерному пространству, т. е.(к) линии. Но тут это представляется вполне ясным. Если мы к какой‑нибудь точке этой кривой проведем касательную, то мы видим, что эта прямая отступает от касательной и она искривляется. Мерою искривления служит быстрота (удаления от) этой касательной. Для того чтобы измерить кривизну, нужно взять за единицу какую‑то постоянную кривизну, кривизну такой кривой, которая во всех точках одна и та же. Если я знаю радиус касательной (окружности), то он характеризует меру кривизны[225 — Речь идет не просто о «касательной окружности», т. е. об окружности, касающейся нашей кривой в заданной точке, а о соприкасающейся окружности, т. е. имеющей с нашей кривой касание 2–го порядка (отклоняющейся от нее на бесконечно малые не ниже 3–го порядка). Радиус соприкасающейся окружности называется радиусом кривизны, а величина обратная радиусу кривизны — кривизной в данной точке. См., например: Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. 4–е изд. М., 1956. — 345.].
Если мы перейдем к пространству двух измерений, к поверхности, то тут понятие кривизны будет сложнее. По аналогии естественно было бы желать к этой кривой поверхности прикоснуться в искомой точке, некоторой сфере, которая бы и характеризовала эту кривизну. Но, вообще говоря, этого нельзя сделать. Кривая линия изгибается только в одном смысле, поверхность может изгибаться в двух смыслах. Она может быть изогнута только по направлению противоположному или еще изогнуться или не изгибаться. Если взять лист бумаги, вы его можете изогнуть. Следовательно, нельзя сказать, что радиус окружности, который соприкасается с соответственным сечением поверхности, будет везде один и тот же, что кривизна по всем направлениям будет одна и та же.
Нужно бы вписывать некоторый эллипсоид или, так как выяснено, что по некоторому определенному направлению кривизна является наибольшей, а по другому — наименьшей, то Гаусс предложил за меру кривизны брать произведение из двух радиусов 1/R R. Это для так называемой гауссовой кривизны поверхности. Она меняется от точки к точке.
Для того чтобы более ясно себе представить понятие кривизны для трехмерного пространства, мы должны обратиться к одному принципиальному рассмотрению. Обычно понятие кривизны для трехмерного и многомерного пространства определяется геометрически, но можно построить иначе понятие кривизны, которое будет иметь определенный смысл. Для этого мы вернемся
