к кривизне поверхности, т. е. кривизне двухмерного пространства. У вас есть сфера и имеется на плоскости некоторый треугольник. Представьте себе дальше, что стороны этого треугольника состоят из некоторых гибких, но нерастяжимых нитей. Как бы вы ни изменяли отдельно каждой стороны, треугольник останется неизменным. Вы измерили площадь треугольника, сосчитали, сколько в нем квадратиков, весьма малых. Или, еще иначе: если бы вы сделали низенькие бортики, вы могли бы налить туда жидкости и по объему определить поверхность, зная высоту. Представьте, что треугольник накладывается на сферу. Тогда стороны его искривляются. Получается сферический треугольник. Так как мы сказали, что стороны состоят из нерастяжимых нитей, то длины их останутся неизменными. Но треугольник деформируется, следовательно, углы его изменятся, и величина поверхности не будет той, как была прежде.
Если бы теперь мы опять так наложили на этот треугольник весьма маленькие квадратики или налили бы воды так, чтобы она не слилась, то вы бы могли изменить площадь треугольника. Теперь она будет менее, чем раньше. Если бы ваша сфера была чрезвычайно велика в сравнении с треугольником, то изменение поверхности и деформация треугольника остались бы почти незаметными. Это потому, что кривизна сферы была бы чрезвычайно мала и была бы близка кривизне плоской поверхности, т. е. чем кривее будет сфера, тем больше деформируется треугольник и тем больше будет отступать его площадь от той величины, которая была на плоскости. Изменением площади характеризуется степень искривленности поверхности, но так как у треугольника площадь может быть сама по себе больше или меньше, то мы должны были взять не просто разность этой и той плоскости, а взять эту разность, отнесенную к единице площади. Это характеризовало бы степень искривленности сферы.
В сущности это будет теорема, данная Гауссом:
где dt — весьма маленький кусочек поверхности треугольника, К— степень искривленности. Получается разность, равная сумме углов на сфере минус π, сферический избыток треугольника. Что это значит? Это значит, что сферический избыток, т. е. изменение суммы углов против суммы углов на плоскости — степень деформированное™ треугольника, накопляется на каждом элементе его поверхности. Если бы мы наливали воду, то оттого что К в какой‑то точке будет больше соответственного участка треугольника участвующего значительно в этой сумме и потому эта разность конечная была бы соответственно больше. Почему? Потому что деформируется треугольник, потому что меняется емкость того или другого места треугольника.
Рис. 11
Кривизна двухмерного пространства характеризуется его емкостью. Если мы говорим о сфере, тогда кривизна всюду постоянна. Кривизна равна сферическому избытку треугольника, т. е. степени изменения его углов, деленному на его поверхность, отнесенной к единице поверхности. Если бы кривизна поверхности была разной в разных местах, то мы могли бы взять весьма малый треугольник и взять его среднюю емкость поверхности. Таким образом мы могли бы построить понятие о кривизне пространства.
Вместо треугольника возьмем тетраэдр. И его мы представим себе построенным из нерастяжимых нитей. Эти стенки затянуты пленками, которые будут плоскими, но гибкими, наподобие резины. Если налить жидкости, то эта жидкость, вода, например, будет иметь определенный вес или будет занимать определенный объем. Мы этот тетраэдр начали искривлять так, чтобы длины его ребер оставались бы неизменными, углы его при этом исказятся. Объем его должен измениться. Сумма углов тетраэдра будет 4π, т. е. четыре прямых угла. Отступление это А от четырех π — это разность, которую мы можем назвать шаровым избытком, она будет характеризовать собою степень деформации тетраэдра. Она накопляется на каждом элементе объема, в одних местах интенсивнее, а в других нет. Коэффициент накопления будет К. \K(dx)=Α -4π=сферическому избытку. Тетраэдр искривляется, объем его изменяется, часть воды вытечет или наоборот. Количество подлитой или вытекшей воды, отнесенное к объему, будет характеризовать степень его деформации, т. е. кривизну данного пространства в среднем. Если она постоянна, то это будет кривизна самого пространства.
Так мы подойдем к весьма крупному понятию, понятию кривизны трехмерного и многомерного пространств. Это понятие есть характеристика удельной емкости пространства. Пространства могут обладать различной емкостью, и она может меняться от точки к точке. В одних местах пространство емко, в других нет. У вас естественно рождается вопрос о косвенном дополнении. Емко по отношению к чему? Мы говорили о воде, но, как мы выяснили раньше, понимание пространства и то и другое охарактеризование его зависит от того явления, от того физического процесса, который мы полагаем в основу измерения. Тут мы сразу переходим к области, нас интересующей непосредственно.
Пространство есть среда, в которой располагаются не только веса и объемы, жидкости и твердые тела, но и разные другие физические характеристики, и температуры, и электрические, магнитные состояния и т. д. Кроме того, тут же в пространстве располагаются все наши переживания и отношения к действительности, т. е. то, о чем мы говорили. Когда шла речь о том, что есть пространство каждого ощущения. Раз мы располагаем известными образами ощущений в соответственном пространстве, значит, мы эти образы полагаем в основу при понимании пространства. Если это были веса или объемы жидкостей, мы должны держаться весов или объемов жидкостей, но если это были, положим, качества известных зрительных представлений, то должны держаться этого метода оценки. Следовательно, емкостью в порядке эстетическом для нас будет способность той или другой точки пространства по–разному относиться к одному и тому же фактору чувственного восприятия.
— Если я говорю, что зрительное поле мое обладает различной чувствительностью в разных местах, т. е. если одна интенсивность света, минимальная, будет видна при прямом зрении, другая — при боковом, то в порядке геометрического обсуждения это значит, что зрительное пространство обладает по отношению к световым впечатлениям различной емкостью, что в то время как данный участок пространства насыщается до видимости световыми впечатлениями при одной интенсивности, другой участок может только при другой интенсивности. Переводя на геометрический язык, мы должны сказать, что другой участок пространства обладает иною емкостью.
Если одно и то же количество штрихов производит на нас разное впечатление в зависимости от того, представлены ли они под тем или иным углом нашего зрения, т. е. что в одном случае их кажется больше, в другом они кажутся шире поставлены. Это значит, что зрительное пространство обладает различной емкостью.
Да, но по отношению к стакану воды пространство во всех местах обладает емкостью одинаковой. Верно. Ведь в том‑то и дело, что мы должны оставаться при том приеме измерения, с которого мы начинаем, и потому и получаются разные пространства.
Пространство этой комнаты для осязания есть нечто совсем иное, чем для зрения. Для зрения бинокулярного—совсем иное, чем для зрения монокулярного, для зрения усталого—другое, чем для зрения свежего. Нам совершенно безразлично в порядке эстетическом, что сказали бы о пространстве данном (пропуск/з строки). Это вовсе не значит, что мы потому отступаем от чистой геометрии и поддаемся произволу. Это значит, что, поскольку метод подхождения к пространству определяет и способ его понимания и его характер и устанавливает тот и другой строй, постольку мы заняты другим методом.
То, что должен сказать художник, который подходит с некоторым определенным приемом к данному помещению, не будет опровергаться тем, что должен сказать физик. Они говорят о разном, подобно тому как и физик должен бы сказать разное в зависимости от того, с каким инструментом он действовал бы. Возможно, что для физических приборов разница представлялась бы незаметной.
Но, принципиально говоря, это зависело бы от того, что комната мала. Пример того, как известный физический фактор может оцениваться или не оцениваться в качестве, если (пропуск */строки).
Я указывал, что точка, пролетающая мимо некоторой тяжелой массы, отклоняется от своего прямого пути, так же отклоняется кусок железа от магнита. Однако, пролетая мимо магнита, не всякая материальная масса отклоняется. Если искривление пути, т. е. некоторое указание, считается признаком наличия силы или наличия силового поля, то с точки зрения куска железа мы про магнит скажем, что тут есть силовое поле, с точки зрения куска меди мы этого не скажем. Геометрия существа железного или живущего на железной сфере признала бы это место чрезвычайно искривленным, а на медной — признала бы его почти что евклидовским.
То, что мы называем психическими факторами, например, притягательное действие красоты, они не будут замечены железом, но сознательное существо отклонится д ля того, чтобы посмотреть на красивый цветок. Есть ли тут действующая сила или нет? Ответ на этот вопрос может быть дан только с дополнением. Представьте себе, что мы бы знали только один род движущихся тел и наблюдали, что все живые существа отклоняются в сторону от этого тела. Геометрия сказала бы, что тут есть кривизна. Если бы появилось несознательное тело и пролетело бы мимо него, то физик стал бы строить дополнительную гипотезу, почему данное тело не отклонилось, он предположил бы, что существует сила, которая выпрямляет путь этого тела и действует только на это тело. Кривизна пространства та или иная, т. е. емкость пространства по отношению к известному фактору в зависимости от того, какие именно факторы мы рассматриваем.
В конце концов, все дело искусства сводится к организации пространства, к некоторому сознательному искривлению пространства сообразно той или другой схеме. Факторами искривления являются разные чувственные восприятия. В одних случаях — зрение, в скульптуре, например, в архитектуре живописи, в других случаях это звук, как в поэзии и музыке и т. д. В иных случаях дается совместная деятельность разного рода ощущений, но схема всякого искусства одна и та же. Берется кусок натурального пространства, которое до сих пор было устроено привычными физическими факторами, кусок по возможности не кривой, сам в себе равный, не возмущенный никакими физическими факторами, помимо ваших намерений. Например, если вы хотите дать концерт, вы должны заставить публику молчать, потому что она сама породит кривизны, вами не предвиденные, которые исказят это пространство, которое вы захотите создать. Когда взят определенный кусок пространства, вы его начинаете сознательно искривлять, т. е. сознательно придаете ему различную меру емкости. Как же происходит это? Это возможно в силу того, как мы сначала объяснили, что разделение действительности на пространство и вещи производится всегда условно, т. е. это есть некоторый наш умственный прием. Поэтому вы всегда можете действительность изменить таким образом, чтобы совокупность слагаемых пространства и вещи можно было удобно перетолковать иначе, т. е. вы в действительность вводите некоторые новые факторы, которые при восприятии вашего произведения я уже учитываю, но эти факторы, как таковые, отношу не к впечатлениям искривленности пространства, а к самому пространству.
Это можно пояснить по аналогии с тем, как вы накладываете тень. Когда на лицо в портрете накладываются темные и светлые пятна, то я мог бы подходить к этому в
