Е. II. Смысл жизни. Берлин, 1922. С. 32—37. — 80.

145

Хрисанф. «Религии древнего мира [в их отношении к христианству»]» т. I, (СПб.,] 1873, стр. 417–418.

146

Бернард Фонтенель (1657—1757)—французский философ, ученый и писатель, популяризатор науки. —81.

147

Противоречие в терминах (лат.). — 81.

148

Бесконечное число противоречиво (лат.). — 81.

149

Сальваторе Тонджорджи — итальянский католический философ XIX в. — 81.

150

Актуальная бесконечная величина противоречива (лат.). — 81.

151

Антиномия — противоречие между двумя суждениями, из которых каждое имеет законную силу. Специальное учение об антиномиях развито Кантом в «Критике чистого разума». Флоренский говорит о первых, так называемых математических, антиномиях Канта: 1) мир имеет начало во времени и пространстве; мир во времени и пространстве безграничен; 2) все в мире состоит из простого; нет ничего простого, все сложно. — 81.

152

П. Таннери. «Первые шаги древне–греческой науки», [СПб., 1902,) стр. 99 и след.

153

Процесс дихотомии (или диарезиса) весьма часто встречается в античной философии и, в частности, в диалогах Платона. См. его современное истолкование в кн.: Weyl II. Philosophy of Mathematics and Natural Science. Princeton, 1949. P. 52—54, а также: Вейль Г. Математическое мышление. М., 1990. С. 8, 360. —82.

154

Id., стр. 127.

155

В действительности (лат.). — 82.

156

В возможности (лат.). — 82.

157

Joseph von Schcllings sammtliche Wcrke, Erste Abth.

158

См.: Шеллинг Ф. В. И. Соч. в двух томах. М., 1987. Т. I. С. 490—589. — 83.

159

См. II. Poincard. «La Science ct l’Hypothdsc», pp. 20 etc.

160

См.: Пуанкаре Л. О науке. М., 1983. С. 17 и др. — 83.

161

Дионисий Лреопагит — афинянин, обращенный в христианство апостолом Павлом (Деян 17, 34). Традиция приписывает ему ряд сочинений, игравших важную роль в развитии идей христианского неоплатонизма. В научной литературе, однако, принято датировать эти сочинения V в., а их автора нередко именуют Псевдо–Дионисием. — 83,

162

Дионисий Ареопагит: «О небесной иерархии», гл. XIV (стр. 52 русск. пер. 1909 г.). Сочинение это относится, вероятно, к концу IV в. или к началу V в.

163

Кантор трактует этот термин как определенную, завершенную, актуальную бесконечность. — 83.

164

Категорематическое — актуально бесконечное (схоластический термин). — 83.

165

«Путешествие в Италию».

166

См.: Гёте И. П. Собр. соч. 2 изд. Т. 6. СПб., 1893. С. 37. — 83.

167

Const. Gutbcrlet. «Das Problem der Uncndllchcn». Zcitschrift fiir Philosophic und philosophische Krilik. Bd 88, 1886, p. 215.

168

Константин Гутбсрлст (1837—1928), немецкий теолог и философ, представитель томизма, был знаком с Кантором и оказал влияние на его интерес к теологии, в частности к Фоме Аквинскому. — 84.

169

Id., р. 196.

170

«Конечно, серьезная непоследовательность проявилась в том, что в Новое время все естественнонаучные и, очевидно, устаревшие взгляды Св. Фомы Аквинского старались использовать с педантичной тщательностью, в то время как отступились от него в таком важном спекулятивном вопросе, как вечность мира… Непоследовательность наблюдается также и в том, что в Познании [самого] Бога допускается актуальное бесконечное множество возможных вещей, сама возможность которого отрицается. Выходят здесь из положения тем, что говорят: не нужно переносить способ Божественного Познания на человеческое — совершенно верно, но не в этом дело: если актуальное бесконечное множество противоречиво в себе, то оно не может быть и в Уме Бога ничем иным, как абсурдом, чем то вроде четы реху голь нот круга» (нем.). — 85.

171

См.: Кантор Г. Труды… С. 264—268, 292. Заметим, что соответствующее математическое понятие не существует. — 85.

172

в Боге или творящем начале (лат.). — 85.

173

Весь этот кусок статьи П. А. Флоренского есть пересказ работы Г. Кантора «О различных точках зрения на актуально бесконечное» (Кантор Г. Труды… С. 262—268). — 86.

174

в конкретном (лат.). — 86.

175

в сотворенной природе (лат.). Кантор (Труды… С. 287) указывает, что он употребляет термины «natura naturaus» и «natura naturata» в том же значении, что и томисты, так что первый означает Бога как Творца созданных Им из ничего субстанций, стоящего вне их и сохраняющего их, второй же — сотворенный Им мир. — 86.

176

абстрактным образом (лат.). — 86.

177

в Боге (лат.). —87.

178

Эту классификацию всех мыслимых систем по их отношению к понятию бесконечности можно иллюстрировать различными схемами, среди которых наиболее удобной мне представляется такая:

Возьмем вписанный в окружность правильный шестиугольник со всеми его диагоналями. Пусть три диагонали, проходящие через центр, схематически обозначают те три направления в бытии, в которых бесконечность может быть утверждаема или отри- ь цаема. Диаметрально противоположные концы этих диагоналей пусть обозначают утверждение (+) бесконечности данном отношении (Dcus, Spiritus, Natura) или ее отрицание (-). Тогда всякий треугольник, вершинами которого служат какие‑нибудь три вершины шестиугольника, обозначенные буквами D, Ѕ, N с тем или другим знаком, схематически представит некоторую систему мировоззрения. Число всех систем равно числу треугольников; но часть последних уже a priori, до всякого исследования соответствующих систем может быть исключена. В самом деле, треугольники, имеющие стороною диаметр, изобразят системы, одновременно утверждающие и отрицающие бесконечность в одном и том же отношении.

179

Бог, Дух, Природа (лат.). —87.

180

Ориген (ок. 185 — ок. 254) — греческий богослов и философ, представитель доникейской патристики. — 87.

181

Кантор Г. Труды… С. 290. —87.

182

Августин Аврелий (354—430) — христианский богослов и мыслитель, один из отцов церкви. — 87.

183

конечный (лат.). — 88.

184

цель, предел, завершенность (греч.). — 88.

185

о пределах добра, о пределах совершенства (лат.). — 88.

186

Приводимые слова принадлежат не самому Оригену, а представляют собой изложение его идей, содержащееся в «Теологической сумме» Фомы Аквинского (Thomas Aquinas. Opera omnia. Editio nova. Parisiis: Yives, 1895. V. 1. P. 48). Приводим русский перевод по: Кантор Г. Труды… С. 416. «Всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы б; якая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуального множества невозможно даже по «совпадению»». — 88.

187

предвосхищение основания (лат.); логическая ошибка, заключающаяся в том, что в доказательстве в неявном виде используется доказуемое предложение. — 88.

188

Ср.: Кантор Г. Труды… С. 291. — 88.

189

созданная природа (лат.). —88.

190

См.: Кантор Г. Труды… С. 292. — 88.

191

Речь идет о «бесконечных числах» Фонтенеля, приведенных в его книге «Infini geometrique» (Paris, 1727). См.: Кантор Г. Труды… С. 408. — 80.

192

См.: кн. С. Н. Трубецкой. «Метафизика в Древней Греции», [М., 1890], стр. 190 и след.

193

Малые восприятия (лат.). Это понятие было введено в психологию Лейбницем, создавшим на его основе учение о бессознательном. Лейбниц рассматривал малые, или смутные, восприятия как психологический аналог бесконечно малых из анализа (см.: ИМИ-30. С. 169. Прим. 3). — 90.

194

См.: Гоголь Я. В. Собр. соч. Т. 5. М., 1978. С. 32. — 90.

195

Ликтор Викторович Бобынин (1849—1919)—русский историк математики. Здесь и далее имеются в виду его «Лекции истории математики. Донаучный период»//Физико–математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 9— 10. М., 1890—1893. — 90.

196

В ряде языков такие формы существуют. См.: Гумбольдт В. О двойственном числе//Гумбольдт В. Язык и философия культуры. М., 1985. С. 395 и Cassirer Е. The Philosophy of Symbolic Forms. V. I. Language. New Haven, 1980. Ch. 3. § 3. P. 237, 246. — 91.

197

Быт 22, 17. — 91.

198

См.: Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 25 (см. прим. 51). Современные взгляды на происхождение счета и чисел см.: Башмакова И. ГЮткевич А. П. Происхождение систем счисле- ния//Энциклопедия элементарной математики. Т. 1. М.; Л., 1951. С. 11—74; Menninger К. Zahlwort und Ziffer. Bd 1—2. Gottingen, 1957—1958. Философский анализ см.: Cassirer Е. Цит. соч. и Вейль Г О символизме в математике и математической логикt//Вейль Г. Математическое мышление. М., 1890. С. 55—69. — 91.

199

См. у Бобынина («‹І›из. — мат. науки», тт. IX, X; «Исследования по истории математики»).

200

Здесь опечатка, следует: Физико–математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 2. Отдел научных статей. № 3. 1887. С. 205. — 92.

201

Альсид ДОрбипьи (1802—1857)—французский путешественник и палеонтолог, исследователь Южной Америки. — 92.

202

Чикитосы умеют считать только до единицы (тома), имея для дальнейшего только отношения сравнения (франц.) {D’Orbigny А. L’homme americain. V. 2. Paris, 1839. P. 163). — 92.

203

Карл Фридрих Марциус (1798—1868) и Иоганн Баптист Спике — немецкие путешественники. См.: Martius К. Г., Spix J. В. Reise ill Brasitien. Munchen, 1823. Bd 1. S. 387. —92.

204

Генрих Лихтенштейн (1780—1857) —немецкий путешественник и зоолог. См.: Lichtenstein 11. Reisen in sudlichen Africa in den Jahren 1803, 1804, 1805 und 1806. Bd 2. 1812. S. 610. — 92.

205

Эдуар Тэйлор (1832—1917) —английский этнограф, автор «Первобытной культуры» (1871), глава «Искусство счисления» которой посвящена числам и счету. — 92.

206

что и требовалось доказать (лат.). — 93.

207

Вероятно, описка: вместо Фенелон следует читать Фонтенель. Франсуа Муаньо (1804—1884) —французский математик и теолог, последователь О. Коши. Упоминаемое доказательство содержится в его работе «Impossibility du nombre actuellement infini; la science dans ses rapports avec la foi». Paris: Gauthier Villars, 1884. См.: Муаньо Ф. О невозможности в действительности бесконечно большого числа. Древность человеческого рода. Наука в соотношении с верой//Коши О. Л. Семь лекций общей физики… СПб., 1872. С. 59—82. Гиацинт Зигмунд Гердиль (правильнее — Жердиль) (1718—1802)—философ, теолог. Речь идет о его работах: Gerdil С. S. Essai d’une demonstration mathematique contre I’existence cternelle de la matiere et du mouvement infini…//Opere edite et inedite. Rome, 1806. V. 4. P. 261; M<5moire de Pinfini absolu consid<5r£ dans la grandeur//ibid., 1807. V. 5. P. 1. — 93.

208

Степан Петрович Крашенинников (1711 —1755) — русский путешественник, исследователь Камчатки, автор известного труда «Описание земли Камчатки» (1756; современное издание: М.; Л., 1949). — 93.

209

Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 34 (см. прим. 51). — 93.

210

В. В. Бобынин. «Очерки истории развития физико–математических знаний η России». «Очерк третий» (Физико–математичес. науки в их наст, и прошл. Т. I. [Отд. I.] № 3. 1885, р. 227–229).

211

Древнеиндийским сборник законов и предписаний, следующих догматам брахманизма. См.: Законы Ману. М., 1960. — 95.

212

Здесь и гораздо подробнее ниже, в конце статьи, П. А. Флоренский касается вопроса о связи национального характера и типа мышления. Вопрос этот интересовал многих в XIX и в начале XX в., среди прочих в Германии — Ф. Клейна (см. его «Лекции о развитии математики в XIX столетии». М., 1889), О. Шпенглера и др.; в России — В. С. Соловьёва, Н. Я. Данилевского. — 95.

213

Хрисан ф. «Религии древнего мира» Т. I, стр. 415.

214

Имеется в виду «Псаммит» (от греч. yxx/iftos — песок) Архимеда. См.: Архимед. Соч. М., 1962. С. 358—367, 598—603. — 96.

215

Источник установить не удалось. — 96.

216

Тут сразу вспоминаются тысячерукие боги индуизма. — 96.

217

См. прим. П. А. Флоренского на с. 93 наст. тома. — 96.

218

См. прим. 16 к с. 74. — 96.

219

Учение о множествах, учение о многообразиях (нем.). — 96.

220

Мы не приводим в настоящей статье литературных указаний, т. к. это заняло бы слишком много места. Значительную часть литературы можно найти в Encyclopadie der Math. Wissenschaften (статья ЅсһӧпПісѕѕ’а: Mengenlchre). издаваемой Бургардтом, и в Bibliotheca Math., кажется, за 1897 г.

221

Schoenflies А. Mengenlehre//Encykiopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Bd 1. Th. 1. Leipzig, 1898—1904. Vivanti G. Lista bibliografica della teoiia degli aggregati 1893—1899//Biblioteca mathematica. Ser. 3. 1900. Bd 1. S. 160—165. —97.

222

множество, многообразие (нем.), множество (франц.). — 97.

223

Блез Паскаль (1623—1662)—французский математик, философ и писатель. См.: Pascal