«Толков, слов.», т. 4, стр. 67).

496

Покуда мы отвлекаемся от возможности потусторонних воздействий, рассматриваем путь только -человеческий, в кругу сил, имманентных действительному и возможному опыту. Возрастание же типов мыслимо именно при толчке извне, оттуда‚ и, следовательно, по существу дела, носит характер прерывный.

497

Для обозначения миросозерцания, в основе которого лежит идея прерывности Н. В. Бугаевым был введен термин «аритмология». В узком смысле этого слова аритмология — это теория прерывных функций, в широком смысле — идея прерывности, свойственная всему формирующемуся миросозерцанию, грядущему на смену аналитическим созерцаниям разного рода, в основе которых лежит идея непрерывности. См. также прим. 27 к с. 78. П. А. Флоренский полагал, что аналитическое миросозерцание не способно объяснить свободу, веру, чудо, подвиг, творчество, красоту, целеполагание. Все эти понятия — аритмологические. — 288.

498

Слышал от покойного на его лекциях-беседах. В печати этот термин появляется, кажется, впервые.

499

См. прим. 27 к с. 78. — 289.

500

Можно видеть и непосредственно, что порода ax более породы x2m (или вообще xb), как бы ни было велико m. В самом деле: разлагая ax по строке Маклорена, имеем:

ax=1+lalx+l2a2lx2+l3a3lx2+l2a3lx3+l4a4lx4+…+l2ma2mlx2m+…+l2m+na(2m+n)lx2m+n+…+ и т.д.,

где la есть натуральный логарифм от а, а l2a ‚ l3a … и т. д. — степени его. Отсюда следует, что написанный ряд состоит из бесконечного агрегата функций, подобных y3, но с тою только разницею, что при степенях x есть некоторые коэффициенты, и что степени X идут все возрастая. Поэтому, как бы ни было велико 2m — показатель степени итерированной m раз функции степенной x2, всегда можно найти в написанном агрегате степеней такой член, у которого показатель степени (2m+n) больше, нежели 2m. Отсюда следует, что, как бы ни был велик порядок великости x2m, всегда в числе слагаемых (элементов) ax найдутся такие, порядок которых еще больше, т. е. тип возрастания axпревосходит тип всякой функции x2 и, следовательно, ax является функцией с бесконечностью высшей породы, трансцендентной для бесконечности функции x2.

501

Вл. Даль. «Пословицы русского народа». Изд. третье. 1904, СПБ и М. Т. 5, стр. 21-31

502

См. прим. 127 к с. 124. — 291.

503

Считаем неуместным приводить здесь математическую литературу по данному вопросу, т. к. это заняло бы без нужды слишком много места. Указания по ней можно найти у Шснфлисса в Encyklopadie der mathematischcn Wissenschaftcn, редактируемой Мейером, Буркгардтом и др. (см. II Лііз, I А5п и др.). Особенно, см. Mathemat. Лппаіеп, 8 (1875), р. 363 и 11 (1877), р. 149, где помещены статьи дю Буа Реймон а. Суммарное изложение у Б о ре л я (Ьсҫопѕ sur la thdorie dcs fonctions, pp. 111–122). Маленькая заметка на ту же тему помещена Борелем в Revue philosophique, XL ѴШ, 1899, pp. 383–390. (A propos de Г«іпГілі nouveau».) См. также: Ε. Borel, Ьеҫопѕ sur lcs sdncs a tcrmes positifs. Читатель, знакомый с литературой предмета, заметит, что мы несколько расширяем понятие о типе и, вместе с тем, смысл дю–буа–реймоновской теоремы; в то же время упрощается ход доказательства.

504

Например: сложение — вычитанием, умножение — делением, потенцирование (возведение в степень) — радицированием (извлечением корня) и т. п.

505

Метод, широко использованный в современной основополо- жительной математике, например в теории групп, в теории функций, в теории чисел и т. д.

506

По недостатку места на черт. 1 изображен только кусок оси О У. Начало координат О не поместилось в пределах чертежа, равно как и точки а и b.

507

Читатель, конечно, заметит и поставит на вид странное, как будто, упущение: в статье говорится о духовном развитии, о святости, о совершенствовании и, вместе с тем, как будто нарочно замалчивается та область, где эти понятия играют первенствующую роль, — Библия и свято–отеческие писания. Объяснимся. Две причины не позволили воспользоваться тут этим материалом, расстилающимся пред работником мысли как целина, не познавшая еще плуга отвлеченной обработки. Во–первых, этот материал слишком обширен, чтобы его вместили размеры статьи, и слишком ценен, чтобы можно было небрежно вырвать из него две–три данные. Во–вторых, и главным образом, в указанных источниках типы возрастания рассматриваются динамически, в возникновении их, и рассмотрение их связывается с ниспосылаемой благодатью; мы же, в настоящей статье, имеем дело со статикой типов, с данными в наличной действительности неравенствами типов и рассматриваем самые типы и их неравенства, но не причину того и другого. Отсюда делается понятным, что библейские и святоотеческие свидетельства наиболее уместно будет разобрать при изучении динамики разбираемых нами типов, т. е. в статье «О возрастании типов». Кроме того, Библия и святые отцы большею частью предполагали готовые религиозные идеи, догматически идя от Бога к человеку. Цель же наших статей — пропедевтическая, и потому ход мысли критический — от человека к Богу. Это еще раз показывает, что сейчас было бы неудобно пользоваться названными свидетельствами.

508

Мф 5, 6. Эти слова включены в Литургию: их поет хор во время Малого входа. — 300.

509

Флоренский резко отрицательно относился к распространившимся в России оккультически-магическим движениям, литературу которых, как писал он, «едва ли у кого будет охота перечитывать» (Флоренский П. А. Отзыв о канд. соч. студента LXVI курса МДА М. Семенова «Типы современных оккультических движений в России»//Богословский вестник. 1912. Т. I. № 3. С. 326). «Большинство исследователей не отдает себе отчета, что оккультическая мистика вовсе не есть только учение, а есть прежде всего деяние, действо, практика; теория же вырастает уже на почве практики. Вот почему, будучи слабой и ничтожной в своем учении, этого рода мистика заразительна, сильна и опасна как непосредственное переживание» (Там же. С. 327). Магия — понятие многозначное у Флоренского: в это понятие он вкладывал смысл, отличный от общепринятого. Магическим будет «всякое воздействие воли на органы тела»; «…граница тела может суживаться, почти до исключения из тела большей части его объема, а может и расширяться неопределенно далеко. Магия, в этом отношении, могла бы быть определенной как искусство смещать границу тела против обычного ее места» (Флоренский П. Л. Органопроекция//Декоративное искусство СССР. 1969. N° 12. С. 40). В таком предельно широком понимании элементы магии, как орудия воздействия, есть во всякой деятельности человека: сакральной (имена), мировоззренческой (термины, понятия), хозяйственной (орудия техники), художественной (звуковые и зрительные образования). — 301.

510

Это предположение чисто–формальное, для пояснения мысли; реального же смысла пока мы не можем видеть в нем.

511

Поясним это аналогией биологического развития. «Роды» и «виды» в биологии несколько напоминают породы и порядки бесконечностей в математике. Особи разных «родов» или разных «видов» в своем онтогенез и се (развитие особи) повторяют фазы филогенезиса (развитие рода) и потому до известного момента своей утробной жизни оказываются неразличными; пути их развития до поры до времени идут вместе. Только впоследствии они расходятся между собою все более и более, устремляясь к совершенно различным целям, подобно кривым ψ1, ψ2, ψ3, …, ψn и т. д. (§ III), причем одни пути идут совместно на более долгом протяжении, другие — на менее долгом. Но мало того; в то время как месячный котенок живет уже более или менее самостоятельною жизнью, параллельно ему развивавшийся ребенок все еще остается не родившимся куском мяса. Λ когда ребенок родился и беспомощно и безмысленно копошится в пеленках, котенок готов уже превратиться в кошку. Но проходят годы, и выросший ребенок превращается в организм, неизмеримо превосходящий кошку.

512

Данного места у Гейне найти не удалось. — 302.

513

Томас Карлейль (1795—1881) — английский философ и писа-тель. — 303.

514

Исторические и критические опыты Томаса Карлейля. Пер. с англ. Μ. 1878; стр. 348. Из статьи *Р о б е ρ τ Берне».

515

Случай после посещения папской капеллы. [См. Карпентера «Физиология ума».].

516

Приводимая здесь первоначальная редакция стихотворения М. Ю. Лермонтова вписана им 4 сентября 1839 г. в альбом М. А. Бартеневой (Лермонтов М. Ю. Собр. соч. Т. I. М., 1964. С. 575). — 304.

517

Строфа из стихотворения В. Я. Брюсова «Одиночество» (1903). Брюсов Валерий. Urbi et Orbi. Стихи 1900—1903 гг. Μ., 1903. С. 93.— 305.

518

Из стихотворения А. Белого «Образ вечности», посвященного Бетховену. Впервые опубликовано в альманахе «Гриф» (М., 1903). Включено в сборник «Золото в Лазури» (М., 1904).

В жизни загубленной образ возлюбленной —

Вечности, с ясной улыбкой на милых устах.

(Андрей Белый. Стихотворения и поэмы. М.; Л., 1966. С. 83). — 305.

519

Из стихотворения А. А. Фета «Сегодня день твой просветленья», написанного 19 июня 1887 г. См.: Фет А. А. Вечерние огни. М., 1971. С. 290. — 305.

520

Из стихотворения Л. Блока «Брожу в стенах монастыря…» от 11 июня 1902 г. См.: Блок А. Собр. соч. в восьми томах. Т. 1. М.; Л., 1960. С. 198. — 305.

521

Мф 6, 27. — 305.

522

«Слова разочарованного. — Я искал великих людей и всегда находил только обезьян их идеала» (Ницше, Помрачение кумиров, Афоризмы и стрелы, 39).

523

До сих пор, в рассуждениях об исследуемой функции, мы отвлекались от наличности в ней «произвольного параметра», волевого напряжения — точнее, предполагали его определившимся и постоянным, достигшим своего максимума. Принимая во внимание и его, мы должны сказать, что изменение волевого параметра деформирует траекторию, как бы заставляя время сжиматься или растягиваться, течь быстрее или медленнее. Но, как ни меняйся параметр, типы возрастания соответствующего семейства всегда имеют типы трансцендентные для себя. Это видно из доказанной теоремы (хотя группа линий семейства имеет мощность бӧльшую, чем счетовая), т. к. волевое усилие изменяет тип всегда в одном смысле.

524

Мф 11. 11. — 306.

525

«Честнейшая херувим и славнейшая без сравнения серафим» — так названа Богородица на Литургии св. Иоанна Златоуста. См.: Георгиевский А. И. Чинопоследование Божественной Литургии. М., 1951. С. 111. — 306.

526

Франциск Ассизский (ок. 1181 —1226) —святой римско-католиче-ской церкви. Π реп. Серафим Саровский (1760—1833)—святой русской православной церкви. IIреп. Амвросий Оптинский (1812—1891) — святой русской православной церкви. — 307

527

См. «Историческое описание Козельской Оптиной Пустыни и Предтечева Скита». Вновь составленное Е(растом) В(ытропским) издание Оптиной Пустыни. Серг. Лавра, 1902, стр. 119.

528

Историческое описание Козельской Оптиной Пустыни и Предте-чева Скита (Калужской губернии). Вновь составленное Е(растом) В(ыторпским). Изд. Оптиной Пустыни. Св.-Троицк. Сергиева Лавра. 1902. С. 119. — 307.

529

Жизнеописание Иеромонаха Серафима, написанное Иером. Иоасафом (не знаю точного заглавия, т. к. первый лист выдран), изд. 2–ое, стр. 66–67. Особенно интересно тем, что рассказы живые и не подвергнуты обычной житийной дистилляции.

530

Ср.: Сказания о жизни старца Божия Иеромонаха Серафима пустынника и затворника Саровской обители. Составлены схиигуменом Серафимом (о. Иосаф Тихонов), бывшим настоятелем Павло-Обнорского монастыря Вологодской епархии. Изд. 4. СПб.: Изд. Сераф.-Понет. женского монастыря. 1885. С. 55—56 (2-е изд. этой книги найти не удалось). — 307.

531

В. Розанов. «Около церковных стен», 1906 г., т. И, стр. 121-123 и след. См. также в «Нов. Вр.»

532

Имеется в виду статья В. В. Розанова «Из житейских и литературных мел о чей»//Ново е время. 1903. 21 и 22 января.