и общиалогических категорий. Это усмотрение основополагающего логического характера числа само собой ведет к уяснению несостоятельности всех теорий числа, для которых число есть некоторый частный объект знания, некоторая конкретная реальность. Усматривается ли эта реальность в самих вещах «внешнего мира», т. е. понимается ли число, как реальное качество или свойство, познаваемое из опыта (как это имеет место у Милля), или эта реальность переносится в область «психического» и число признается результатом некоторых особенностей психического процесса мышления, — все такого рода эмпиристические и психологистические теории идут вразрез с подлинной логической или категориальной природой числа, в силу которой все мыслимое ео ipso подчинено уже числу; таким образом, отыскание числа в какой?либо частной области конкретного бытия необходимо содержит ложный круг. Принципиальное опровержение такого рода теорий в связи с уяснением природы числа как идеального начала составляет заслугу замечательной книги Фреге об основаниях арифметики[161].· Число не может быть опытно воспринимаемым свойством вещей, ибо оно относится ко всему мыслимому без исключения и независимо от всякого восприятия. На этом же основании оно не может быть и свойством психического процесса; и все попытки психологического выведения числа уже предполагают его и в конечном итоге сводятся к высмеянному Расселом типу определения: «число 10 есть результат десяти актов внимания».[162] Однако именно это усмотрение основополагающего логического характера числа, показавшее несостоятельность наивных эмпиристических и психологических теорий числа, приводит к весьма существенной трудности при построении положительной теории числа. Если уяснить себе до конца, что число есть некоторая первичная категория, с самого начала присутствующая во всяком содержании знания, что, например, уже момент общего предполагает единство и множественность (как это было ясно уже Платону), или что уже в различии одного понятия от другого — различии, без которого не может, по–видимому, обойтись ни одна мысль — уже молчаливо присутствуют понятия «одного» и «двух», то возникает вопрос: как вообще возможна теория числа, которая не заключала бы в себе круга?

И действительно, самые выдающиеся и ценные своей логической чистотой теории числа не избегли опасности такого круга. Мы имеем здесь прежде всего тип теории, впервые выставленный Фреге и в существенных чертах воспроизведенный Расселом и Кутюра. Этот тип теории исходит из мысли, что основой числа является понятие «совокупности» или «класса», и выводит числовые понятия из отношений между членами классов. У Рассела и Кутюра теория эта стоит в связи с современным «учением о множествах» (Mengenlehre), основанным Георгом Кантором. Ценность учения о множествах для общей теории числа в настоящее время, конечно, не подлежит сомнению: она содержит плодотворное расширение математического горизонта и показывает, что ряд конечных чисел есть только частный случай «хорошо упорядоченного множества» вообще. Казалось бы, здесь открывается возможность выведения понятия числа: ибо если «множество вообще» предшествует конечному числу, то последнее может быть выведено из него с помощью некоторых дополнительных понятий («порядка», «однозначного приурочения» и т. п.). Здесь, однако, обнаруживается коренное различие между математической и чисто логической или философской теорией числа: то, что вполне законно с чисто математической точки зрения, т. е. для развития систематического соотношения между разными числовыми формами, оказывается логически–порочным, если брать его как философскую теорию числа, т. е. как логическое выведение понятия числа. Математик, подобно всякому исследователю частной сферы, сосредоточивается лишь на понятиях, образующих частный предмет его исследования, и не обращает внимания на общие логические предпосылки, лежащие в основе всяких понятий вообще. Поэтому, чисто математически можно справедливо сказать, что, например, расселево определение единицы, как «класса классов, не равных нулю и таких, что, еслих есть и и у есть и, тол: тождественно с у, каковы бы ни были значениях иу», не опирается на понятие «двух», и тем самым на предполагаемое им понятие одного, ибо эти понятия действительно не заключены в содержании данного суждения. Тем не менее столь же бесспорна та простая мысль, что нельзя говорить об ? иу, не предполагая уже логического понятия «двух», ибо это понятие использовано нами, заключено в логической форме суждения об л; и у. И соответствующая критика рассматриваемой теории у Наторпа и Пуанкаре [163] неопровержима. Вообще говоря: если общее понятие «множества» по своему содержанию логически предшествует понятию числа, то, t другой стороны, в качестве родового понятия, т. е. единства системы понятий вообще, оно уже неизбежно является определенным множеством и тем самым предполагает число. Не только старая, «аристотелевская» логика, но и новейшая логистика уже опирается в этом смысле на арифметические категории и потому бессильна их обосновать.

Мы не останавливаемся на второй известной математической теории числа — на теории Дедекинда[164] — потому, что она занимает промежуточное место между теориями фрегевского типа и теорией, выводящей число из идеи порядка или отношения, и более вразумительно и философски ясно выраженной в учении о числе, развитом Г. Ф. Липпсом и Наторпом[165]. Рассмотрим ее в превосходном изложении Наторпа, в котором эта теория высказана с наибольшей зрелостью и продуманностью.

2. Число, в качестве категории, вытекающей из чистого мышления, опирается на основное свойство мышления, рассматриваемого с его логической стороны·. на полагание связи (Setzen von Beziehung); связь эта («синтетическое единство» Канта) есть единство моментов обособления и объединения, и потому есть связь двух раздельных терминов, причем термины не даны вне самой связи, а именно ею и полагаются; термины эти логически различаются между собой, как логически предшествующий и последующий члены. Оба члена, с одной стороны, разделены и исключают друг друга, и, с другой стороны, приурочены друг к другу и в этом смысле совместно образуют единство, т. е. в новой связи могут играть совместно роль одного члена, чем дано понятие нового, второго «одного»; и точно так же противочлен первой связи может в иной связи играть роль первого члена. Мы получаем, таким образом, незамкнутый ряд, в котором каждый элемент может в отношении последующего быть первым членом, и в отношении предыдущего — противочленом, и точно так же быть частью объемлющего единства (из двух или более терминов) и, следовательно, с другой стороны — единством частей. В этом уже даны необходимые предпосылки для порядкового и количественного числа: последовательное отношение члена кпротивочлену дает ряд «первый, второй, третий..», тогда как в отношении самой связи каждый из членов есть «один» и часть объемлющего единства («двух», «трех» и т. д.).[166]

Это понимание числа с замечательной последовательностью и логическим изяществом применяется Наторпом для всех основных числовых понятий современной математики. Эти детальные проблемы философии арифметики нас не касаются; мы должны только коснуться представленного Наторпом объяснения сложения, так как оно существенно дополняет его теорию. Логически ряд чисел определен порядком их связи так, что каждое число есть логический уникум, и что ряд 1,2,3,4… остаетсяединственным. Но что значит в таком случае 1 + 1=2? Откуда здесь берется вторая единица, если каждое число как таковое существует лишь в единственном числе? Или как мы можем мыслить 3 + 2, если 3 в ряде чисел следует за 2 и мы обязаны после 3 мыслить только 4? Ответ Наторпа опирается на уяснение природы числа как отношения. 1 есть 1 в отношении предшествующего ему нуля; но это же полагание, в качестве исходной точки для своего последующего, есть О в отношении к 1. Поэтому 1 + 1 означает собственно

О 1

о 1,

а равенство 1+1 = 2 равнозначно пропорции 1 +1 = = 0 + 2, т. е. суждению·, «переход от 0 к 1 и затем от этой единицы, рассматриваемой, как 0, к новой единице эквивалентен переходу от 0 к 2». Точно так же 3 + 2 = 5 означает: если то, что в первом счете стояло на третьем месте, в новом счете будет принято за исходную точку (= О) и от него отсчитано 2, то итог последнего счета будет эквивалентен простому счету от О до 5.[167]

В какой мере эта теория удовлетворительно разрешает свою задачу? Что обоснование числа на понятии ряда, проистекающего из логической природы мысли как отношения, т. е. как единства раздельности и связности, заключает в себе верную и глубокую мысль, — в этом вряд ли можно сомневаться. Логика «марбургской школы» имеет в теории числа то явственное преимущество перед обычной логикой, что она не исходит, как из первоначально–данного элемента, из понятия, а пытается усмотреть корни понятия в суждении, как в «порождении» или двуединстве разделения и объединения. Этим, казалось бы, дана гарантия, что число не будет с самого начала контрабандно внесено в ход рассуждения вместе с готовым элементом «понятия», а, наоборот, основные категории математики и логики будут развиты одновременно. И тем не менее фактически Наторпу не удалось избежать того же рокового круга, который мы (и сам Наторп) усмотрели в иных теориях числа, опирающихся на готовые логические понятия. Ближайшим образом этот круг бросается в глаза в приведенной теории сложения. То, что в одном счете есть единица, в другом, новом счете есть опять 0. В новом счете, очевидно, значит: во втором счете. Но откуда взялся этот второй счет? Ссылка на психологическую возможность повторения счета, очевидно, недопустима, ибо в понятии «повторения» число 2 же допущено. Наторп ссылается на объективное основание — на относительность числа.· то, что в качестве противочлена в отношении своего исходного числа есть единица, в то же время в качестве исходного члена есть ноль. Но если так, то мы никогда не можем дойти до 2 и будем иметь только вечный переход от 0 к 1 и вечное превращение этой единицы обратно в 0. Если нам возразят, что в одном отношении единица обращается в 0, оставаясь в другом отношении единицей, в силу чего следующий член в одном отношении есть опять единица, а в другом — 2, то мы опять поставим вопрос: откуда берутся эти два отношения? Или это понятие «двух отношений» (которое на следующей ступени должно быть, очевидно, заменено уже «тремя» и далее 4, 5… отношениями) таково, что оно предполагает уже числа 2,3 и т. д., т. е. числовой ряд, и в таком случае мы имеем явный порочный круг, или же оно не предполагает числа, и тогда как и в какой форме его следует мыслить? При дальнейшем анализе тот же порочный круг — или та же невыявленность возможности его избегнуть — должны быть признаны и в исходной точке исследования. В основу теории числа кладется понятие связи, которое необходимо требует двух терминов. Не предвосхищено ли уже в лице этой двоицы число? Мы, конечно, хорошо понимаем, что с таким обвинением надо быть