к квадратным уравнениям, и почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают. — Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью, составляющему определение второго арифметического действия, однако они выходят за пределы «одного» как непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как опосредствование; количественное » отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как существование, есть важное условие философствования о реальных предметах, необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале — в числе, есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в соответствии с ними или выражения ими мыслей. — С педагогической точки зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений — деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные отношения сущности. — В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу, видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число предстало перед нами как абсолютная определенность количества, а его стихия — как различие, ставшее безразличным;. оно оказалось определенностью в себе, которая в то же время положена лишь совершенно внешне. Арифметика — аналитическая наука, так как все относящиеся к ее предмету связи и различия не находятся в нем самом, а навязаны ему совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы внутренние отношения, которые первоначально скрыты для знания, не даны в непосредственном представлении о нем, ;i должны быть выявлены лишь усилиями познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи, для постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его противоположность. Из-за безразличия приведенного в связь к самой этой связи, которой недостает необходимости, мышление занимает здесь деятельность, которая есть в то же время самое крайнее отчуждение (Entausserung) от самого себя, занимается насильственной деятельностью, оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно быть необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна» мысль о самой внешности (Ausserlichkeit).
Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время абстракция от чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только абстрактное определение внешности; благодаря этому в числе чувственное ближе всего подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности, может поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы видим в истории науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее берется как обремененное чувственным. Древние [мыслители] явно сознавали, что число находится посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю («Метафизика», I, 5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей — тем, что они суть нечто .множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна с собой и внутренне едина. — Более подробное, основательно продуманное рассуждение об этом Модерата из Кадиса » приводится в Malchi vita Pythagorae ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то, что пифагорейцам пришла в голову мысль обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии ясно постигнуть разумом основные идеи и первые принципы, потому что трудно мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа хорошо служат для обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые, не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а лишь представляли себе с его помощью мысль о треугольнике. Так, например, пифагорейцы выразили как единицу (Eins) мысль о единстве, тождественности и равенстве, а также основание согласия, связи и сохранения всего, основание тождественного с самим собой и т. д. — Излишне заметить, что пифагорейцы перешли от выражения в числах и к выражению в мыслях, к определенно названным категориям равного и неравного, границы и бесконечности; уже относительно указанного выше выражения в числах сообщается (там же, в примечаниях к стр. 31 цитированного издания, взятых из «Leben des Pythagoras» bei Photius, p. 722), что пифагорейцы проводили различие между монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу — за число; и точно так же число два они принимали за арифметическое выражение, а диаду (ибо таково, видимо, то название, которое оно у них носит) — за мысль о неопределенном. — Эти древние, во-первых, очень ясно видели неудовлетворительность числовой формы для выражения определении мысли, и столь же правильно они, далее, требовали найти подлинное выражение для мысли вместо первого выражения, принятого за неимением лучшего; насколько опередили они в своих размышлениях тех, кто в наше время снова считает чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену определений мысли самими числами и числовыми определениями, как, например, степенями, а затем — бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность, и прочими подобного рода определениями 87, которые сами часто представляют собой превратный математический формализм, — считает основательным и глубоким возвращение к упомянутому беспомощному детству.
Что касается приведенного выше выражения, что число занимает промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея в то же время то общее с первым, что оно по своей природе (an ihr) «многое», внеположное, то следует заметить, что само это «многое», принимаемое в мысль чувственное, есть принадлежащая мысли категория внешнего в самом себе. Дальнейшие, конкретные, истинные мысли — наиболее живое, наиболее подвижное, понятое только как находящееся в соотнесении — превращаются в мертвенные, неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию вовне-себя-бытия. Чем богаче определенностью и, стало быть, соотношением становятся мысли, тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой — более произвольным и лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа. Единица, два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис еще близки к совершенно простым абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить к [изображению ] конкретных отношений, тогда тщетно стремление сохранить их еще близкими к понятию.
Когда же для [характеристики] движения понятия (только благодаря этому движению оно и есть понятие) обозначают определения мысли через одно, два, три, четыре, этим предъявляется к мышлению самое жестокое требование. Мышление движется тоща в стихии своей противоположности, отсутствия соотношений. Его дело становится тогда работой безумия. Постигнуть, например, что одно есть три, а три — одно, потому так трудно, что одно лишено соотношений и, следовательно, не обнаруживает в самом себе того определения, посредством которого оно переходит в свою противоположность, а, напротив, состоит именно в полном исключении такого рода соотношения и отказе от него. Рассудок, наоборот, пользуется этим против спекулятивной истины (например, против истины учения, называемого учением о триединстве) и перечисляет те ее определения, которые составляют одно единство, чтобы представить ее как явную бессмыслицу, т. е. он сам впадает в бессмыслицу, превращая в лишенное соотношений то, что всецело есть соотношение. Слово «триединство» (Dreieinigkeit) употребляется, конечно, не в расчете на то, что рассудок будет рассматривать единицу и число как сущностную определенность содержания. Это слово выражает собой презрение к рассудку, который в своем тщеславии, однако, упорно держится единицы и числа, как такового, и выставляет это тщеславие как оружие против разума.
Принимать числа, геометрические фигуры просто за символы, как это часто проделывали с кругом, треугольником и т. д. (круг, например, принимался за символ вечности, треугольник — за символ триединства), есть с одной стороны, нечто совершенно невинное; но нелепо, с другой стороны предполагать, что этим выражают нечто большее, чем то, что мысль способна постигнуть и выразить. Если в таких символах, как и в других, создаваемых фантазией в народной мифологии и вообще в поэзии, в сравнении с которыми чуждые фантазии геометрические фигуры к тому же убоги, — если в этих символах — глубокая мудрость, глубокое значение, то как раз задача одного лишь мышления сделать явной мудрость, которая в них лишь сокрыта (darin liegt), и не только в символах, но и в природе и в духе. В символах истина из-за чувственного элемента еще помутнена и прикрыта; она полностью обнаруживается сознанию только в форме мысли; [их ] значением служит
