прекратилось действие силы тяжести, то тело со скоростью, достигнутой им в конце своего падения, прошло бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее пройденного. — В этом положении заключается также и сама по себе превратная метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был частью времени, то наступил бы покой, и, следовательно, не было бы никакой скорости; скорость может быть измерена лишь по пространству, пройденному в некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, в действии света (помимо того, что называют его распространением в пространстве) и в определениях величин у цветов, применяют дифференциальное исчисление, и первая [производная] функция некоторой квадратной функции здесь
также именуется скоростью, то это следует рассматривать как еще более неуместный формализм выдумывания существования.
Движение, изображаемое уравнением s = at2, говорит Лагранж, мы находим при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением которого было бы s=ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы не знали бы, что мог бы означать собой коэффициент с. Если это верно, то, напротив, имеется движение, уравнение которого — s3 ° at2 — кеплеровский закон движения тел Солнечной системы. И выяснение того, что здесь должна означать первая производная функция -у и т. д., а также дальнейшая непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования, открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске.
Само по себе взятое таким образом применение дифференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления. Но иное значение приобретает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит более высокие степени, то требуются переходы от прямолинейных функций как функций возведения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени с элиминированием времени, то этот фактор должен быть также низведен к тем низшим функциям, которые получаются в результате разложения в ряд и из которых можно выводить указанные уравнения линейных определений. Эта сторона возбуждает интерес к другой части дифференциального исчисления.
Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и показать это определение на некоторых элементарных примерах. Это определение, как оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят коэффициент члена разложения, так называемую первую [производную] функцию, и что отношение, которое она есть, обнаруживают в моментах конкретного предмета, и посредством полученного таким образом уравнения между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Следует немного рассмотреть и принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его применения для специфического конкретного определения этого исчисления. Понимание последнего было нами упрощено и определено более правильно уже тем, что мы его больше не принимаем за метод суммирования, как его назвали в противоположность дифференцированию (в котором приращение считается сущностной составной частью), вследствие чего интегрирование представлялось находящимся в сущностной связи с формой ряда. — Задача этого исчисления прежде всего такая же теоретическая или, скорее, формальная задача, как и задача дифференциального исчисления, но, как известно, обратная последней. Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого, пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которую в естественном порядке разложения в ряд следует считать первоначальной, здесь производная, а рассматривавшаяся ранее как производная есть здесь данная или вообще начальная. Но формальная сторона этого действия представляется уже выполненной дифференциальным исчислением, так как в последнем установлены вообще переход и отношение первоначальной функции к функции, получающейся в результате разложения в ряд. Если при этом отчасти уже для того, чтобы взяться за ту функцию, из которой следует исходить, отчасти же для того, чтобы осуществить переход от нее к первоначальной функции, оказывается необходимым во многих случаях прибегнуть к форме ряда, то следует прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет непосредственно ничего общего с собственным принципом интегрирования.
Но другой частью задачи этого исчисления оказывается с точки зрения формальной стороны действия его применение. А последнее само есть задача узнать, какое предметное значение в указанном выше смысле имеет первоначальная функция, [которую мы находим по] данной функции, рассматриваемой как первая [производная] функция отдельного предмета. Могло бы казаться, что это учение, взятое само по себе, нашло свое полное применение уже в дифференциальном исчислении. Однако здесь возникает еще одно обстоятельство, осложняющее все дело. А именно, так как в этом исчислении оказывается, что благодаря первой [производной] функции уравнения кривой получилось некоторое линейное отношение, то тем самым мы также знаем, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в виде отношения абсциссы и ординаты; другими словами, если бы было дано уравнение для поверхности, образуемой кривой, то дифференциальное исчисление должно было бы уже научить нас относительно значения первой [производной] функции такого уравнения, что эта функция представляет ординату как функцию абсциссы, стало быть, представляет уравнение кривой.
Но все дело здесь в том, какой из моментов определения предмета дан в самом уравнении; ведь лишь из данного может исходить аналитическое исследование, чтобы переходить от него к прочим определениям предмета. Дано, например, не уравнение поверхности, образуемой кривой, и не уравнение тела, возникающего посредством ее вращения, а также не уравнение некоторой дуги этой кривой, а лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой. Переходы от указанных определений к самому этому уравнению нельзя уже поэтому исследовать в самом дифференциальном исчислении; нахождение таких отношений есть дело интегрального исчисления.
Далее, однако, было показано, что дифференцирование уравнения с несколькими переменными величинами дает степенной член разложения (die Entwicklungspotenz) или дифференциальный коэффициент не как уравнение, а только как отношение; задача состоит затем в том, чтобы в моментах предмета указать для этого отношения, которое есть производная функция, другое, равное ему. Предмет же интегрального исчисления — само отношение первоначальной к производной функции, которая должна быть здесь данной, и задача состоит в том, чтобы указать значение искомой первоначальной функции в предмете данной первой [производной] функции или, вернее, так как это значение, например поверхность, образуемая кривой, или подлежащая выпрямлению кривая, представляемая в виде прямой, и т. д., уже .выражено как задача, то требуется показать, что подобного рода определение можно найти посредством некоторой первоначальной функции, и показать, каков момент предмета, который для этой цели должен быть принят за исходную (производную) функцию.
Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности, облегчает себе задачу. Для квадратуры кривых линий он принимает бесконечно малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент (т. е. на бесконечно малую часть) ^абсциссы, за трапецию, имеющую одной своей стороной бесконечно малую дугу, противоположную указанной бесконечно малой части абсциссы. Произведение это интегрируется в том смысле, что интеграл дает сумму бесконечно многих трапеций, ту плоскость, которую требуется определить, а именно конечную величину указанного элемента плоскости. И точно так же обычный метод образует из бесконечно малой части дуги и соответствующих ей ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых, интегрирование которых и дает конечную дугу.
Этот прием опирается на то общее открытие, которое служит основой этой области анализа и которое принимает здесь форму положения, что приведенная к квадрату кривая, выпрямленная дуга и т. д. находится к известной (данной уравнением кривой) функции в отношении так называемой первоначальной функции к производной. Здесь дело идет о том, чтобы в случае, если какая-то часть математического предмета (например, некоторой кривой) принимается за производную функцию, узнать, какая другая его часть выражена соответствующей первоначальной функцией. Мы знаем, что если данная уравнением кривой функция ординаты, принимается за производную функцию, то соответствующая ей первоначальная функция есть выражение величины образуемой кривой поверхности, отрезанной этой ординатой, что если то или иное определение касательной рассматривается как производная функция, то ее первоначальная функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д. Однако заботу о том, чтобы узнать и доказать, что эти отношения, отношение первоначальной функции к производной и отношение величин двух частей или двух сторон (Umstande) математического предмета, образуют пропорцию, заботу об этом снимает с себя метод, пользующийся бесконечно малым и механически оперирующий им. Характерная для остроумия заслуга — на основании результатов, уже заранее известных из других источников, открывать, что некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в отношении первоначальной и производной функции.
Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше, функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как не дано само по себе, какую часть или какое определение математического предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к первоначальной функции, найти другую часть или другое определение [предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод, сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как, [например], для выпрямления кривой — бесконечно малые абсциссы и ординаты), принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов, из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
