что интегральное исчисление это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения, приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма приращения с плюсом и минусом, и бодрое «developpons» [«развернем в ряд»] снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении отношений геометрических предметов, основное определение — это положение о том, что определенным количеством как определенным количеством таких определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения, пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно, качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно, в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как, например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи, и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи, которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, — это величие следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции к так называемой производной функции и тех частей математического целого, которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов и т. д. — точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда, ближайший общий с формой ряда интерес — определить те разлагаемые функции, которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности, вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции (функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то, о чем идет речь.
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить, что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного различия между собой. Но в применении к пространственным предметам аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных — к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, — плоскость, значит, как множество линий, линия — как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д., чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует вывести функцию и уравнение для конкретного — для непрерывной величины. Для решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом, требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того, как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. — Если для таких дискретных
