одно, как единица.

Непрерывная и дискретная величины могут считаться видами количества, но лишь постольку, поскольку величина положена не под каким-либо внешним определением, а под определениями ее собственных моментов; обычный переход от рода к виду вводит в первый по каким-либо внешним для него основаниям разделения внешние определения. Притом непрерывная и дискретная величины еще не суть определенное количество; они суть лишь количество, как таковое, в каждой из его обеих форм. Они называются величинами лишь постольку, поскольку им вообще обще с количеством свойство иметь в нем определенность.

С. Ограничение количества

Дискретная величина имеет, во-первых, принципом одно, во-вторых, есть множество одних, в третьих же она по существу непрерывна, есть одно вместе, как снятое, как единица, продолжение себя самого, как такового, при дискретности одного. Поэтому она положена, как одна величина, и ее определенность есть одно, которое есть одно, исключающее в этом положении и существовании, есть граница единицы. Дискретная величина, как таковая, непосредственно не должна быть ограничена; но как отличная от непрерывной, она есть некоторое существование и нечто, определение которого есть одно, и, как некоторое существование, первое отрицание и граница.

Эта граница кроме того, что она относится к единице и есть в ней отрицание, как одно, относится также к себе; она есть объемлющая, охватывающая граница. Граница отличается здесь прежде всего не от «нечто» своего существования, но, как одно, она есть непосредственно сам этот отрицательный пункт. Но бытие, которое здесь ограничено, есть существенно непрерывность, вследствие которой оно переходит за границу и за это одно и безразлично к ним. Таким образом реальное дискретное количество есть некоторое количество или определенное количество, количество, как существование и нечто.

Так как количество, будучи границею, включает в себе многие одни дискретного количества, то оно также полагает их, как снятые в нем; оно есть граница непрерывности вообще, как таковой, и потому здесь различие непрерывной и дискретной величины безразлично, или, правильнее, оно есть граница непрерывности как той, так и другой; обе переходят за нее, чтобы стать определенным количеством.

Вторая глава

ОПРЕДЕЛЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО (QUANTUM)

Определенное количество, прежде всего с некоторым определением или границею вообще — есть в своей полной определенности число. Определенное количество разделяется далее, во-вторых, прежде всего на экстенсивное, в котором граница есть ограничение существующего множества, затем поскольку это существование переходит в бытие для себя, — на интенсивное определенное количество, степень, которое, как сущее для себя, и потому, как безразличная граница, также непосредственно внешнее, имеет свою определенность в другом. Как это положенное противоречие — быть определенным так просто в себе и иметь свою определенность вне себя и указывать на нее вне себя, — определенное количество переходит, в третьих, как положенное само по себе внешнее, в количественную бесконечность.

А. Число

Количество есть определенное количество или, иначе, имеет границу; притом и как непрерывная, и как дискретная величина. Различие этих видов не имеет здесь никакого ближайшего значения.

Количество, как снятое бытие для себя, уже в себе и для себя безразлично к своей границе. Но вследствие того граница или свойство быть определенным количеством еще не безразлична к нему; ибо оно содержит внутри себя одно, абсолютную определенность, как свой собственный момент, который таким образом, как положенный в его непрерывности или единице, есть ее граница, остающаяся однако одним, коим она вообще стала.

Это одно есть таким образом принцип определенного количества, но как количественное одно. Тем самым оно, во-первых, есть непрерывное, единица; во-вторых, оно дискретно, оно есть сущее в себе (как в непрерывной величине) или положенное (как в дискретной величине) множество одних, которые равны между собою, обладают этою непрерывностью, имеют ту же единицу. В-третьих, это одно есть также отрицание многих одних, как простая граница, исключение своего инобытия из себя, определение себя в отличие от других определенных количеств. Тем самым одно есть α, относящаяся к себе, β, объемлющая и γ, исключающая другое граница.

Определенное количество, положенное вполне в этих определениях, есть число. Полное положение состоит в существовании границы, как множества, и потому в ее отличии от единицы. Число является поэтому дискретною величиною, но оно вместе с тем имеет непрерывность в единице. Поэтому оно есть определенное количество в его полной определенности, поскольку внутри его граница есть определенное множество, имеющее своим принципом одно, просто определенное. Непрерывность, в которой одно есть лишь в себе, лишь снятое — положенное, как единица, — есть форма неопределенности.

Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще, его граница есть его отвлеченная, простая определенность. Но поскольку оно есть число, эта граница положена, как многообразная, в себе самой. Она содержит многие одни, составляющие ее существование, но содержит их не неопределенным образом, а в ней заключается определенность границы; граница исключает другое существование, т. е. другие многие, и объемлемые ею одни суть некоторое определенное множество, определенное число (Anzal), противоположность коему, как дискретности, как она есть в числе, есть единица, его непрерывность. Определенное число и единица суть моменты числа.

Относительно определенного числа надлежит еще ближе рассмотреть, каким образом многие одни, из которых оно состоит, заключены в границу; об определенном числе правильно говорится, что оно состоит из многих, так как одни в нем не сняты, а суть в нем, положенные лишь вместе с исключающею границею, относительно которой они безразличны. Но не такова она относительно них. При «существовании» отношение к нему границы выяснилось прежде всего так, что существование, как утвердительное, остается по сю сторону своей границы, а последняя, отрицание, находится вне, на своем краю; равным образом при многих одних перерыв их и исключение других одних является некоторым определением, падающим вне включенных одних. Но там уже выяснилось, что граница проникает существование, простирается так же далеко, как оно, и что поэтому «нечто» по своему определению ограничено, т. е. конечно. Так в количественном отношении число, например, сто, представляют так, что только сотое одно ограничивает многие таким образом, что они составляют сотню. С одной стороны это справедливо; но с другой стороны из сотни одних ни одно не имеет преимущества пред другими, так как они равны; каждое есть в равной мере сотое; поэтому они все принадлежат к той границе, вследствие которой число есть сотня; оно нуждается в каждом из них для своей определенности; прочие одни не образуют, стало быть, относительно сотого одного такого существования, которое как вне, так и внутри границы было бы от нее отлично. Определенное число не есть поэтому множество против включающего ограничивающего одного, но само составляет это ограничение, которое есть определенное количество, многие образуют одно число, одну пару, один десяток, одну сотню и т. д.

Ограничивающее одно есть, стало быть, определенность против другого, отличение одного числа от другого. Но это отличение не становится качественною определенностью, а остается количественным, падает лишь в сравнивающую внешнюю рефлексию; число, как одно, возвращается в себя и безразлично к другому. Безразличие числа против другого есть его существенное определение; оно образует его определенность в себе, но вместе с тем его собственную внешность. Оно есть таким образом цифровое (numerische) одно, как абсолютно определенное, которое вместе с тем имеет форму простой непосредственности, и для которого поэтому вполне внешне отношение к другому. Как одно, число есть, далее оно имеет определенность, поскольку оно есть отношение к другому, его моменты внутри его самого суть различия единицы и определенного числа, а последнее само есть множество одних, т. е. в себе самом эта абсолютная внешность. Это противоречие числа или, вернее, определенного количества внутри себя есть качество определенного количества, в дальнейших определениях которого это противоречие развивается.

Примечание 1-е. Величины пространственная и числовая рассматриваются, как два различных вида; первая для себя есть столь же определенная величина, как и вторая; их различие состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, а как определенные количества, они стоят на одной и той же ступени. Вообще говоря, геометрия в пространственной величине имеет предметом непрерывную величину, а арифметика в числовой величине — дискретную. Но при таком различии предмета они не обладают также равным способом и совершенством ограничения или определенности. Пространственная величина обладает определенностью лишь вообще; поскольку же она рассматривается, как просто определенное количество, она имеет нужду в числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. И при ее определениях последнее исходит отчасти от равенства сторон, углов, от равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно на равенстве расстояний всевозможных его точек от центра, не требует для своего определения никакого числа. Эти покоящиеся на равенстве или неравенстве определения суть истинно геометрические. Но они недостаточны, и для других определений, например, треугольника, четырехугольника потребно число, которое в своем принципе, одном, содержит определенность для себя, а не определение при помощи чего-либо другого, т. е. при помощи сравнения. Пространственная величина, правда, находит в точке определенность, соответствующую одному; но точка, поскольку она выходит вне себя, становится другим — линиею; так как точка есть по существу лишь одно пространства, она в отношении становится непрерывностью, в которой точечность, определенность для себя, снята. Поскольку определенность для себя должна сохраниться в бытии вне себя, линия должна быть представляема, как множество одних, и граница, определение многих одних, возвратиться в себя, т. е. величина линии — равным образом и других пространственных определений — должна быть выражена числом.

Арифметика рассматривает числа и их фигуры или, правильнее, не рассматривает их, а действует над ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в отношение извне. Способы этого отношения суть виды счета (Rechnungsarten). Они излагаются в арифметике один после другого, и становится ясным, что один зависит от другого. Нить, руководящая их последовательностью, не выясняется, однако, в арифметике. Но из определения понятия самого числа легко вытекает то систематическое сопоставление, которое законно требуется изложением этих начал в учебниках. На эти основные определения должно здесь вкратце обратить внимание.

Число по своему принципу, одному, есть вообще нечто внешне сочетанное, просто аналитическая фигура, не содержащая в себе никакой внутренней связи. Так как оно есть лишь внешним образом произведенное, то каждый счет есть произведение чисел, считание или определеннее — сосчитывание. Различие этого внешнего произведения, совершающего постоянно одно и то же, может заключаться лишь во взаимном различении сосчитываемых чисел; такое различение само должно проистекать из чего-либо другого и из внешнего определения.

Качественное различие, составляющее определенность числа, есть, как мы видели, различие единицы и определенного числа; к ним сводится поэтому вся определенность понятия, которая может иметь место в видах счета. Различие же, которое присуще числам, как определенным количествам, есть внешнее тожество