и внешнее различение, равенство и неравенство, причем эти рефлективные моменты имеют быть рассмотрены при категории различения, как определении сущности[21 — Во второй части логики. — Прим. перев.].
Далее нужно предпослать то заключение, что числа могут вообще быть производимы двумя способами, или через присовокупление, или через отделение из образованной уже совокупности; и так как каждое имеет место относительно образованного одним и тем же способом вида числа, то присовокуплению чисел соответствует то, что может быть названо положительным видом счета, а отделение — тому, что может быть названо отрицательным видом счета; определение же самого вида счета не зависит от этой противоположности.
1. После этих замечаний перейдем к изложению способов счета. Первое образование числа есть совокупление многих, как таковых, т. е. из коих каждое положено, лишь как одно — нумерация (счисление). Так как одни противоставлены одно другому, как внешние, то они изображаются в чувственном образе, и действие, через которое производится число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., может быть лишь показано. Остановка на том, сколько сосчитано, поскольку граница есть нечто внешнее, есть нечто случайное, произвольное. Различение определенного числа и единицы, вступающее в силу при процессе счета, обосновывает собою систему — двоичную, десятиричную и т. д. — счисления; она в общем зависит от произвольного выбора за новую, постоянную единицу того или иного определенного числа.
Возникающие через нумерацию числа вновь подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они определяются еще без всякого отношения одно к другому, безразлично относительно равенства и неравенства, в случайной относительной величине, — поэтому вообще, как неравные, — сложение. Что 7 и 5 составляют двенадцать, узнается таким путем, что к 7 принумеровывается еще 5 одних по пальцам или иным способом, результат чего удерживается затем в памяти наизусть, так как в этом случае нет ничего внутреннего. Равным образом мы узнаем, что 7*5=35, через счет по пальцам и т. п., прибавляя к одной семерке еще другую, повторяя это пять раз и затем также удерживая результат в памяти. Труд такой нумерации, нахождение сумм и произведений, совершается при помощи «одно да одно» или «единожды одно одно», чтó также можно выучить лишь наизусть.
Кант (во «Введении к критике чистого разума», V) считает предложение 7+5=12 синтетическим. «Правда, говорит он, можно бы было сначала подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, получаемое из понятия суммы семи и пяти по началу противоречия». Понятие суммы не означает ничего более, кроме того отвлеченного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом, как числа, внешним образом, т. е. без помощи понятий, что начиная с семи нужно продолжать нумерацию до тех пор, покуда будут исчерпаны прибавляемые единицы, счетом до пяти; результат носит уже известное заранее название двенадцати. «Но, продолжает Кант, при ближайшем рассмотрении оказывается, что понятие суммы 7-ми и 5-ти не содержит ничего, кроме соединения двух чисел в одно, причем вовсе не мыслится о том, какое это одно число, соединяющее в себе оба»; …«сколько бы я ни расчленял мое понятие о такой возможной сумме, я все же не найду в ней двенадцати». Действительно, с мыслию о сумме, с расчленением понятия, переход от этой задачи к ее результату не имеет ничего общего; «должно выйти за пределы этих понятий, прибегнуть к помощи воззрения, пяти пальцев и т. п. и присоединить таким образом к понятию семи единиц данные в воззрении пять», прибавляет он. Конечно, пять дано в воззрении, т. е. есть совершенно внешнее сочетание произвольно повторенной мысли, одного; но и семь есть столь же мало понятие; здесь нет никаких понятий, за пределы которых выходят. Сумма 5-ти и 7-ми означает чуждое понятию соединение обоих чисел; этот столь чуждый понятию счет, начиная от семи, продолженный до тех пор, пока будет исчерпано пять, можно назвать сочетанием, синтезированием, также как нумерацию одних — синтезированием, которое, однако, имеет совершенно аналитическую природу, так как это связь совершенно искусственная (gemacht), в нее не привзошло ничего, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 с 5-ю относится к требованию нумерации вообще, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
Насколько пусто выражение «синтез», настолько же пусто то определение, что он происходит а priori. Правда, счет не есть определение чувственное, остающееся а posteriori при принятии кантова определения воззрения, и счет есть, конечно, действие на почве отвлеченного воззрения, т. е. такого, которое определяется категориею одного, причем отвлекается как от всех прочих чувственных определений, так и от понятий. А priori есть вообще нечто неопределенное; чувственное определение — стремление, чувство и т. п. — также содержит в себе момент априорности, а с другой стороны пространство и время, как существующее, временное и пространственное, определяются а posteriori.
В связи с этим можно прибавить, что утверждение Канта о синтетическом свойстве основоначал чистой геометрии также мало основательно. Признавая, что многие из них в действительности суть аналитические суждения, он приводит в доказательство первого мнения лишь то основоположение, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. «Именно мое понятие о прямизне не говорит ничего о величине, а только о качестве; понятие кратчайшего привнесено, стало быть, совершенно извне и никаким расчленением не может быть извлечено из понятий прямой линии; следовательно, здесь должно прибегнуть к пособию воззрения, которое делает синтез единственно возможным». Но тут идет речь не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а эта последняя есть уже нечто протяженное, наглядное. Определение же (или, если угодно, понятие) прямой линии состоит, конечно, ни в чем ином, как в том, что она есть только простая линия, т. е. что в своем выходе вне себя (так называемом движении точки) относится только к себе, что в ее протяжении не положено никакого различия определений, никакого отношения к какой-либо точке или линии вне ее: она есть только в себе простое направление. Эта простота есть конечно ее качество, и если по-видимому прямую линию трудно определить аналитически, то единственно вследствие определения простоты или отношения к себе самой и просто потому, что при определении рефлексия прежде всего имеется в виду преимущественно множественность, определение через другое; но просто для себя нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения в себе, это отсутствие определения через другое; определение Евклида не содержит в себе ничего, кроме этой простоты. Переход же этого качества в количественное определение (кратчайшей), в котором должен состоять синтез, совершенно аналитический. Линия, как пространственная, есть количество вообще; простейшее, что может быть сказано о количестве, есть наименьшее, и это, высказанное о линии, есть кратчайшее. Геометрия может принять эти определения, как дополнение к определению; но Архимед в своих Книгах о шаре и цилиндре поступил всего целесообразнее, установив определение прямой линии, как аксиому, столь же правильно, как поступил Евклид, поставив в числе аксиом определение, касающееся параллельных линий, так как развитие его, чтобы стать настоящим определением, потребовало бы также не относящихся непосредственно к пространственности, но более отвлеченных качественных определений, каковы в применении к линии простота, равенство направления и т. п. Эти древние сообщили и своим наукам пластический характер, строго ограничивая свое изложение особенностями данного содержания, а потому исключая то, что было бы разнородно ему.
Понятие, которое Кант установил в учении о синтетических суждениях a priori — понятие различного, которое вместе с тем нераздельно, тожественного, которое само по себе есть нераздельное различие, принадлежит к тому, что в его философии есть великого и бессмертного. Правда, воззрению также присуще это понятие, так как последнее есть понятие, как таковое, и все в себе есть понятие, но определения, которые даны в приведенных примерах, не выражают его; напротив, число и счет чисел есть тожество и произведение тожества, которые суть лишь внешний, поверхностный синтез, единство единиц, которые в них не тожественны между собою, но положены лишь как внешние, раздельные для себя; в прямой линии то определение, что она есть кратчайшая между двумя точками, содержит в себе скорее лишь момент отвлеченно тожественного, не основываясь на различении в нем самом.
Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид счета, вычитание, есть также совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, вообще определяются, лишь как неравные одно относительно другого.
2. Ближайшее определение есть равенство чисел, подлежащих нумерации. Вследствие этого равенства, число есть единица, и в нем выступает различие единицы и определенного числа. Умножение имеет задачею сосчитать вместе определенное число таких единиц, которые сами суть определенные числа. При этом безразлично, какое из обоих чисел полагается за единицу, и какое за определенное число, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть определенное число, а три — единица, или, наоборот, трижды четыре. Выше уже указано, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простой нумерации, т. е. отсчитывания на пальцах и т. п.; позднее возможность непосредственного получения произведения основывается на собрании таких произведений, на таблице умножения и на выучивании ее наизусть.
Деление есть отрицательный вид счета по тому же определению различия. При этом также безразлично, какой из двух его факторов, делитель или частное, принять за единицу или за определенное число. Делитель принимается за единицу, а частное за определенное число, если задача деления полагается в том, чтобы узнать, сколько раз (определенное число) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель считается определенным числом, а частное единицею, когда требуется разделить данное число на данное определенное число равных частей и найти величину последних (единицы).
3. Оба числа, которые определяются одно в противоположность другому, как единица и определенное число, как числа, непосредственно противоположны и потому вообще неравны. Дальнейшее равенство есть равенство самых единицы и определенного числа; таким образом заканчивается движение к равенству определений, заключающихся в определении числа. Счисление согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательный вид этого счисления — извлечение корня) и именно прежде всего возвышение числа в квадрат, полная определенность счета в себе самом, при которой 1) многие слагаемые числа суть одни и те же и 2) их множество или определенное число само тожественно многократно положенному числу, единице. Более не оказывается никаких определений в понятии числа, которые представляли бы собою различие; не имеет места и дальнейшее приравнивание различия, заключающегося в числе. Возвышение в степени, высшие, чем квадрат, есть формальное продолжение того же процесса, причем отчасти — при четных показателях — происходит лишь повторение возвышения в квадрат, отчасти, при нечетных показателях, вновь выступает неравенство; при формальном же равенстве (напр., прежде всего при кубе) нового фактора как с определенным
