числом, так и с единицею, он является единицею против числа (квадрат, 3 против 3*3) неравное. Еще более при кубе четырех, где определенное число, 3, указывает на то, сколько раз число, составляющее единицу, множится само на себя, отлично от него. Тут даны определения сами по себе, как существенное различие понятия, определенное число и единица, которые должны быть приравнены для того, чтобы выход из себя вполне возвратился в себя. В только что изложенном заключается далее основание, почему с одной стороны решение уравнений высших степеней должно сводиться к решению квадратных уравнений, а с другой — почему уравнение нечетных степеней определяются лишь формально, и именно если корни рациональны, то последние могут быть найдены не иначе, как при помощи мнимых выражений, представляющих собою противоположность того, что суть и выражают собою корни. Арифметический квадрат, согласно вышесказанному, один содержит в себе простую определенность, вследствие чего уравнения высших формальных степеней должны быть приводимы к нему; подобно тому как в геометрии прямоугольный треугольник содержит в себе простую определенность в себе, выражающуюся в пифагоровой теореме, вследствие чего к ней также приводятся для полного определения все прочие геометрические фигуры.
Подвигающееся вперед, в порядке логически построенного суждения, преподавание излагает учение о степенях прежде учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию единицы и определенного числа, составляющему определение второго вида счета, но они выступают за пределы единицы непосредственного количества, в котором единица и определенное число суть лишь моменты; дальнейшее определение по нему остается для него самого внешним. Число в отношении не есть уже непосредственное количество; оно имеет свою определенность в опосредовании; количественное отношение будет рассмотрено далее.
О вышеприведенном дальнейшем определении видов счета можно сказать, что оно не есть философствование о них, изложение их внутреннего смысла, так как оно не представляет собою имманентного развития понятия. Но философия должна уметь различать то, что по своей природе есть внешнее само себе содержание, при котором прогресс понятия совершается лишь внешним способом, и моменты которого могут существовать лишь в своеобразной форме их внешности, какова здесь форма равенства и неравенства. Различение сфер, к коим принадлежит определенная форма понятия, т. е. в коих она дана, как существование, служит существенным условием философствования о реальных предметах, дабы внешнее и случайное не было расстроено идеями в своем своеобразии, равно как и эти идеи не были искажены и сделаны формальными через несоответствие содержания. Но эта внешность, в которой моменты понятия являются в том внешнем содержании, в числе, есть здесь соответственная форма; так как они изображают предмет с его рассудочной стороны, и так как они не содержат никакого умозрительного требования и потому являются легкими, то они заслуживают применения в элементарных учебниках.
Примечание 2-е. Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, и в новое время они и формы их отношений, как, напр., степени и т. п., употреблялись в философии для регулирования и выражения ими мыслей. В педагогическом отношении число признано за наиболее соответственный предмет внутреннего воззрения, а занятие счислением над его отношениями за деятельность духа, в которой он наглядно проявляет свои собственные отношения и вообще основные отношения сущности. В какой мере числу может принадлежать эта высокая ценность, видно из его понятия, каким оно оказалось.
Число обнаружилось для нас, как абсолютная определенность количества, а его элемент, — как ставшее безразличным различие; — определенность в себе, которая вместе с тем положена лишь вполне внешне. Арифметика есть аналитическая наука, так как все связи и различия, которые присущи ее предмету, заключаются не в нем самом, но присоединены к нему извне. Она не имеет такого конкретного предмета, который содержал бы в себе внутренние отношения, первоначально скрытые для мышления, не данные в непосредственном представлении о нем, но выделяемые лишь усилием познания. Она не только не содержит понятия, а потому и задачи для понимающего мышления, но есть его противоположность. Вследствие безразличия того, что связывает, к связи, в которой нет необходимости, мышление находится здесь в такой деятельности, которая есть вместе с тем полнейший выход вне себя, в насильственной деятельности, направленной к тому, чтобы двигаться в отсутствии мысли и связывать то, что не подчинено никакой необходимости. Предмет есть здесь абсолютная мысль о внешности, как таковой.
Как эта мысль о внешности, число есть вместе с тем отвлечение от чувственного многообразия; оно не сохраняет от чувственного ничего, кроме отвлеченного определения внешности, как таковой; тем самым это чувственное в числе всего более приближается к мысли; число есть чистая мысль о выходе мысли из самой себя.
Дух, возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность, поскольку он ищет элемента для своего чистого представления, для выражения своей сущности, может поэтому, прежде чем схватит этот элемент, как самую мысль, и приобретет для его изображения чисто духовное выражение, склониться к тому, чтобы избрать для того число, эту внутреннюю, отвлеченную внешность. Поэтому в истории философии мы рано находим употребление числа, как выражения философем. Оно представляет собою последнюю ступень того несовершенства, которое возникает от прибавления чувственного к общему. Древние имели определенное сознание того, что число занимает середину между чувственностью и мыслию. По Аристотелю (Метаф. 1, 5) Платон говорил, что, кроме чувственного и идей, между ними находятся математические определения вещей, отличающиеся от чувственного своею невидимостью (вечностью) и неподвижностью, а от идей тем, что им присущи множественность и сходство, тогда как идея просто тожественна и едина в себе. Более подробное, основательно обдуманное рассуждение об этом Модерата из Кадикса, приводится в Malchi vita Pythagorae ed. Ritterhus, стр. 30 и сл.; что пифагорейцы остановились на числах, он приписывает тому, что они еще не были в состоянии отчетливо понять разумом основные идеи и первые принципы, так как эти принципы трудны для мышления и для речи; числа хорошо служат для обозначения при преподавании; тем самым они между прочим подражают геометрам, которые, не будучи в состоянии выразить телесное в мысли, употребляют фигуры и говорят, что это, например, треугольник, причем хотят, однако, чтобы за треугольник был принимаем не бросающийся в глаза чертеж, а чтобы последний представлял собою лишь мысль о треугольнике. Таким же образом пифагорейцы называли мысль о единстве, тожестве, равенстве и основании согласия, связи и сохранения всего, о самотожестве — одним и т. д. Нет надобности объяснять, что, исходя от чисел, пифагорейцы перешли к выражению мыслей, к ясному изложению категорий равного и неравного, границы и бесконечности; уже в отношении к этим числам указано (там же, в прим. к стр. 31, 1, 5, из Жизни Пифагора у Фотия, стр. 722), что пифагорейцы различали между монадою и одним; монаду они понимали, как мысль, одно же, как число, равным образом два было выражением арифметическим, а диада (ибо так она должна бы была там называться), выражением мысли о неопределенном. Эти древние прежде всего очень правильно усматривали недостаточность числовых форм для определений мысли и столь же правильно требовали далее вместо этого первого вспомогательного средства соответственного выражения для мыслей; насколько опередили они в своих рассуждениях тех, кто ныне считает похвальным, основательным и глубоким заменять мысленные определения снова самими числами и числовыми определениями, как то степенями, далее бесконечно большим, бесконечно малым, одним, деленным на бесконечность, и тому подобными определениями, которые сами часто представляют собою превратный математический формализм, и возвращаться к этому беспомощному детству.
Ввиду сказанного выше, что число занимает промежуточное положение между чувственным и мыслию, так как ему обще с первым содержать в себе многое, внеположенное, то следует заметить, что самое это многое, как принятое в мысль чувственное, есть принадлежащая ей категория внешнего самого в себе. Дальнейшие, конкретные, истинные мысли, как наиболее живое, подвижное, понимаемое лишь через отношение, коль скоро они перемещаются в этот элемент внебытия самого в себе, становятся мертвыми, неподвижными определениями. Чем богаче определенностью, а тем самым и отношениями, становятся мысли, тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой более произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа. Одному, двум, трем, четырем, монаде, диаде, триаде, тетраксису близки еще совершенно простые отвлеченные понятия; но если числа должны переходить в конкретные отношения, то напрасно желание продолжать сохранить близость их к понятию.
Но если притом мысленные определения в видах движения понятия, чрез которое (движение) понятие и есть единственно понятие, обозначаются через одно, два, три, четыре, то тем самым на мышление возлагается тяжелейшая из всех задача. Оно движется в таком случае в элементе его противоположности, безотносительности; его деятельность становится работою безумия. Понять, например, что одно есть три, а три — одно, есть потому эта тяжелая задача, что одно есть безотносительное, и что поэтому в нем самом нет определенности, вследствие которой оно переходит в свою противоположность, но оно, напротив, состоит именно в полном исключении этой определенности и отказе от нее. С другой стороны, рассудок пользуется этим против умозрительной истины (как, например, против заключающейся в учении, называемом учением о троичности) и высчитывает ее определения, составляющие одну единицу, чтобы выставить ее, как очевидную бессмыслицу, — т. е. он сам впадает в бессмыслицу, превращая в безотносительное то, что есть только отношение. При слове «троичность», конечно, не рассчитывается на то, чтобы рассудок разумел одно и число, как существенную определенность содержания понятия. Это слово выражает собою презрение к рассудку, который, однако, в своем тщеславии упорствует в удержании одного и числа, как таковых, и противопоставляет это тщеславие разуму.
Принимать числа, геометрические фигуры, как то круг, треугольник и т. д., за простые символы (круг, напр., — вечности, треугольник — троичности), с одной стороны, простительно; но с другой стороны, безумие — полагать, что тем самым можно выразить более, чем в состоянии схватить и выразить мысль. Если в таких символах, как и в других, которые вообще создаются фантазиею в народной мифологии и в поэзии, и относительно которых чуждые фантазии геометрические фигуры сверх того скудны, должны, как и в последних, заключаться глубокая мудрость, глубокое значение, то на одной мысли лежит обязанность выяснить истину, заключающуюся в них и притом не только в символах, но и в природе и духе; в символах истина помрачена и прикрыта чувственным элементом; вполне ясна для сознания она становится лишь в форме мысли; ее значение есть лишь сама мысль.
Но пользование математическими категориями в видах получения каких-либо определений для метода или содержания философской науки, уже потому должно считаться по существу превратным, что, поскольку математическими формулами обозначаются мысли и различия понятий, это значение должна прежде всего указать, определить и
