вполне исчерпывается первым членом ряда, получающегося через развитие (x+dx). Что прочие члены при этом не принимаются во внимание, зависит, стало быть, не от их относительной малости; тут не предполагается неточности, ошибки или заблуждения, которые могли бы быть исправлены или улучшены другим заблуждением. Таков взгляд, коим Kapно преимущественно оправдывает обычный метод исчисления бесконечных. Так как здесь дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал оказывается вполне найденным посредством первого члена; а там, где есть нужда в дальнейших членах, в дифференциалах высших порядков, то их нахождение состоит не в продолжении ряда, как суммы, но в повторении того же самого отношения, которое одно есть искомое, и которое найдено вполне уже в первом члене. Потребность суммирования формы их ряда и то, что с ним связано, должны таким образом быть совершенно отделены от этого интереса отношения.
Объяснения, которые Карно дает методу бесконечных величин, являются наиболее очищенным и ясно изложенным из всего, что содержится в вышеупомянутых представлениях. Но при переходе к самым действиям и у него выступают более или менее обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов сравнительно с другими. Он оправдывает метод более фактом правильности его результатов и пользою, приносимою для упрощения и сокращения вычисления употреблением, как он их называет, несовершенных уравнений, т. е. таких, в которых допущено такое арифметически неверное опущение, чем природою самого дела.
Лагранж, как известно, вновь прибег к первоначальному методу Ньютона, методу рядов, для того, чтобы преодолеть трудности, связанные как с представлением бесконечно малых, так и с методами первых и последних отношений и пределов. Достаточно привести из его учения о функциях, преимущества которого в отношении точности, отвлеченности и всеобщности признаны, впрочем, в достаточной мере, что оно покоится на том основоположении, что разность, не становясь нулем, может быть принята столь малою, чтобы каждый член был более суммы всех остальных членов. При этом методе также начинают с категорий приращения и разности функции, переменная величина которой содержит приращение первоначальной функции, с которым является докучный ряд; равно как в дальнейшем отбрасываемые члены ряда принимаются в соображение, лишь как сумма, и основание, почему они отбрасываются, полагается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, стало быть, и здесь определяется вообще не тою точкою зрения, которая отчасти имеет место при некоторых приложениях, при которых, как упомянуто выше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, но потому, что они незначительны по качеству; отчасти же отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом приложении дифференциального исчисления у Лагранжа, о чем еще будет говориться подробнее в следующем примечании.
Качественный характер вообще оказывается свойствен рассматриваемой здесь форме величины, которая называется бесконечно малым, что обнаруживается всего непосредственнее в вышеприведенной категории предела отношения; это ее проведение в исчислении образует своеобразный метод. Из того, что говорит Лагранж по поводу этого метода, именно что ему недостает легкости приложения, и что выражение предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе его аналитическое значение. В представлении предела именно и заключается вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами, ибо входящие в него формы их, dx и dy, должны быть взяты просто лишь как моменты dy/dx, и самое dy/dx должно считаться единым нераздельным означением. Здесь нужно оставить в стороне то обстоятельство, что тем самым механизм исчисления особенно в его приложении утрачивает преимущество, извлекаемое им из того, что члены дифференциального коэффициента отделяются один от другого. Этот предел должен быть пределом данной функции; он должен иметь известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. С простою категориею предела мы не подвинулись бы далее, чем с тем, с чем мы имеем дело в этом примечании, именно показали бы только, что бесконечно малое, изображаемое в дифференциальном исчислении, как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не конечной, не данной величины, как например, когда говорится «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., но определенный смысл качественной определенности количественного, моментов отношения, как таковых. Эта категория в таком виде не имеет еще никакого отношения к тому, что есть некоторая данная функция, не помогает еще сама по себе ее разработке и не приводит к употреблению, которое должно бы иметь место при таком определении; таким образом представление предела, ограниченное такою указанною ему определенностью, не приводило бы ни к чему. Но выражение «предел» содержит уже в себе самом указание на то, что он есть предел нечто, т. е. имеет известное значение, определяемое функциею переменных величин; и должно рассмотреть, к чему приводит этот его конкретный смысл. Он должен быть пределом отношения двух приращений, на которые признаются увеличивающимися две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна считается функциею другой; приращение принимается здесь неопределенно и вообще, и поэтому о бесконечно малом нет еще и речи. Но ближайшим образом путь к нахождению этого предела приводит к таким же непоследовательностям, какие свойственны и другим методам. А именно этот путь таков. Если fx=y, то, при переходе у в у+k, fx переходит в fx+ph+gh+rh и т. д., следовательно k=ph+gh+rh и т. д. а k/h=p+gh+rh и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезают все члены ряда, кроме p, который и оказывается пределом отношения обоих приращений. Отсюда видно, что хотя h и k, как определенные количества, полагаются =0, но что оттого k/h еще не обращается в 0/0, но остается некоторым отношением. Но представление предела должно обладать тем преимуществом, что оно устраняет заключающуюся тут непоследовательность; р должно быть не тем действительным отношением, которое превратилось в 0/0, но иметь лишь определенное значение, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать менее всякой данной разности. Более определенный смысл приближения в отношении к тому, что собственно должно между собою сближаться, будет рассмотрен ниже. Но что количественное различие, определяемое не только, как могущее, но как долженствующее быть менее всякой данной величины, не есть уже количественное различие, это ясно само по себе и настолько очевидно, насколько может быть что-нибудь очевидно в математике; тем самым, однако, мы не подвигаемся далее dy/dx=0/0. Если же, напротив, dy/dx принимается за р, т. е. за определенное количественное отношение, как это и есть в действительности, то, наоборот, является затруднение в предположении h=0, в предположении, путем которого единственно и получается k/h=p. Если же допустить, что k/h=0, причем, однако, вместе с h=0 и самое k=0 (так как приращение k имеет место лишь при условии существования h), то является вопрос, куда же девается р, которое имеет совершенно определенное количественное значение. На это нам тотчас же дается простой и сухой ответ, что р есть коэффициент, возникающий путем такого-то вывода — известным определенным образом полученная первая производная функция первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как по существу дела довольствуется им Лагранж, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно самая та форма, которая именуется теориею пределов, окажется освобожденною от приращений, от их бесконечной или любой малости, от затруднения, состоящего в том, что кроме первого члена или, правильнее, лишь коэффициента первого члена устраняются дальнейшие члены ряда, кроме тех, которые неустранимы при употреблении данных приращений; кроме того, она очищается и от другого, связанного с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, далее бесконечного приближения и других столь же пустых категорий непрерывных величин[26 — Категория непрерывной или текучей величины возникает при рассмотрении внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных путем уравнения в такое отношение, при котором одна есть функция другой; но так как научный предмет дифференциального исчисления есть известное (обыкновенно выражаемое через дифференциальный коэффициент) отношение, определенность которого может быть также названа законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти нечто постороннее, отчасти во всяком случае отвлеченная и в этом смысле пустая категория, так как она не выражает ничего о законе непрерывности. В какие формальные определения при этом совершенно погружаются, видно из остроумного общего изложения моим уважаемым товарищем проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода дифференциального исчисления, которое (изложение) примыкает к критике некоторых новых сочинений по этой науке и помещено в Jahrb. f. wissensch. Kritik 1827 № 153 и сл.; там на стр. 1251 приводится даже определение: «непрерывная величина, непрерывность есть всякая величина, мыслимая в состоянии такого становления, чтобы последнее происходило не скачками, а путем непрерывного процесса». Но эта тожесловное повторение того, что есть и самое definitum.] и всего того, что считается нужным ввести, как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае нужно бы было показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейшей математической потребности, имеет р, независимо от того совершенно достаточного для теории сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем развития бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.
Было указано, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, другой — элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса — в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно-количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой проявляется в их взаимном отношении. Различение, поскольку оно не есть уже различение конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя самого; оно совпало в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.
Эта суть дела
