в первой степени, вдвое более одного корня, что дает уравнение, посредством которого находятся искомые определения. Этот способ должен считаться гениальным приемом истинно аналитической головы, которому далеко уступает совершенно ассерторически принимаемая пропорциональность подкасательной и ординаты долженствующим быть бесконечно малыми так называемым приращениям абсциссы и ординаты.
Найденное таким путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, тожественно уравнению, находимому посредством дифференциального исчисления. Дифференцирование х—ах — b=0 дает новое уравнение 2х — а=0; а дифференцирование х—рх — q=0 дает 3x—р=0. Но здесь должно заметить, что правильность таких производных уравнений отнюдь не самоочевидна. Из уравнения с двумя переменными величинами, которые оттого, что они переменны, еще не перестают быть неизвестными, возникает, как указано выше, лишь отношение, по тому приведенному выше простому основанию, что через подстановление функций возвышения в степень вместо самих степеней изменяется значение обоих членов уравнения, и остается еще неизвестным, сохраняется ли между ними уравнение при таком изменении значения. Уравнение dy/dx=Р выражает собою только то, что Р есть отношение, а затем dy/dx не приписывается никакого реального смысла. Об этом отношении =Р также еще неизвестно, какому другому отношению оно равно; оно получает значение лишь через уравнение пропорциональности. Так как было указано выше, что это значение, именуемое приложением, берется извне, эмпирически, то о сказанных выведенных путем дифференцирования уравнениях должно быть также известно извне, имеют ли они равные корни для того, чтобы знать, правильно ли полученное уравнение. Но на это обстоятельство в учебниках определительно не указывают; оно устраняется тем, что, приравнивая нулю уравнение первой степени, сейчас же получают =у, откуда затем при дифференцировании все же получается dy/dx, т. е. лишь отношение. Исчисление функций, конечно, должно во всяком случае иметь дело с функциями возвышения в степень, а дифференциальное исчисление — с дифференциалами, но отсюда еще не следует для себя, что если берутся дифференциалы или функции возвышения в степень каких-либо величин, то эти величины должны быть только функциями других величин. И кроме того, в теоретической части при выводе дифференциалов, т. е. функций возвышения в степень, еще вовсе не думают о том, что величины, с которыми приходится иметь дело после такого вывода, сами должны быть функциями других величин.
Еще можно заметить относительно опущения постоянных величин при дифференцировании, что оно имеет здесь тот смысл, что постоянная величина при равенстве корней безразлична для их определения, так как это определение исчерпывается коэффициентами второго члена уравнения. Так, в приведенном примере Декарта постоянная величина есть квадрат самого корня, следовательно, то последний может быть определен как из нее, так и из коэффициентов, поскольку она, как и коэффициенты, есть функция корней уравнения. В обычном изложении устранение связанной с прочими членами посредством знаков + и — постоянной величины достигается простым механизмом приема, состоящего в том, что для нахождения дифференциала сложного выражения дается приращение лишь переменным величинам, и полученное таким образом выражение вычитается из первоначального. О значении постоянных величин и их опущения, поскольку они сами суть функции и являются нужными или ненужными по этому определению, не поднимается и речи.
С опущением постоянных величин связано такое же замечание по поводу названий дифференцирования и интегрирования, какое ранее было сделано по поводу выражений конечного и бесконечного, а именно что в их определении заключается скорее противоположность того, что выражается этими словами. Дифференцирование означает положение разностей; но через дифференцирование, напротив, уравнение приводится к меньшему объему, опущением постоянной величины устраняется один из моментов определенности; как было указано, корни переменных величин приравниваются, следовательно разность их снимается. При интегрировании же постоянная величина снова должна быть прибавлена; уравнение тем самым интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность корней снова восстановляется, т. е. что положенное равным дифференцируется. Обычный способ выражения приводит к тому, что существенная сторона дела остается в тени, и все сводится к подчиненной точке зрения, чуждой этой стороне дела, точке зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти просто различия между данною и производною функциею, без принятия во внимание специфического, т. е. качественного различения.
Другая главная область, к которой применяется дифференциальное исчисление, есть механика; о значении различных степенных функций, которые получаются из элементарных уравнений ее предмета, движения, было уже попутно упомянуто; я прямо принимаю их здесь. Уравнение, т. е. математическое выражение ложно равномерного движения с=s/t или s=ct, в котором пройденные пространства относятся к протекшим временам, как эмпирическая единица с, означающая величину скорости, не дает никакого повода к дифференцированию; коэффициент с уже вполне определен и известен, и относительно него не может иметь места никакое дальнейшее степенное развитие. Как анализируется s=at, уравнение падения тел, было уже указано; первый член анализа ds/dt=2at понимается и словесно и реально так, что он должен быть членом суммы (каковое представление мы уже устранили), одною частью движения, которому должна быть присуща сила инерции, т. е. ложно равномерной скорости, таким образом, что в бесконечно малые промежутки времени движение совершается равномерно, а в конечные промежутки времени, т. е. в действительности, неравномерно. Конечно f’s=2at; значение а и t известно, равно как тем самым положено определение скорости равномерного движения; так как а=s/t, то вообще 2at=2s/t; но тем самым мы ни мало не приобретаем дальнейшего знания; лишь ложное предположение, что 2at есть часть движения, как суммы, дает здесь ложную видимость физического предложения. Самый множитель а, эмпирическая единица — определенное количество, как таковое — приписывается тяготению; но если пускается в ход категория силы тяготения, то следовало бы скорее сказать, что именно целое s=at есть действие или, правильнее, закон тяготения. Тому же соответствует и выведенное из ds/dt=2at предложение, что если бы прекратилось действие тяготения, то тело со скоростью, приобретенною в конце своего падения, прошло бы пространство вдвое большее пройденного во время, равное времени его падения. Здесь мы встречаем и саму для себя превратную метафизику; конец падения или конец части времени, в которое падает тело, есть всегда сам еще часть времени; если бы он не был такою частью, то наступил бы покой и следовательно — отсутствие скорости; скорость может быть измеряема лишь по пространству, пройденному в некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, наконец, и в других отраслях физики, которые вовсе не имеют дела с движением, например относительно света (за исключением того, что называется его распространением в пространстве) и количественных определений цветов, прибегают к приложению дифференциального исчисления, и первая производная функция квадратной функции именуется и здесь скоростью, то на это следует смотреть как на еще более неуместный формализм вымышляемого существования.
Движение, изображаемое уравнением s=at, мы находим, говорит Лагранж, на опыте в падении тел; простейшее следующее движение должно бы было иметь уравнение s=ct, но в природе такого движения не оказывается; мы не знаем, что мог бы означать коэффициент с. Как бы то ни было, есть однако движение, уравнение которого есть s=at — кеплеров закон движения тел солнечной системы; вопрос о том, что должна означать здесь первая производная функция 2at/3s, и дальнейшее прямое исследование этого уравнения через дифференцирование, нахождение законов и определений этого абсолютного движения с той исходной точки зрения должно бы конечно явиться интересною задачею, в решении которой анализ проявил бы себя в достойном блеске.
Таким образом для себя приложение дифференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального интереса; формальный же интерес обусловливается общим механизмом исчисления а. Но иное значение получает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая, и ее уравнение содержит высшие степени, то требуется переход от прямолинейных функций возвышения в степень к самим степеням, и поскольку первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени, с устранением времени, то этот фактор должен быть ограничен теми низшими функциями, из коих могут быть получены эти уравнения линейных определений. Эта сторона затрагивает интерес другой части дифференциального исчисления.
Предыдущее изложение имело целью выяснить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и привести тому некоторые элементарные примеры. Это определение оказалось состоящим в том, что для уравнения степенной функции находится коэффициент, так наз. первая (производная) функция, и что то отношение, которое она собою представляет, обнаруживается в моментах конкретного предмета, причем полученным таким образом равенством между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Равным образом надлежит по поводу принципа интегрального исчисления вкратце рассмотреть, что получается для его специфического конкретного определения из его приложения. Взгляд на это исчисление упрощается и исправляется уже тем, что оно не признается более методом суммирования, как оно было названо в противоположность дифференцированию, существенным ингредиентом которого считается приращение, чем оно вводилось в существенную связь с формою ряда. Задача интегрального исчисления прежде всего столь же теоретическая или скорее формальная, как и дифференциального исчисления, но при этом обратная последнему; в первом случае исходят от функции, которая рассматривается, как производная, как коэффициент первого возникающего через развитие еще неизвестного уравнения члена, и через нее должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая в естественном порядке развития рассматривается как первоначальная, здесь имеет характер производный, а та, которая ранее считалась производною, есть здесь данная или вообще первоначальная. Формальная сторона этого действия является уже предрешенною дифференциальным исчислением, так как последнее вообще установляет переход и отношение первоначальной функции к возникающей путем ее развития. Если при этом отчасти для того, чтобы подставить ту функцию, от которой должно исходить, отчасти для осуществления перехода ее к первоначальной функции во многих случаях оказывается необходимым прибегнуть к форме ряда, то нужно прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет никакой непосредственной связи с собственным принципом интегрирования.
Но другою стороною задачи этого исчисления является с точки зрения формального действия его приложение. Последнее и является само задачею узнать — в вышеуказанном смысле — то значение, которое свойственно первоначальной функции, рассматриваемой с точки зрения данной функции, принимаемой за первую (производную) и относимой к особому предмету. Само по себе это учение могло бы, по-видимому, войти вполне в состав дифференциального исчисления; но есть дальнейшее обстоятельство, вследствие которого дело оказывается не так просто. Именно поскольку в этом исчислении оказывается, что в производной функции уравнения кривой получается линейное отношение, то тем самым признается, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в отношении абсциссы и ординаты; или если дано уравнение кривой поверхности, то дифференцирование уже научает значению производной функции такого уравнения, именно что в этой функции ордината представляет функцию абсциссы, стало быть, уравнение кривой линии.
