есть лишь внешнее средство этого развитие, и его так называемой бесконечности принадлежит лишь значение не иметь никакого значения, кроме значения такого средства; ряд, поскольку он в действительности не есть то, что от него требуется, приводит к некоторой прибавке, вновь отбросить которую есть излишний труд. Этим затруднением обременен и метод Лагранжа, который вновь прибег по преимуществу к форме ряда; хотя именно в этом методе чрез то, что наименовано приложением, проявляется истинное своеобразие, так как вместо того, чтобы втеснять формы dx, dy и т. д. в самые предметы, им указываются прямо те части, коим в них самих свойственна определенность производных функций (функций развития), и тем самым оказывается, что форма ряда не есть здесь то, о чем идет дело[28 — В вышеупомянутой критике (Jahrbuch für wis. Krit. B. II. 1827. № 155, 6 и сл.) находятся интересные заявления основательного специалиста Г. Шпера (Spehr), почерпнутые из его Neuen Principien des Fluentencalculs. Braunschw. 1826, касающиеся именно обстоятельства, существенно способствующего внесению в дифференциальное исчисление темноты и ненаучности, и согласующиеся сверх того с тем, что было сказано об общей теории этого исчисления: «чисто арифметические исследования, говорится там, которые, правда, из числа всех подобных имеют ближайшее отношение к дифференциальному исчислению, не отделили от него, как такового, а напротив, признали эти исследования, как напр., Лагранж, за самую суть дела, считая ее лишь их приложением. Эти арифметические исследования касаются правил дифференцирования, вывода теоремы Тейлора и т. п., даже различных способов интегрирования. Между тем совершенно наоборот, эти приложения именно и составляют предмет собственно дифференциального исчисления, а все эти арифметические развития и действия оно предполагает из анализа». Было указано, каким образом у Лагранжа отделение т. наз. приложения от приема общей части, исходящего от рядов, служит именно к тому, чтобы выставить своеобразный предмет дифференциального исчисления. Но ввиду интересного мнения автора, что т. наз. приложения именно и составляют предмет собственно дифференциального исчисления, представляется странным, что он мог вдаться в формальную (приведенную там же) метафизику непрерывной величины, становления, течения и т. д. и даже пожелать еще более умножить этот балласт; эти определения формальны, так как они суть лишь общие категории, не касающиеся именно специфической стороны дела, которая познается и отвлекается из конкретных учений, из приложений.].

Примечание 3-е

Еще другие формы, связанные с качественною определенностью величины

Бесконечно малое дифференциального исчисления есть в своем утвердительном смысле качественная определенность величины, о которой будет далее сказано, что она в этом исчислении рассматривается не только вообще, но на особенном отношении степенной функции к функции ее развития. Но эта качественная определенность является еще в дальнейшей, так сказ., слабейшей форме, и последняя, равно как связанное с нею употребление бесконечно малых и их смысл при таком употреблении, должны быть рассмотрены в настоящем примечании.

Исходя из вышеизложенного, мы должны в этом отношении припомнить, что различаемые степенные определения с аналитической стороны проявляются прежде всего, как формальные и совершенно однородные, что они означают числовые величины, не имеющие, как таковые, качественного различия одна от другой. Но в приложении к пространственным предметам аналитическое отношение обнаруживается вполне в своей качественной определенности, как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных к криволинейным и т. д. Далее это приложение приводит к тому, что пространственные предметы, данные по их природе в форме непрерывных величин, понимаются дискретно, — плоскость, как множество линий, линия, как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самых точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость и т. д., дабы от такого определения подвигаться далее аналитически, т. е. собственно арифметически; эти исходные пункты суть элементы искомых определений величины, из которых (элементов) должны быть выведены функция и уравнение для конкретного, для непрерывной величины. Для решения задач, в коих по преимуществу обнаруживается интерес к употреблению этого приема, требуется в качестве исходного элемента нечто определенное для себя самого в противоположность непрямому ходу решения, поскольку последний может начинать лишь с пределов, между которыми лежит то определенное для себя, которое служит ему целью. Результаты обоих методов совпадают, если только может быть найден закон дальнейшего процесса определения при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. т. наз. конечного определения. Кеплеру приписывается честь впервые придти к мысли такого обратного приема и принятие дискретного за исходный пункт. Объяснение того, как он понимает первое предложение архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первое предложение Архимеда состоит, как известно, в том, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого есть радиус, а другой равен длине окружности. Находя смысл этого предложения в том, что окружность круга содержит столько же частей, как точек, т. е. бесконечно много, из коих каждая может считаться основанием равнобедренного треугольника и т. д., Кеплер выражает тем самым разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающееся здесь выражение бесконечное еще очень далеко от того определения, какое дается ему в дифференциальном исчислении. Если для таких дискретных частей найдена определенность, функция, то они должны быть далее соединены, служить элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линию, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже изначала принимаются за линейные, а линии — за плоскостные. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, т. к. умножение вообще производится над числами, т. е. есть такое их изменение, при котором то, во что они переходят, совершенно однородно с произведением, есть изменение только величины. Напротив, то, что называется умножением линии, как таковой, на линию — т. е. ductus liniae in liniam или plani in planum, которое есть также ductus puncti in lineam — есть изменение не только величины, но последней, как качественного определения пространства, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понимаем, как выход из себя, поскольку выход из себя точки есть линия, плоскости — полное пространство. То же самое получается, когда представляют себе, что движение точки образует линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и потому является в этом представлении лишь более случайным, внешним изменением состояния; между тем под выходом из себя должно понимать определенность понятия, качественное изменение — выражаясь арифметически, умножение — единицы (как точки и т. п.) в определенное число (линию и т. п.). При этом следует еще заметить, что при выходе из себя площади, который является как бы умножением площади на площадь, оказывается, по-видимому, различие между арифметическим и геометрическим произведением, так как выход из себя площади, как ductus plani in planum, арифметически дает умножение второго измерения на второе, т. е. произведение четырех измерений, геометрически понижаемое, однако, до трех. Насколько число с одной стороны, так как оно имеет своим принципом единицу, дает прочное определение внешнему количественному, настолько же произведение его формально; как числовое определение, 3*3, умноженное само на себя, есть 3*3*3*3; но та же величина, умноженная на себя, как определение площади, удерживается на 3*3*3, так как пространство, представляемое, как выход за себя точки, отвлеченного предела, имеет свой истинный предел, как конкретную определенность линии, в третьем измерении. Это различие могло бы оказаться действительным в свободном движении, в котором одна, пространственная сторона определяется геометрически, а другая, временная, арифметически (в кеплеровом законе s:t).

В чем состоит различие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, ясно само собою и без дальнейшего объяснения. В последнем качественное заключалось в степенной определенности; здесь же оно, как бесконечно малое, есть лишь множитель относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Качественный же переход от дискретного, на которое представляется разложенным непрерывное, к непрерывному, осуществляется, как суммирование.

Но что кажущееся простое суммирование в действительности содержит в себе умножение, т. е. переход от линейного к плоскостному определению, это обнаруживается всего проще в том способе, каким, например, доказывается, что площадь трапеции равна произведению суммы ее параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется, лишь как определенное число множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими параллельными линиями; их бесконечно много, так как они должны заполнять площадь, но они суть линии и потому, чтобы быть чем-либо плоскостным, они должны быть положены с отрицанием. Для того, чтобы избегнуть затруднения, состоящего в том, что сумма линий должна составить площадь, линии принимаются также за площади, но за бесконечно тонкие, так как они имеют свое определение исключительно в линейном параллельных сторон трапеции. Как параллельные и ограниченные другою парою прямолинейных сторон трапеции, они могут считаться членами арифметической прогрессии, показатель которой остается равным, но не нуждается в определении, а первый и последний члены которой суть обе параллельные стороны; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных на половину числа членов. Это последнее количество называется числом лишь по сравнению с бесконечно многими линиями; оно есть вообще определенность непрерывной величины — высоты. Ясно, что то, что называется суммою, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линии на линии, чтó по вышеприведенному определению предполагает их плоскостной характер. В простейшем случае прямоугольника каждый из множителей ab есть простая величина, но уже в дальнейшем также еще элементарном примере трапеции лишь один из множителей есть простая величина половины высоты, другая же определяется через прогрессию; он также есть линейное, но определенность его величины важнее; поскольку она может быть изображена лишь посредством ряда, то ее аналитический, т. е. арифметический интерес, состоит в ее суммировании; но геометрический момент последнего есть умножение, качественный переход от линейного к плоскостному измерению; один из множителей принимается за дискретный в связи с арифметическим определением другого, и, как последний, есть для себя линейная величина.

Прием, состоящий в том, чтобы представлять площади, как суммы линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не применяется умножение, как таковое. Так поступают в тех случаях, когда является надобность найти величину, как определенное количество не из уравнения, а из пропорции. Например, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что также относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Если желают при этом избегнуть представления площади, как суммы линий, то прибегают к обычному совершенно излишнему вспомогательному средству — к трапециям бесконечно малой ширины; так как уравнение есть лишь пропорция, то при этом установляется сравнение лишь одного из двух