и механика, развиваемые Галилеем и Кеплером. Например, конические сечения применяли к разным наукам: эллипсы — это траектории планет, а параболы — траектории снарядов.

Греческая строгость доказательства была оставлена в пользу эмпиризма. Для Галилея имели одинаковое значение как дедуктивная, так и экспериментальная части. В отличие от древнегреческих ученых он был больше заинтересован в получении новых результатов, чем в их безупречном обосновании. Время на строгую формулировку найдетсяи потом, поскольку самым важным является открытие само по себе. Убежденность в том, что полученные результаты затем можно доказать методами древнегреческих ученых, выражена в следующем высказывании Гюйгенса: [Картинка: img_34.jpg]

Гравюра Теобальда Фрайхера фон Ёра(1807- 1885), на которой изображен Лейбниц во время открытия Берлинской академии. [Картинка: img_35.jpg]

Гравюра, на которой изображено уничтожение Архимедом римских кораблей с помощью солнечных лучей. [Картинка: img_36.jpg]

Портрет Лейбница около 1700 года, работа Христофа Бернхарда Франке.

«Абсолютное доказательство не слишком интересно после того, как мы увидели, что может быть найдено идеальное доказательство. Признаю, что лучше бы оно было представлено в четком, искусном и элегантном виде, как во всех работах Архимеда. Но первое и самое главное — метод открытия сам по себе».

Но когда открытия излагались в эмпирической форме, без древнегреческой строгости, некоторые результаты не принимались другими учеными или вступали в противоречие с их данными. Еще одним важным аспектом было то, что проблемы нельзя ставить независимо друг от друга. Декарт утверждал, что схожие задачи должны решаться общим методом.

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

Основная идея аналитической геометрии основывается на декартовых координатах.

Любая точка на плоскости обозначается двумя числами, которые отражают ее положение.

Декартовы оси состоят из двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в одной точке — начале координат. Если нанести деления на прямые, каждой точке будут соответствовать два числовых значения, отмеряемых на обеих осях. Первое отмечается на горизонтальной оси, называемой осью абсцисс, а второе — на вертикальной оси, называемой осью ординат. Точка записывается как Р (х, у), где х — абсцисса, а у — ордината. [Картинка: img_37.jpg]

РИС. 1

Две прямые при пересечении делят плоскость на четыре области, которые получают название квадрантов и нумеруются от I до IV, начиная с квадранта, в котором обе координаты положительные, и следуя против часовой стрелки (рисунок 1). Однако изначально понятия осей не существовало. Ферма определял координаты следующим образом: положение точки Р задано двумя длинами — одной, отмеряемой по горизонтали от точки О до точки I, и другой, отмеряемой наклонно от I до Р (рисунок 2). Эти измерения — наши сегодняшние х и у. Как можно увидеть, на рисунке не определены оси и нет отрицательных координат. [Картинка: img_38.jpg]

РИС. 2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Значительный скачок для перехода от геометрии к алгебре произошел с созданием аналитической геометрии, которая позволяет заменять кривые уравнениями, чтобы работать напрямую с алгебраическим решением. Кривая с точки зрения аналитической геометрии — это множество точек, которое удовлетворяет одному условию и связано с алгебраическим уравнением.

Как в то время нередко случалось, аналитическая геометрия была открыта независимо двумя учеными, результаты которых не были полностью одинаковыми. Создателями еебыли французы Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596— 1650).

Ферма некоторые даже называли принцем любителей, поскольку на самом деле один из создателей теории чисел был судейским чиновником и занимался математикой в свободное время. Больше всего он известен благодаря знаменитой Великой теореме Ферма, которую смогли доказать только три века спустя. Также он был одним из создателей теории вероятностей. При жизни Ферма не опубликовал ни одного исследования, поэтому его труды стали известны благодаря письмам и бумагам, которыми он обменивался с друзьями и знакомыми.

Декарт, философ, физик и математик, занимался геометрией, опираясь, как и Ферма, на классиков. В 1637 году он опубликовал свою великую работу «Рассуждение о методе», где излагал свою философию и куда включил три приложения: «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия».

Таким образом началась одна из самых больших полемик века о том, кто был первым создателем аналитической геометрии. С одной стороны, в работе Ферма «Введение к теории плоских и пространственных мест», написанной в 1629 году, но опубликованной только в 1679 году, ее автор уже высказывает основные идеи аналитической геометрии, которые оказались близки к сегодняшним представлениям о ней. С другой стороны, нидерландский ученый Исаак Бекман (1588-1637), считающийся одним из первых исследователей вакуума, друг и наставник Декарта с 1619 года, утверждал, что в то время у его ученика уже было понимание метода решения всех задач, которые могут стоять перед геометрией.

Похоже, Ферма был первым, кто разработал аналитическую геометрию, но Декарт первым опубликовал работу о ней. Подобные ситуации случались в то время очень часто. Но так как эти ученые обменивались информацией в эпистолярной форме через Мерсенна, возникли обвинения в плагиате. Тем не менее кажется очевидным, что они оба пришли ксвоим выводам независимо друг от друга, поскольку их подходы различаются. Декарт исходит из геометрической кривой и изучает ее уравнение, в то время как Ферма исходит из уравнения и изучает, какая кривая ему соответствует и каковы ее свойства. Это прохождение одного пути с двух противоположных сторон.

ФУНДАМЕНТ АНАЛИЗА

Первым, кто попытался продвинуться в методе вычисления площадей и объемов, работая в строгом девнегреческом стиле, был Бонавентура Кавальери (1598-1647), ученик Галилея. В 1635 году он опубликовал свою работу «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного». Ученый утверждал, что все фигуры образованы из ряда базовых элементов, которые он называет неделимыми. То есть площадь образована неопределенным числом параллельных отрезков (см. рисунок), а объем — параллельными плоскими поверхностями. [Картинка: img_39.jpg]

Любая поверхность образована неопределенным числом параллельных отрезков.

Неделимые — это минимальные элементы, на которые можно разложить фигуру. В «Шести геометрических этюдах» (1647) Кавальери изложил идею о том, что линия состоит из точек, как бусы из четок; плоскость сделана из линий, как волокна на ткани, а твердое тело образовано плоскими поверхностями, как листы в книге. Благодаря этой идее ему удалось найти квадратуру, то есть площадь, кривых типа xk для значений k, равных 6 и 9. Если использовать современную запись, Кавальери доказал, что:

a

?xn dx = (an+1)/(n+1)

0

Он сформулировал утверждение, известное как принцип Кавальери: «Если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны между собой». На рисунке 1 на следующей странице можно увидеть конкретный случай из двух треугольников с одинаковым основанием и высотой, где неделимые одинаковы, следовательно площадь одна и та же.

Несмотря на критику, которую получил метод Кавальери, многие математики пошли по тому же пути неделимых. Ферма, Торричелли, Паскаль и Роберваль также предложили похожие методы, хотя и заменив линии другими элементами, такими как прямоугольники, треугольники, параллелепипеды или цилиндры. [Картинка: img_40.jpg]

РИСУНОК 1. Два треугольника с одинаковым основанием и высотой имеют одну и ту же площадь. [Картинка: img_41.jpg]

РИСУНОК 2. Метод Кавальери для нахождения площади области, ограниченной параболой.

Жиль де Роберваль, один из членов-основателей Парижской академии наук, заменил линии Кавальери бесконечно малыми прямоугольниками. Он чертил ряд прямоугольников одной и той же ширины и предполагал, что площадь под кривой можно приблизить к площади этих прямоугольников, если их ширина достаточно мала. Для нахождения площади под параболой, например, он следовал методу, показанному на рисунке 2. В современной записи речь бы шла о том, чтобы найти

a

?x2 dx .

0

Возьмем n прямоугольников, расположенных на горизонтальной оси. При этом t означает порядковый номер прямоугольника. Пусть подобный прямоугольник имеет основаниее, тогда высотой его будет значение функции параболы, соответствующее абсциссе t • е. Следовательно, его площадь равна е • (t • е)2.Если сложить все прямоугольники, получится:

А = е -е2 +е • (2е)2 +е • (Зе)2 + … +е- (ne)2 =

=е3 + 4е3 + 9е3 +… + n2• е3 =е3-( 1 + 4 + 9 +… + n2).

Сумма членов ряда квадратов уже нам известна и равна:

n3/3+n2/2+n/6,

и если обозначить через а сумму п значений ширины прямоугольников, то есть a = ne, то:

e = a/n,

и предыдущее выражение превращается в:

A = (a/n)3(n3/3+n2/2+n/6) = a3(n3/3n3+n2/2n3+n/6n3) = a3(1/3+1/2n+1/6n2).

Поскольку предполагается, что n — достаточно большое число для оптимального приближения, дробями с n в знаменателе можно пренебречь, ведь значение этих дробей приближается к нулю, и получается, что площадь под параболой равна:

a3/3.

ГИГАНТЫ

Были и другие математики, которые настолько близко подошли к определению анализа бесконечно малых, что как бы расстелили ковровую дорожку, по которой Ньютон и Лейбниц вошли в историю. Английский математик Джон Уоллис, королевский криптограф, представил в 1656 году свою главную работу «Арифметика бесконечного», в которой на основе работ Декарта и Кавальери изложил свой метод работы с бесконечно малыми. Уоллис вычислил квадратуру гипербол, то есть кривых, уравнения которых имеют вид:

1/xr

где r не равно 1.

В своем методе он пользовался скорее алгебраической базой, чем геометрической, как частично делали Ферма и Роберваль. Чтобы найти площадь, замыкаемую кривой у = х3,Уоллис использовал отношение между треугольниками и квадратами с одинаковой длиной основания. В них он провел неделимые линии, которые их образовывают, и сложил кубы их длин, поскольку мы работаем с х3.Если есть только две линии, в треугольнике мы получаем длины со значениями 0 и 1, в то время как в квадрате обе линии равны 1. Получается следующее отношение:

(03+13)/(13+13) = 1/2 = 1/4+1/4.

Если взять три линии, то длины линий, находящихся в треугольнике, будут равны 0, 1 и 2, в то время как в квадрате во всех трех случаях они будут равны 2. Если взять четыре линии (см. рисунок), то в треугольнике измерения равны 0, 1, 2 и 3, в то время как в квадрате все линии имеют размер 3:

(03+13+23)/(23+23+23) = 9/24 = 6/24+3/24 = 1/4+1/8,