их значительные достижения в практической философии (образовании, гражданских делах, личных отношениях) и в науках, которые превзошла только европейская наука.
«И ЦЗИН» И ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
«И Цзин», или «Книга перемен»,— это древнекитайская книга для гадания, с помощью которой можно узнать будущее, связанное с семьей и другими аспектами жизни. В ней развивается даосистская философия инь и ян. Она была написана мифическим императором Фу Си около 2400 года до н. э. и дополнена в последующие эпохи, например Конфуцием в 500 году до н. э.
Толкование книги основывается на ряде символов (гексаграмм), каждый из которых имеет разное значение в зависимости от контекста. Они образованы непрерывными и пунктирными линиями, сгруппированными в триграммы. Каждая гексаграмма состоит из сочетания двух триграмм в разных вариантах. Восемь триграмм показаны на следующем рисунке. [Картинка: img_54.png]
Если соединить две триграммы всеми возможными способами, получаются 64 возможные гексаграммы, образованные шестью линиями. Хотя Буве думал, что это было создание самого Фу Си, именно китайский философ Шао Юн (1011-1077) придал гексаграммам вид, напоминающий двоичную систему На следующем рисунке мы можем увидеть некоторые из гексаграмм. Хотя китайцы не знали нуля, если рассматривать пунктирную линию как нуль, а непрерывную — как единицу, мы можем увидеть первые зашифрованные двоичные числа. [Картинка: img_55.png]
Так можно обозначить двоичные числа от 0 до 63. Достаточно назначить гексаграмме двоичный код и превратить его в десятичное число. Например, гексаграмма на следующем рисунке обозначала бы число:
101001(2= 1·25 + 0·24+1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·2° = 32 + 8+1 =41. [Картинка: img_56.png]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ
Обычно мы воспринимаем вещи, которые знаем с детства, так, словно они были всегда. Кажется, что интернет, мобильные телефоны, компьютеры и телевидение существуют уже давным- давно, хотя многие из нас жили еще в те времена, когда их еще не изобрели. С символами, используемыми в науке, происходит то же самое. Мы привыкли писать и совершать операции с числами и функциями, используя символы, которые, кажется, были всегда. При этом, например, арабские цифры, сопровождающие нас в повседневной жизни, более «новые» для нашей культуры, нежели римские.
В XVI и XVII веках одной из сложностей для обмена результатами исследований или понимания разработок других ученых было именно отсутствие четкой и унифицированной записи.
Символы + и — для операций сложения и вычитания начали применяться только в XV веке в Германии. После этого еще довольно долго в некоторых странах, например в Испании, продолжали работать с символами ~р и ~т (начальные от plus и minus). Использование знака х для умножения приписывается Отреду, изобретателю логарифмической линейки.
Черта для обозначения деления считается арабским изобретением, а Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250) распространил его по Европе. Любопытно, что только в XIX веке английский математик Огастес де Морган (1806-1871) начал использовать вариант ?/b, исходя из интересов книгопечатания, поскольку в изданиях выражение
a/b
занимает три строчки, в то время как предыдущее — только одну.
Ньютон был первым, кто применил степени для представления дробей и корней. Так, он использовал а-1для обозначения
1/a
и а3/5— для 5?а3.Символ ? для корней — как деформация буквы r — начал использоваться в XVI веке.
Англичанин Роберт Рекорд (1510-1558) первым ввел символ =, поскольку считал, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии. Однако потребовался почти век, чтобы этот знак приняли в качестве распространенного символа. Декарт, например, пользовался символом ? (у его символа раскрытие было слева). Символы<и>для обозначения меньшего и большего появились только в начале XVII века благодаря англичанину Томасу Хэрриоту (1560-1621).
Другим важным элементом вычисления было понятие функции. Французу Николаю Орезмскому приписывают авторство примитивного понятия функции, которую он определял так: «Все, что варьирует, вне зависимости от того, можно ли это измерить, можно вообразить в виде непрерывной величины, представленной отрезком». Именно Декарт начал работать с данным понятием как с отношением между двумя переменными, которое можно представить в виде кривой. С него, кстати, пошла традиция пользовался первыми буквами алфавита для обозначения констант и последними — для переменных, как мы это делаем и сегодня.
Первое ясное представление о функциональном отношении появилось благодаря шотландцу Джеймсу Грегори, который указывал, что переменная зависит от нескольких выражений, если ее можно получить из них с помощью любой вообразимой операции.
ЗАПИСЬ ЛЕЙБНИЦА
Лейбниц очень осторожно относился к выбранной записи и посвящал много времени ее совершенствованию. Он был первым, кто начал использовать точку (·) для обозначения действия умножения, поскольку символ х можно перепутать с переменной.
Лейбниц также был первым, кто стал использовать символ : для деления — из тех же соображений, которыми позже руководствовался Морган. Он писал:
«а, деленное на b, обычно обозначают
a/b
однако очень часто предпочтительно избегать этого и продолжать в том же абзаце, воспользовавшись вставкой двух точек; то есть
а : b обозначает а, деленное на b».
Швейцарец Иоганн Генрих Ран за несколько лет до этого применил знак для обозначения деления. Данный символ прижился в Англии и используется в англо-саксонских странах, в то время как в большинстве других стран принято обозначение Лейбница.
Лейбниц также был первым человеком, употреблявшим слово функция в своих работах, хотя это еще было не то же самое понятие, которое подразумеваем мы. Именно Иоганн Бернулли первым использовал это слово и дал ему конкретное определение: «Функция переменной определяется как величина, состоящая неким образом из переменной и констант»; под «неким образом» предполагается как «алгебраически», так и «трансцендентно». Кроме того, он был первым, кто использовал слова константа, переменная и параметр.
Лейбниц начал пользоваться аббревиатуройomnдля вычисления интеграла. Это слово применял Кавальери, оно происходит от латинского omnia lineas (все линии), поскольку площадь интеграла складывается из множества линий, являющихся неделимыми. В рукописи 1675 года Лейбниц решил заменитьomnсимволом, который мы используем сегодня: ?. Однако впервые слово интеграл ввел Якоб Бернулли — в первой статье, где был представлен его анализ (напечатана в «Актах ученых» в 1690 году).
Лейбниц выяснил, чтоomnувеличивает свое значение, поскольку происходит сложение, а обратная ей операция — нахождение производной — должна вести к уменьшению. Можно сказать, что отп суммировались, а обратная операция вычиталась, поэтому для обозначения разности во второй операции ученый использовал символ d. Изначально Лейбниц ставил d в знаменателе. Он писал: «Это получается обратным вычислением. Предположим, что ?l = уа. То есть
l = y?/d.
тогда точно так же, как ? растет, d уменьшается в размерах». Позже Лейбниц уже помещал d в числитель.
В первой статье об анализе 1684 года уже присутствовал символ d для обозначения дифференцирования, а во второй статье 1686 года появился символ ? и даже dx внутри интеграла.
С тех пор как в 1676 году Лейбниц стал советником дома Брауншвейг-Люнебург при ганноверском дворе, он тратил много сил на службу герцогу во всем. Ученый предлагал много проектов тем, кто, как он считал, могли ими заинтересоваться. Он пользовался свободой и поддержкой в занятиях, которые казались ему интересными. Кроме того, поездки, связанные с выполнением поручений герцога, позволяли Лейбницу общаться с учеными, техниками, теологами и философами из разных стран.
В июне 1698 года после затяжной болезни умер Эрнст Август, за время правления которого герцогство Брауншвейг- Люнебург стало курфюршеством. Герцога сменил его сын Георг Людвиг, позже ставший королем Великобритании Георгом I. Отношения Лейбница с новым покровителем не были столь теплыми, как с его отцом и дядей. Наоборот, они были натянутыми до такой степени, что когда Георг переехал в Англию, он не позволил Лейбницу отправиться с ним, вынудив его остаться на континенте.
ГЛАВА 4
Гений не только в математике
В XVII веке еще существовали виртуозы, которые разрабатывали великие идеи как в теории, так и на практике, обладая очень широким кругом интересов. Одним из таких ярких примеров является Лейбниц, пионер геологии и палеонтологии — наук, которые только зарождались. Кроме того, он вложил весь свой гений в механику, особенно в динамику, изучая силы, влияющие на движение.
Курфюрст Эрнст Август скончался 23 июня 1698 года, и к власти пришел его сын Георг Людвиг. Лейбниц сохранил свою должность, и хотя вначале казалось, что ничего не изменилось, постепенно стало ясно: отношения с новым курфюрстом у ученого не сложились. Георг Людвиг никогда не поддерживал разнонаправленную деятельность Лейбница.
Основной работой ученого по-прежнему было написание истории правящей династии герцогства Брауншвейг-Люнебург, но даже спустя восемь лет ощутимых результатов всееще не было. Хотя Лейбниц постоянно сообщал о том, какие места он посетил и какие действия предпринял, курфюрст всегда оставался недоволен. В письме своей матери Софии герцог жаловался на то, что он никогда не знает, где находится Лейбниц, и что тот всегда говорит о каких-то несуществующих книгах, над которыми работает.
В 1698 и 1700 годах Лейбниц издал два тома не публиковавшихся ранее немецких исторических хроник под названием Accessaries historicae. Он также опубликовал первое собрание документов из герцогской библиотеки.
Начиная с 1698 года София Шарлотта регулярно приглашала Лейбница посетить Берлин, но он получил разрешение на поездку только через два года, когда курфюрст Бранденбурга поручил ему заняться созданием Прусской академии наук.
В то время Лейбниц уже был немолод и имел проблемы со здоровьем, которые будут преследовать его до конца жизни. Он часто страдал от головных болей и лихорадки, а в последние годы его мучили подагра и артрит. Многие болезни не позволяли Лейбницу путешествовать так, как он этого хотел, и служили предлогом, часто реальным, для тогочтобы не возвращаться немедленно в Ганновер, когда того требовал курфюрст.
Приехав в Берлин, Лейбниц попытался добиться помощи Филиппа Ноде (1654-1729), придворного математика, чтобы продолжить заниматься двоичной системой. В этот период он несколько раз искал себе в помощники какого-нибудь молодого математика, надеясь закончить исследования, работа над которыми уже давалась ему с трудом. Лейбниц получил несколько числовых таблиц, созданных Ноде, в двоичной записи, включавших числа до 1023, то есть те, что могут быть записаны максимум с помощью десяти цифр.
