новых образовательных программ с узкой специализацией, где каждый может найти для себя область по душе, если это позволяют итоговые оценки. Но в XVII веке возможности ученых были куда более скромными. В эпоху Возрожденияпризнавались и преподавались в университетах лишь несколько наук: теология, философия, право и медицина. Поэтому интеллектуалы того времени поступали на факультеты медицины, поскольку именно она была наиболее близка к их интересам и в данной сфере они могли получить самое лучшее по тем меркам научное образование. Так как Лейбниц, несмотря на его интерес к метафизике и математике, изучал право, его познания в области физики нельзя было назвать блестящими: он убедился в этом, как только начал общаться с образованными людьми из других стран.

ФИЛОСОФСКИЕ КОМБИНАЦИИ

Хотя в этой книге мы преимущественно собираемся осветить деятельность Лейбница в сфере точных наук, мы не можем полностью оставить в стороне его философские взгляды.

РАЙМУНД ЛУЛЛИЙ

Раймунд Луллий, или Рамон Льюль, (ок. 1232-1315) — майоркский философ, теолог, мистик и миссионер. Он считается изобретателем розы ветров и прибора для определения времени по положению звезд на ночном небе под названием ноктурлабиум. Когда Луллий родился, Майорка была только что присоединена к Королевству Арагон правителем Хайме I.В это время на острове без проблем соседствовали представители трех великих цивилизаций — христианской, еврейской и арабской,— так что Луллий вырос в обстановке терпимости к чужим взглядам и имел возможность обогатиться культурно. Он занимал разные должности при Арагонском дворе, в частности был мажордомом и сенешалем будущего короля Хайме II Майоркского. В 30 лет Луллий оставил должность и семью, чтобы проповедовать на дорогах, изучая теологию и арабский язык. Позже он закрылся в монастыре с целью изучать латынь, грамматику и философию. У него были три навязчивые идеи: крестовый поход в Святую Землю, обращение неверных и разработка метода рационального доказательства истин веры. [Картинка: img_1.jpg]

Францисканский орден

В 1295 году Луллий вступил во францисканский орден, стремясь обрести знания, недоступные для светского человека. Он практически безуспешно проповедовал у дверей мечетей и синагог, а также присутствовал на Вьеннском соборе, созванном в 1308 году папой Климентом V. Далее Луллий отправился миссионером в Африку, где ему пришлось пережить немало неприятностей. Умер он на площади в Тунисе в 1315 году, будучи побит камнями толпой мусульман, и после смерти был причислен к лику святых. Луллий написал много книг на самые разнообразные темы, такие как грамматика, образование, наука и философия.

Дело в том, что первые в его работах довольно тесно переплетаются со вторыми: ученый использует в своих философских рассуждениях и математические, и физические аспекты. Не стоит забывать, что Лейбниц решил заниматься механистической философией, неотъемлемой частью которой является наука.

Одним из философов, повлиявших на Лейбница в молодости, был Раймунд Луллий. Разберем некоторые нюансы его работы, которые помогут нам составить представление о том, как развивалась его философия. Но сначала рассмотрим появляющийся в ней математический аспект.

Мы можем считать комбинаторику частью математики, изучающей форму, в которой можно выбирать, группировать и располагать ряд объектов. Комбинаторика присутствует во многих ситуациях нашей жизни. Когда группа друзей или коллег задумывает на Рождество подарок «скрытому другу» — это перестановка порядка выбирающих людей. Три книги, выбираемые нами наугад, чтобы взять с собой в отпуск, — это одно сочетание среди многих возможных. В олимпийском беге, в котором участвуют восемь атлетов, способ нахождения призеров — размещение этих спортсменов, среди которых мы выбираем трех.

Как мы видим из предыдущих примеров, в перестановках мы выбираем все элементы и располагаем их в ином порядке. Чтобы найти количество возможных комбинаций, достаточно найти факториал этой величины. Факториал натурального числа п (который обозначается п\) — это произведение натуральных чисел от 1 до этого числа:

n! = n(n-1)(n-2)• … • 3 • 2 • 1.

Например, если у нас есть пять книг, которые мы располагаем на полке, не устанавливая никакого конкретного порядка, количество способов это сделать будет равно:

5! = 5• 4 • 3 • 2 • 1 = 120 различных расположений.

Достаточно представить, что на первом месте может оказаться любая из пяти книг. Для каждого из этих пяти вариантов на второе место мы можем поместить любую из четырех оставшихся книг, на следующее — любую из трех оставшихся, и так до последнего места, для которого есть только один вариант, поскольку остается только одна книга.

Случай с размещениями похож на предыдущий: важен порядок, в котором выбираются элементы. Но выбираются не все из них, поэтому для их нахождения нам не нужно доходить до 1 в конечном произведении. Предположим, что нам нужно разместить на полке только две книги из пяти имеющихся. Если мы осуществим рассуждение, подобное предыдущему, число возможных выборов будет равно 5 х 4 = 20. В целом количество размещений п элементов, из которых мы берем только г, задано выражением:

Vrn= n(n-1)• … • (n-r+1),

где количество множителей равно r, начиная с n.

Наконец, в сочетаниях нас не интересует порядок, мы только хотим знать, сколько существует различных вариантов выбора подмножеств из множества заданных объектов. Допустим, у нас есть набор монет, в котором присутствует только одна монета каждого номинала от 1 евроцента до 2 евро. Если нам дадут три монеты, нас не будет интересовать порядок, в котором они у нас появятся; как известно, от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Чтобы найти количество сочетаний п объектов, взятых по г, мы пользуемся таким выражением: [Картинка: img_2.png]

Следующее выражение соответствует частному между факториалами, называемому числом сочетаний: [Картинка: img_3.png]

Итак, если бы мы хотели вычислить, сколько групп из 3 книг мы можем выбрать из возможных 15, нам пришлось бы вычислять число сочетаний 15 элементов взятых по 3, что далобы: [Картинка: img_4.png]

Но комбинаторика почти с начала времен используется не только в математике, как можно было бы подумать, но и во многих других дисциплинах. Упоминания о перестановках встречаются в древних ассирийских текстах или в греческих источниках. В иудейских документах утверждается, что буквы алфавита расставлены мистическим образом и, если правильно скомбинировать символы и знаки, можно получить любое создание. В самом Талмуде говорится, что с помощью перестановки букв, которым приписывается числовое значение, можно воспроизвести структуру мира. Каббала, которая может быть рассмотрена как система взглядов, раскрывающая аспекты, связанные с человеком, причиной его существования, его предназначением в жизни и так далее, — это наука о числах. В ней раскрывается, помимо прочего, тайный смысл слов, для чего используются три метода: гематрия (наука о числовом значении букв), нотарикон (наука о первой, срединной и последней буквах слов) и темура (наука о перестановке и сочетании букв). Нечто подобное существует и в арабской культуре, где на основе 28 букв, составляющих алфавит, каждая из которых символизирует целое число, открывается бесконечное количество сочетаний.

ARS MAGNA

Целью Раймунда Луллия было найти методы для обращения в христианство евреев и арабов, поэтому он подробно изучал их основные воззрения. Следовательно, на его философию повлияли обе эти культуры. Не углубляясь в детальное изучение его работы, упомянем аспекты, связанные с вычислением, оказавшие влияние на Лейбница.

Ars magna («Великое искусство»), работа Луллия, опубликованная в 1308 году, преследует главную цель — познание Бога. Она основана на комбинаторной логике, и в ней сделана попытка найти все существующие в мире знания на основе нескольких понятий и принципов, которые, благодаря своим сочетаниям, могут охватить все науки. Ars magna тесно связана с логическим рассуждением, и в ней утверждается, что логика служит не только для того, чтобы установить справедливость умозаключений, но и для того, чтобы создавать новые умозаключения с помощью их сочетаний. В работе выделяется ряд принципов, абсолютных и относительных. Первые соответствуют свойствам Бога, в то время как вторые относятся к понятиям взаимодействия между объектами. Луллий связывает алфавит со свойствами Бога. Например, А соответствует самому Богу, следующие буквы — Его различным достоинствам…ДобротаВМогуществоЕДобродетельНВеличиеСМудростьFИстинаIВечностьDВоляGСлаваJ

Если мы вычислим число сочетаний этих элементов, взятых по два, то получим сумму возможных суждений: [Картинка: img_5.png]

результаты представлены в следующей таблице.ВСCDDEEFFGGHHIUBDСЕDFEGFHGIHJ BECFDGЕНFIGJ BFCGDHEIFJ  BGСНDIEJ   ВНCIDJ    BICJ     BJ      

В качестве дополнения Луллий создал ряд из четырех аксиоматических фигур, смешав одни начала с другими. Ему нужно было механически осуществить то, что ему не позволяли сделать скудные математические познания. Одна из таких фигур соответствовала предыдущей таблице, другая — это круг (как на рисунке 1), поделенный на девять секторов, в которых находились абсолютные начала. На этом круге все достоинства равноудалены от центра, где находится Бог. Под каждой буквой располагается существительное и прилагательное, и каждый сектор связан с другими восьмью, указывая все возможные сочетания. Их можно перемешивать, при этом существительные превращаются в прилагательные и получается, например, великая доброта или доброе величие.

Другая фигура является чем- то вроде комбинаторной машины, в которой находятся три концентрических круга: наименьший вертится относительно среднего, средний — относительно наибольшего, а наибольший остается неподвижен. Таким образом выбираются понятия, которые выстроены в линию на дисках. [Картинка: img_6.jpg]

РИС.1 [Картинка: img_7.jpg]

РИС. 2

Фигуры, придуманные Раймундом Луллием для своей логической машины, включенные в Ars Magna.

СОЧИНЕНИЕ ОБ ИСКУССТВЕ КОМБИНАТОРИКИ

Признано, что Луллий повлиял на Лейбница, хотя последний критиковал работу первого, говоря, что его искусство…

«…всего лишь тень настоящего искусства комбинаторики […]. Он далек от этого искусства так же, как хвастун далек от человека красноречивого и в то же время твердого».

Однако некоторые авторы утверждают, что Лейбниц был захвачен Ars magna и что она послужила основой его идей о комбинаторике.

В 1666 году Лейбниц опубликовал свое сочинение «Об искусстве комбинаторики», в котором он представлял новые результаты в области логики и математики. Именно тогда впервый раз было использовано слово «комбинаторика» в том смысле, в котором мы применяем его сегодня. В зрелые годы Лейбниц раскаялся в том, что опубликовал эту работу, поскольку не считал ее достаточно продуманной. Однако в ней представлены его философские интересы и направления дальнейших поисков, несмотря на то что он к тому времени еще не решил посвятить себя какой-либо конкретной науке. Для Лейбница философские идеи были гораздо важнее, чем математические. В этом нет