произведенна другим человеком, также не стоит благодаря этому почти никакого труда, так как можно сразу проверить те же самые следы. Этот метод дает еще очень удобное средство проверить счет по каждой статье, причем эти отметки не дают значительного увеличения труда подсчета. Все это показывает, что люди могут иметь строгие доказательства на бумаге и, несомненно, имеют их бесконечное множество.

Но без воспоминания о проявлении в прошлом такой строгой точности нельзя обладать в душе этой достоверностью.

Эта точность заключается в методичности, соблюдение которой по отношению к каждой части являетс гарантией по отношению к целому: так, при испытании цепи, рассматривая каждое звено ее, чтобы убедитьс в прочности его, и аккуратно перебрав звенья руками, так чтобы не перескочить ни через одно, мы убеждаемс в доброкачественности всей цепи. Таким способом мы добиваемся всей той достоверности, на какую только способен человек. Но я не согласен с Вашим утвержденном, будто в математике частные доказательства на чертеже доставляют общую достоверность. Надо знать, что доказательства геометрам доставляют не чертежи, хотя эктетическое изложение 335 заставляет так думать. Сила доказательства независима от чертежа, служащего только для облегчения понимания того, что желают сказать, и дл фиксирования внимания. Доказательства основаны на общих положениях, т. е. на определениях, аксиомах и доказанных уже теоремах, хотя бы при этом не было никакого чертежа. Поэтому один ученый геометр, Шейбель 336, дал чертежи Евклида без обозначения их буквами, на которые можно было бы ссылаться в приводимом при этом доказательстве, а другой геометр, Герлин 337, свел эти самые доказательства к силлогизмам и просиллогизмам.

Глава II

О СТЕПЕНЯХ НАШЕГО ПОЗНАНИЯ

§ 1. Ф и л а л е т. Познание интуитивно, когда дух замечает соответствие двух идей непосредственно по ним, самим, без вмешательства какой-либо другой идеи. В этом случае дух без всякого труда доказывает или проверяете истину. Подобно тому как глаз видит свет, так дух видит,; что белое не есть черное, что круг не есть треугольник, что три — это два и один. Такого рода знание самое ясное

==368

и самое достоверное, на которое способен наш слабый разум. Оно действует неотразимым образом, не позвол духу колебаться. Это знание того, что идея в духе такова, какой он ее воспринимает. Кто требует большей достоверности, тот не знает, чего он требует.

Т е о ф и л. Первоначальные истины, которые мы знаем благодаря интуиции, бывают, как и производные истины, двух родов. Они либо истины разума (de raison), либо истины факта (de fait). Истины разума необходимы, а истины факта случайны. Первоначальные истины разума — это те, которым я даю общее название тождественных, так как они, по-видимому, повторяют только то же самое, не сообщая нам ничего нового. Они бывают утвердительными или отрицательными. К утвердительным относятся следующего рода истины: всякая вещь есть то, что она есть. В любом случае А есть А, В есть В. Я буду тем, чем я буду. Я написал то, что написал. Ничто как в стихах, так и в прозе — это ничто или почти ничего. Равносторонний прямоугольник есть прямоугольник. Разумное животное все же животное. В гипотетических предложениях: если правильная четырехсторонняя фигура — равносторонний прямоугольник, то эта фигура — прямоугольник.

Соединительные, разделительные и другие предложени тоже могут быть типа тождественных. К утвердительным суждениям я отношу также предложение: «Не-А есть не-А» — и следующее гипотетическое предложение: «Если А есть не-В, то отсюда следует, что А есть не-В». Точно так же: «Если не-А есть ВС, то отсюда следует, что не-А есть ВС». Если фигура, не имеющая тупого угла, может быть правильным треугольником, то фигура, не имеющая тупого угла, может быть правильной. Я перехожу теперь к отрицательным тождественным предложениям, которые либо основаны на принципе противоречия, либо принадлежат к [предложениям] противопоставления. Общая формулировка принципа противоречия такова: всякое предложение либо истинно, либо ложно. Это заключает в себе два истинных суждения: 1) что истинное и ложное несовместимы в одном и том же предложении или что любое предложение не может быть одновременно истинным и ложным; 2) что противоположное, т. е. отрицание ‘ истинного и ложного одновременно, несовместимо, или что нет ничего среднего между истиной и ложью, или же что невозможно, чтобы предложение не было ни истинным, ни ложным. Все это истинно также во всех мыслимых

==369

предложениях, в частности, например: «Что есть А, не может быть не-А». Или: «АВ не может быть не-А» Равносторонний прямоугольник не может быть не равносторонним.

Или же: истинно, что всякий человек животное; следовательно, ложно, что возможен человек, который не был бы животным. Эти формулировки можно варьировать на разные лады и применять их к соединительным, разделительным и прочим суждениям. Что касается предложений противопоставления (disprates), то это предложения, утверждающие, что предмет какой-нибудь идеи не есть предмет иной идеи, например, что теплота не то же самое, что цвет, или же что человек и животное не одно и то же, хотя всякий человек — животное. Все это можно утверждать независимо от какого бы то ни было доказательства или сведения к противоположности или к принципу противоречия, когда эти идеи достаточно понятны и не нуждаются при этом в анализе. В противном случае мы можем ошибиться. В самом деле, если бы мы сказали, что треугольник и тристоронник не то же самое, то мы ошиблись бы, так как при тщательном рассмотрении нашли бы, что три стороны и три угла всегда бывают вместе. Точно так же мы ошиблись бы, если бы сказали, что четырехсторонний прямоугольник и прямоугольник не одно и то же, так как только фигура с четырьмя сторонами может иметь все свои углы прямыми. Однако всегда можно абстрактно утверждать, что треугольник не есть тристоронник или что формальные основания треугольника и тристоронника. Как выражаются философы, не одни и те же. Это различные отношения одной и той же вещи.

Возможно, что кто-нибудь, прослушав терпеливо то, что мы только что сказали, потеряет наконец терпение и скажет, что мы тратим время на составление пустых предложений и что все тождественные истины ничего не стоят. Но так могут думать люди, недостаточно размышлявшие над этим вопросом. Так, например, в логике выводы доказываются при помощи тождественных принципов, да и геометры нуждаются в принципе противоречия при своих доказательствах от противного. Мы ограничимся здесь доказательством пользы тождественных суждений при доказательстве логических форм вывода. Итак, утверждаю, что достаточно одного принципа противоречия, чтобы доказать вторую и третью фигуры силлогизма при помощи первой. Например, в первой фигуре можно умозаключи » по модусу Barbara:

==370

Всякое В есть С; всякое А есть В.

Следовательно, всякое А есть С.

Предположим, что это заключение ложно (или истинно, что некоторое А не есть С), следовательно, та или иная из посылок будет ложной. Предположим, что вторая посылка истинна, следовательно, ложна первая, утверждающая, что всякое В есть С. Следовательно, противоположное ей суждение, именно что некоторое В не есть С, истинно. Это будет заключением нового силлогизма, выведенного из ложности заключения и истинности одной из посылок предыдущего силлогизма. Вот этот новый силлогизм: Некоторое А не есть С.

Это предложение противоположно предыдущему заключению, принятому теперь за ложное.

Всякое А есть В.

Это предыдущая меньшая посылка, предположенная истинной.

Следовательно, некоторое В не есть С.

Это теперешнее истинное заключение, противоположное предыдущей ложной большой посылке.

Этот силлогизм составлен по модусу Disainis третьей фигуры, который, таким образом, выводится очевидно и сразу из модуса Barbara первой фигуры при помощи одного только принципа противоречия 338. Уже в молодости, когда я занимался этими вопросами, я заметил, что все модусы второй и третьей фигур могут быть выведены из первой фигуры при помощи одного только этого метода.

Для этого надо предположить, что модус первой фигуры правилен и что, следовательно, если считать заключение ложным (или противоположное ему суждение истинным) и принять за истинное также одну из посылок, то суждение, противоположное другой посылке, должно быть истинным.

Правда, в логических школах для вывода второстепенных фигур из первой, главной фигуры предпочитают пользоватьс обращениями, так как это кажется более удобным для преподавания. Но лицам, ищущим те основани доказательств, при которых нужно пользоваться минимумом предположений, нельзя доказать при помощи предположения обращения то, что можно доказать при помощи одного только основного принципа противоречия, ничего более не предполагающего. Я сделал даже следующее наблюдение, которое кажется мне достойным внимания: только те второстепенные фигуры, которые

==371

можно назвать прямыми, — а именно вторая и третья -, могут быть доказаны при помощи одного только принципа противоречия. Что же касается второстепенной непрямой фигуры, именно четвертой, открытие которой арабы приписывают Галену , хотя мы не находим ничего подобного ни в дошедших до нас трудах его, ни у других греческих авторов, то она страдает тем недостатком, что не может быть выведена из первой, или главной, фигуры при помощи одного этого метода и что надо прибегнуть еще к другому предположению, именно к обращениям. Таким образом, она на одну ступень дальше от первой фигуры, чем вторая и третья, находящиеся от нее на одинаковом расстоянии. Между тем четвертая фигура для своего доказательства нуждается во второй и третьей. Действительно, сами обращения, в которых она нуждается, доказываются при помощи второй и третьей фигур, доказуемых, как я это только что показал, независимо от обращения. Уже Петр Рамус 340 сделал это замечание о доказуемости обращения при помощи этих фигур. Если я не ошибаюсь, он упрекал в порочном круге логиков, пользующихся для доказательства этих фигур обращением, хотя, собственно говоря, их следовало упрекать не столько в порочном круге (так как для оправдания обращения они не пользовались в свою очередь этими фигурами), сколько в hysteron proteron, или заключении навыворот, так как следовало бы скорее доказать обращения этими фигурами, чем эти фигуры обращениями. Но так как это доказательство обращений показывает также пользу утвердительных тождественных предложений, которые многие принимают за совершенно пустые, то здесь будет уместно привести его.

Я займусь только обращениями без противоположения, которых для меня здесь достаточно и которые бывают либо простыми, либо так называемыми par accident. Простые обращения бывают двух родов: 1) обращение общеотрицательного суждения, как, например: ни один квадрат не тупоуголен, следовательно, ни один тупоугольник не есть квадрат; 2) обращение частноутвердительного суждения, как, например: некоторые треугольники тупоугольны, следовательно, некоторые тупоугольники суть треугольники.

Но так называемое обращение par accident имеет дело с общеутвердительными суждениями, как, например: всякий квадрат есть прямоугольник, следовательно, некоторые прямоугольники суть квадраты. Под прямоугольником здесь всегда понимают фигуру, все углы которой

==372

прямые, а под квадратом понимают правильную четырехстороннюю