фигуру. Теперь остается доказать три рода обращений, имеющих следующий вид: 1. Ни одно А не есть В; следовательно, ни одно В не есть А.

2. Некоторые А суть В; следовательно, некоторые В суть А.

3. Все А суть В; следовательно, некоторые В суть А Доказательство первого обращения происходит по модусу Cesare второй фигуры: Ни одно А не есть В; все В суть В; следовательно, ни одно В не есть А.

Доказательство второго обращения происходит по модусу Datisi третьей фигуры: Все А суть А; некоторые А суть В; следовательно, некоторые В суть А.

Доказательство третьего обращения происходит по модусу Darapti третьей фигуры: Все А суть А; все А суть В; следовательно, некоторые В суть А.

Отсюда ясно, что самые чистые и кажущиеся самыми бесполезными тождественные предложения имеют большое значение в области абстрактного и общего. Это показывает нам, что не следует пренебрегать никакой истиной. Что же касается предложения, что три — это два и один, которое Вы также приводите в качестве интуитивных знаний, то я скажу Вам, что это просто определение термина три, так как самые простые определения чисел составляют именно таким способом: два — это один и один, три — это два и один, четыре — это три и один и т. д. Правда, здесь заключается некоторое скрытое суждение, на которое я уже указывал, а именно что идеи эти возможны. Это познаетс здесь интуитивно; поэтому можно сказать, что интуитивное познание заключается в определениях, когда их возможность сразу ясна. Подобным же образом все адекватные определения содержат в себе первоначальные рациональные истины и, следовательно, интуитивные познания. Наконец, можно вообще сказать, что все первоначальные рациональные истины непосредственны непосредственностью идей.

Что касается первоначальных фактических истин, то

==373

это внутренний непосредственный опыт, непосредственный непосредственностью чувства. Сюда относитс первая истина картезианцев или блаженного Августина: я мыслю, следовательно, я существую, т. е. я есть мыслящая вещь 341. Следует, однако, помнить, что, подобно тому как тождественные предложения бывают общими или частными, и что первые столь же ясны, как и вторые (ибо утверждение, что А есть А, столь же ясно, как и утверждение, что вещь есть то, что она есть}, так же обстоит дело и с первоначальными фактическими истинами. Для меня не только непосредственно ясно, что я мыслю, но столь же ясно, что я имею различные мысли, что иногда я мыслю об А, а иногда о В и т. д. Таким образом, картезианский принцип правилен, но он не единственный в своем роде.

Отсюда видно, что всем первоначальным рациональным или фактическим истинам общо то, что их нельзя доказать при помощи чего-нибудь более достоверного.

§ 2. Ф и л а л е т. Я очень рад, милостивый государь, что Вы углубили вопрос об интуитивных знаниях, которого я только коснулся. Но демонстративное познание являетс лишь сцеплением интуитивных знаний через все связи опосредствующих идей. Часто дух не может соединить между собой, сравнить или непосредственно приложить друг к другу идеи, и это заставляет его пользоваться дл открытия искомого соответствия или несоответстви другими, опосредствующими (одной или несколькими) идеями. Это называют рассуждением. Так, при доказательстве того, что три угла треугольника равны двум прямым, мы отыскиваем некоторые другие углы. которые оказываются равными как трем углам треугольника, так и двум прямым. § 3. Такие опосредствующие идеи называютс доказательствами (preuves), а способность духа находить их называется проницательностью. § 4. Даже когда они найдены, то знания приобретаются не без труда и напряжения и не с первого взгляда; здесь приходится следовать за медленным и постепенным движением идей вперед. § 5. Доказательству предшествуют сомнения. § 6. Это знание менее ясно, чем интуитивное, подобно тому как изображение, отраженное несколькими зеркалами друг от друга, все более тускнеет с каждым отражением, и его уже не так легко сразу узнать, особенно три плохом зрении. То же самое можно сказать о знании, получаемом в результате длинного ряда доказательств. § 7. И хотя каждый шаг разума при доказательстве представляет собой

==374

интуитивное познание или простую очевидность, тем не менее люди часто принимают ошибочные суждения за доказательства, так как при длинном ряде доказательств память не сохраняет с полной точностью этой связи идей.

Т е о ф и л. Помимо естественной или приобретенной путем упражнения проницательности существует особое искусство находить промежуточные идеи (medium), и это искусство называется анализом. Здесь полезно заметить, что дело идет иногда о том, чтобы выяснить истинность или ложность некоторого данного предложения, что представляет не что иное, как ответ на вопрос: «Так ли? (An?) «, т. е. так ли это или не так? Иногда — о том, чтобы ответить на более трудный (ceteris paribus) 342 вопрос, когда спрашивают, например, почему и как и когда приходится вносить больше дополнений. Такие именно вопросы, в которых часть предложения остается незаполненной, математики называют проблемами. Мы имеем проблему, когда требуется найти зеркало, собирающее все солнечные лучи в одной точке, т. е. когда спрашивается, какова форма этого зеркала или как оно сделано. Что касается вопросов первого рода, в которых речь идет только об истинном или ложном и в которых не приходится ничего дополнять ни в субъекте, ни в предикате, то здесь требуется меньше изобретательности, однако она все-таки требуется, и одной рассудительности здесь недостаточно. Правда, рассудительный человек, т. е. человек внимательный, осторожный и располагающий досугом, терпением и необходимой свободой духа, может понять самое трудное доказательство, если оно изложено как следует. Но самый рассудительный человек в мире, не имеющий ничего, кроме рассудительности, не всегда способен будет найти это доказательство.

Таким образом, и в этом имеется некоторая изобретательность, и у геометров ее было некогда больше, чем имеется теперь. В самом деле, когда анализ был меньше разработан, для достижения этого требовалось больше проницательности, и вот почему еще и теперь некоторые геометры или другие математики старого закала, недостаточно еще усвоившие новые методы, думают, что они сделали бог весть что, когда они нашли доказательство какой-нибудь открытой другими теоремы. Но лица, опытные в искусстве изобретения, знают, когда это ценно, а когда нет. Так, например, если кто-нибудь сообщит о найденной им квадратуре площади, расположенной между некоторой кривой и прямой, — квадратуре, которая применима ко

==375

всем сегментам этой кривой и которую я называю общей, то мы всегда в состоянии, если только захотим этого, пользуясь нашими методами, найти доказательство ее. Но имеются частные квадратуры некоторых отрезков, где вопрос может быть столь запутанным, что до сих пор не всегда в нашей власти распутать его. Бывает также, что путем индукции мы открываем в науках о числах и фигурах такие истины, общее основание которых еще не удалось открыть. Ведь мы еще очень далеки от полного совершенства анализа в геометрии и в арифметике, как это многие воображают на основании хвастливых заявлений некоторых вообще превосходных, но слишком торопливых или слишком тщеславных людей.

Однако гораздо труднее открыть важные истины, и еще труднее найти средства отыскать то, что ищешь, именно тогда, когда его ищешь, чем найти доказательство открытых кем-нибудь другим истин. Часто приходят к прекрасным истинам путем синтеза, идя от простого к сложному. Но как раз тогда, когда требуется найти средство выполнить поставленную себе задачу, обыкновенно синтеза бывает недостаточно, и часто было бы безнадежным делом желать произвести все нужные дл этого комбинации, хотя иногда можно облегчить себе дело методом исключений, устраняющим добрую часть бесполезных комбинации. Часто суть дела не допускает другого метода, но мы не всегда можем должным образом следовать этому. Таким образом, дело анализа — дать нам путеводную нить в этом лабиринте, если это возможно, потому что встречаются случаи, когда по самому характеру вопроса приходится идти ощупью, так как сокращенные пути не всегда возможны.

§ 8. Ф и л а л е т. Так как при доказательство всегда предполагают интуитивные знания, то это, я думаю, дало повод к следующей аксиоме: «Всякое умозаключение вытекает из уже известных и уже признанных вещей (е praecognitis et praeconcessis) «. Но мы будем иметь случаи поговорить об ошибке, заключающейся в этой аксиоме, когда мы рассмотрим правила, ошибочно принимаемые за основы наших умозаключений.

Т е о ф и л. Мне любопытно было бы узнать, какую ошибку Вы можете найти в этой столь разумной, кажется, аксиоме. Если бы нужно было всегда сводить псе к интуитивному познанию, то доказательства были бы часто нестерпимо растянуты. Поэтому математики поступили

==376

умно, разделив трудности и доказывая отдельно промежуточные теоремы. Но и в этом нужно искусство. В самом деле, так как промежуточные истины (которые называют леммами, поскольку они кажутся чем-то побочным) могут быть получены различными способами, то для облегчения понимания их и запоминания полезно выбрать такие, которые дают значительные сокращения и которые сами по себе кажутся достойными доказательства и запоминания.

Но существует еще и другое препятствие, именно что нелегко доказать все аксиомы и целиком свести доказательства к интуитивным знаниям. Если бы стремились к этому, то, может быть, мы до сих пор не имели бы науки геометрии. Но мы уже говорили об этом в наших первых беседах, и мы будем иметь еще случай поговорить об этом подробнее.

§ 9. Ф и л а л е т. Мы к этому вскоре перейдем. Теперь же я укажу еще раз на то, чего я касался уже неоднократно, именно что считается общепринятым, будто только в математических науках возможна демонстративна достоверность. Но так как согласие и несогласие, доступное интуитивному познанию, не есть привилегия одних только идей чисел и фигур, то, может быть, лишь благодар отсутствию у нас прилежания одна математика стала демонстративной наукой. § 10. Этому способствовало несколько обстоятельств. Математические науки полезны в самых различных областях; малейшая разница в числах здесь легко заметна. § 11. У других простых идей, представляющих вызываемые в нас ощущения или явления, нет точной меры для их различных степеней. § 12.

Но когда разница этих видимых качеств достаточно велика, чтобы вызвать в духе ясно отличающиеся одна от другой идеи, как, например, идеи синего и красного, то они так же поддаются демонстративному познанию, как и идеи числа и протяжения.

Т е о ф и л. Имеются довольно значительные примеры демонстративного познания вне математики, и можно сказать, что Аристотель дал их уже в своей «Первой аналитике». В самом деле, логика столь же доступна Демонстративному познанию, как и геометрия, и можно сказать, что логика геометров, или методы доказательства, выясненные и установленные Евклидом применительно к теоремам, являются распространением или частным случаем