они неоднократно пытались доказать эти предложения. Прокл приписывает уже Фалесу Милетскому, одному из древнейших известных нам геометров, попытку доказать предложения, которые Евклид впоследствии признавал очевидными.

Сообщают, что Аполлоний и Прокл доказывали и другие аксиомы. Покойный Роберваль, имея уже 80 лет от роду или около того, намеревался опубликовать новые «Начала геометрии», о которых я, кажется, уже говорил Вам. Может быть, этому способствовали нашумевшие тогда новые «Начала» Арно 376. Он изложил кое-что из этого на заседании Королевской академии наук, где некоторые выступили с возражениями против его попытки, исходя из аксиомы, что если к равным величинам прибавить равные величины, то получатся равные величины, доказать Другое положение, считающееся столь же очевидным, а именно что если от равных величин отнять равные величины, то останутся равные величины. Ему говорили, что он должен был либо принять оба этих положения, либо оба их доказать. Но я придерживался другого мнени н думал, что уменьшение числа аксиом является все же Достижением. К тому же сложение, несомненно, предшествует

==415

вычитанию и проще его, так как при сложении оба члена его употребляются одинаковым образом, а в вычитании нет. Арно сделал противоположное тому, что сделал Роберваль. Он принял еще больше допущении, чем Евклид. Что касается максим, то иногда под ними понимают установленные предложения, как очевидные, так и неочевидные. Это, может быть, годится для начинающих, которых останавливает скрупулезность доказательства, но иное дело, если речь идет о построении науки. Максимы принимают довольно часто в морали и даже у логиков в их топике, в которой имеется порядочный запас их, но частью они довольно неопределенны и туманны. Впрочем, я давно уже заявлял и публично, и частным образом, что было бы важно доказать все наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сведя их к первичным, или непосредственным, и недоказуемым аксиомам, представляющим собой то, что я недавно, да и в других случаях, назвал тождественными предложениями.

§ 2.

Ф и л а л е т. Познание бывает самоочевидным, когда согласие или несогласие идей сознается непосредственно.

§ 3. Но есть истины, которые вовсе не считаютс аксиомами и которые не менее самоочевидны. Посмотрим, не дают ли их нам те четыре вида согласия, о которых мы недавно говорили (гл. I, § 3 и гл. III, § 7) 377, а именно: тождество, связь, отношение и реальное существование.

§ 4. Что касается тождества и различия, то у нас столько же очевидных предложений, сколько различных идей, так как мы можем отрицать одну относительно другой, как, например, говоря, что человек не лошадь, что красное не синее. Кроме того, утверждение то, что есть человек, есть столь же очевидно, как и утверждение человек есть человек.

Т е о ф и л. Это верно, и я уже заметил, что столь же очевидно сказать эктетически в частности: А есть А, как сказать в общей форме: все есть то, что оно есть. Но не всегда правильно, как я уже тоже заметил, отрицать один относительно другого субъекты различных идей. Так, если бы кто-нибудь сказал: трехсторонник не есть треугольник, так как трехсторонность в самом деле не есть треугольность, или же если бы кто-нибудь сказал: «жемчужины» Слюзия (о которых я говорил Вам недавно) 379 — это не линии кубической параболы, то он ошибся бы, а между тем многим это показалось бы очевидным. Покойный Гарди 38 , советник при парижском Шатче 380а, превосходный геометр

==416

и ориенталист, отличный знаток произведении древних геометров, опубликовавший комментарии Марина к евклидовским «Data», был так убежден в том, будто наклонное сечение конуса, называемое эллипсом, отлично от наклонного сечения цилиндра, что доказательство Серена 381 казалось ему ошибочным, и я, несмотря на все мои возражения, ничего не мог у него добиться в этом отношении. Правда, когда я познакомился с ним, он был почти того же возраста, что Роберваль, а я был очень молодым человеком, и, конечно, такая разница в возрасте не могла придать большой убедительности моим беседам с ним, хотя вообще у нас были очень хорошие отношения.

Пример этот показывает, между прочим, какое влияние может оказать предубеждение даже на талантливых людей, а таким, несомненно, был Гарди, и в письмах Декарта о нем говорится с уважением. Но я сослался на него только дл того, чтобы показать, как можно ошибиться, отрицая одну идею относительно другой, когда их не изучили достаточно глубоко там, где это нужно.

§ 5.

Ф и л а л е т. Относительно связи или сосуществования у нас очень мало самоочевидных предложений, но все же они имеются, и, кажется, предложение «два тела не могут находиться в одном и том же месте» самоочевидно.

Т е о ф и л. Многие христиане, как я уже заметил, станут возражать против этого, и даже Аристотель и, кто после него допускает реальные сгущения в точном смысле слова, благодаря которым одно и то же тело может занимать меньшее место, чем оно занимало раньше, и кто, подобно покойному Комениусу 382, написавшему по этому вопросу специальную книжку, собирается опровергнуть современную философию на основании опытов с духовым ружьем, те тоже не могут согласиться с этим. Если Вы назовете телом непроницаемую массу, то Ваше предложение будет истинным, так как оно будет тождественным или почти тождественным, но тогда станут отрицать, что реальные тела таковы. Во всяком случае, скажут, что Бог мог бы устроить иначе, так как эта непроницаемость допустима только как нечто соответствующее естественному порядку вещей, который установлен Богом и в котором убеждает нас опыт, хотя, впрочем, следует признать, что она вполне соответствует также разуму.

§ 6.

Ф и л а л е т. Что касается отношений модусов, то математики построили множество аксиом для одного только отношения равенства вроде той аксиомы, о которой

==417

Вы только что говорили: «Если от равных величин отнять равные величины, то остатки будут равны». Но, я думаю, не менее очевидно, что один и один равны двум и что если от пяти пальцев одной руки отнимете два и от пяти пальцев другой руки также отнимете два, то число оставшихс пальцев будет равно.

Т е о ф и л. Что один и один будет два — это, собственно, не истина, а определение двух, хотя здесь истинно и очевидно то, что это определение возможной вещи. Что касается аксиомы Евклида в приложении к пальцам руки, то я готов признать, что столь же легко понять то, что Вы говорите о пальцах, как признать это относительно А и В; но, чтобы не повторять часто одно и то же, это отмечают в общей форме, а затем ужо достаточно подводить под нее отдельные случаи. Думать иначе — это все равно что предпочитать вычисление с частными числами всеобщим правилам, а это нецелесообразно.

В самом деле, лучше решить такую общую задачу: «Найти два числа, сумма которых составляет данное число, а разность которых составляет тоже некоторое данное число», чем отыскивать только два числа, сумма которых составляет 10, а разность — 6. Действительно, если я стану решать эту вторую задачу арифметическим способом, смешанным с алгебраическим, то вычисление будет происходить так: а + b=10 и а — b=6; складывая правую сторону с правой, а левую с левой, я получаю:

а + b + а — b= 10 + 6, т. е. (так как + b и — b взаимно уничтожаются) 2а = 16, или а = 8.

А вычитая правую сторону из правой и левую из левой (так как вычитать аb — это все равно что прибавлять — а 4- b), я получаю:

а + b — а + b = 10 — 6, т. е. 2b = 4, или b = 2.

Таким образом, я получу, конечно, искомые а и b, которыми будут числа 8 и 2, удовлетворяющие требованиям, т. е. сумма их составляет 10, а разность — 6. Но это не указывает мне общего метода нахождения любых других чисел, которые можно будет взять на место 10 и 6, — метода, который я мог бы, однако, найти с такой же легкостью, как и эти два числа 8 и 2, поставив на место чисел 10 и 6 — х и v. В самом деле, 1 поступая так же, как и раньше, мы получим: а + b + а — b = х + v,

т. е. 2а = х + v, или а = 1/2 (х + v) , и далее получим:

a + b – a + b=x — v,

т. о. 2b=x — v, или b =1/2 (х — v)- Вычисление это дает следующую теорему, или общее правило: «Когда требуется найти два числа, сумма и разность которых даны, то надо принять за

==418

большее из искомых чисел полусумму от данных суммы и разности, а за меньшее из искомых чисел — полуразность от данных суммы и разности». Легко видеть также, что я мог бы обойтись без букв, если бы я рассматривал числа как буквы, т. е. если бы вместо того, чтобы писать 2а=16 и 2b=4,

я написал 2а=10 + 6 и 2b=10 — 6, что дало бы мне

а =1/2 (10 + 6) и b=1/2 (10-6).

Таким образом, даже в частном вычислении я имел бы общее вычисление, приняв знаки 10 и 6 за общие числа, как если бы это были буквы х и v, чтобы получить общую истину или метод. А если бы я принял эти самые цифры 10 и 6 за те числа, которые они обыкновенно означают, то я имел бы конкретный пример, который мог бы даже служить дл проверки. И подобно тому как Виет 383, желая добитьс большей общности, подставил на место чисел буквы, так и я захотел ввести обратно в алгебру числовые знаки, так как они больше подходят к ней, чем буквы. Я нашел это очень полезным при длинных выкладках, чтобы избегнуть ошибок и даже чтобы делать здесь проверки вроде проверки девяткой посреди счета, не дожидаясь результата его, когда имеются только числа, а не буквы. Этот метод можно часто применять с успехом, если умело распоряжаться положением числовых знаков, так что предположения оказываются в частном случае истинными. Другая полезна сторона состоит в том, что таким образом можно заметить связи и законы, которые не всегда можно было бы вскрыть так легко при наличии одних только букв, как я это показал в другом месте 384, найдя, что хорошее обозначение (caracteristique) — это одно из величайших вспомогательных средств