человеческой мысли.

§ 7.

Ф и л а л е т. Что касается реального существования, которое я считаю четвертым видом согласия между идеями, то оно не может дать нам никакой аксиомы, так как мы не имеем даже демонстративного познания существования вещей вне нас, за единственным исключением бытия Божия.

Т е о ф и л. Все же можно всегда утверждать, что предложение: «Я существую» совершенно очевидно, так как это предложение, которое не может быть доказано никаким другим предложением, т. е. непосредственная истина.

Сказать: «Я мыслю, следовательно, я существую» — это, собственно говоря, не значит доказать существование при помощи мышления, так как мыслить и быть мыслящим это одно и то же; а сказать: «Я есть мыслящий» — все 14*

==419

равно что сказать: «Я есть, я существую». Однако Вы имеете известные основания исключить это предложение из числа аксиом, так как это фактическое предложение, основанное на непосредственном опыте, а не необходимое предложение, необходимость которого видна из непосредственного согласия идей. Напротив, только Бог видит, каким образом связаны между собой оба этих термина: «я» и «существование», т. е. почему я существую. Но если слово «аксиома» понимать в более общем смысле, как непосредственную и недоказуемую истину, то можно сказать, что предложение: «Я существую» есть аксиома, и во всяком случае можно утверждать, что это первична истина, или же unum ex primis cognitis inter terminos complexes 385, т. е. что это одно из познаваемых первыми предложений, имея в виду естественный порядок нашего знания, так как может быть такой человек, который ни разу не задумается над тем, чтобы сформулировать это предложение, хотя оно врождено ему.

§8.

Ф и л а л е т. Я всегда думал, что аксиомы оказывают ничтожное влияние на другие части нашего знания. Но Вы разубедили меня в этом, показав, что даже тождественные предложения имеют важное значение.

Выслушайте, однако, еще раз мои соображения по этому вопросу, так как Ваши разъяснения могут помочь и другим освободиться от заблуждений. Существует знаменитое школьное правило, что всякое рассуждение исходит из уже известного и признанного (ex praecognitis et praeconcessis). Согласно этому правилу, на максимы приходится, по-видимому, смотреть как на истины, известные духу раньше других истин, а на другие части нашего знания — как на истины, зависящие от аксиом.

§ 9. Я, кажется, доказал (кн. 1, гл. I), что эти аксиомы не первые известные нам истины, так как ребенок знает, что трость, которую я ему показываю, не сахар, который он отведал гораздо раньше, чем любую аксиому. Но Вы проводили различие между единичными познаниями или фактическими опытами и между принципами всеобщего и необходимого познания (где, как я признаю, следует прибегнуть к аксиомам), а также между случайным и естественным порядком.

Т е о ф и л. Я прибавлю еще к этому, что в естественном порядке утверждение, что некоторая вещь есть то, что она есть, предшествует утверждению, что она не другая вещь.

Ведь здесь речь идет не об истории наших открытий, ; которая различна у разных людей, но о естественной связи

==420

и естественном порядке истин, который всегда одинаков.

Но па Вашем замечании, что ребенок видит только факты, следует еще остановиться. Ведь чувственные опыты не дают абсолютно достоверных истин (как Вы это сами недавно заметили), гарантирующих от всякой опасности иллюзий. В самом деле, если позволить себе прибегнуть к метафизически возможным фикциям, то сахар мог бы незаметно превратиться в трость, чтобы наказать ребенка за плохое поведение, подобно тому как вода превращаетс у нас в сочельник в вино, если ребенок вел себя хорошо. Но вес же, скажете Вы, боль, причиняемая тростью, никогда не будет удовольствием, доставляемым сахаром. На это я отвечу, что ребенок подумает сделать из этого специальное предложение не раньше, ‘чем он обратит внимание на аксиому: «Не может быть истинным утверждение, что то, что есть, в то же время не есть», хотя он может отлично сознавать разницу между удовольствием и болью, так же как и разницу между сознанием и несознанием.

§ 10.

Ф и л а л е т. Но вот Вам множество других истин, столь же самоочевидных, как эти максимы.

Например, предложение «Один и два равны трем» столь же очевидно, как и аксиома «Целое равно всем своим частям, вместе взятым».

Т е о ф и л. Вы, кажется, забыли, что я не раз уже указывал Вам, что утверждение «Один и два — три» есть лишь определение термина «три», так что сказать: «Один и два равны трем» — все равно что сказать: «Вещь равна самой себе». Что касается аксиомы: «Целое равно всем своим частям, вместе взятым», то Евклид специально не пользуется ею, и аксиома эта нуждается в ограничении, так как здесь надо прибавить, что у самих этих частей не должно быть общей части. В самом деле, 7 и 8 — части 12, но вместе они составляют больше, чем 12. Бюст и туловище, вместе взятые, больше, чем человек, поскольку грудь обща обоим. Но Евклид говорит, что целое больше своей части, а это не требует никаких оговорок. Утверждение, что [всё] тело больше туловища, отличается от аксиомы Евклида лишь в том отношении, что названная аксиома ограничивается только самым необходимым. Когда же ее показывают на примере и облекают в плоть, то умопостигаемое становится еще и чувственным, так как утверждение «Такое-то целое больше такой-то своей части» представляет собой в действительности предложение «Целое больше своей части», но с некоторыми украшениями и добавлениями,

==421

подобно тому как, сказав АВ, говорят А. Таким образом, но следует здесь противопоставлять аксиому и пример как .различные в этом отношении истины, а надо рассматривать аксиому как воплощенную в примере и как сообщающую примеру истинность. Другое дело, когда в самом примере не замечается очевидность и когда утверждение примера есть вывод (consequence), а не просто подведение под всеобщее предложение, как это может случиться и с аксиомами 386.

Ф и л а л е т. Наш ученый автор говорит здесь: я хотел бы задать лицам, утверждающим, что всякое иное (не фактическое) познание зависит от общих врожденных и самоочевидных принципов, следующий вопрос: в каком принципе они нуждаются для доказательства того, что два и два — четыре? Ведь, по его мнению, истинность такого рода предложений известна без всякого доказательства.

Что скажете Вы на это?

Т е о ф и л. Я скажу, что ожидал этого вопроса во всеоружии. «Два и два — четыре» — это совсем не непосредственная истина, если под четырьмя понимать три н один. Ее можно, следовательно, доказать и вот каким образом.

Определения: 1) 2 — это 1 и 1, 2) 3 — это 2 и 1, 3) 4 — это 3 и 1.

Аксиома: «При подстановке равных величин равенство сохраняется».

Доказательство: 2 и 2 — это 2 и 1 и 1 (по определению 1), 2 и 1 и 1 — это 3 и 1 (по определению 2), 3 и 1 — это 4 (по определению 3), следовательно (по аксиоме), 2 и 2=4, что и требовалось доказать. Вместо того чтобы сказать, что 2 и 2 — это 2 и 1 и 1, я мог бы сказать, что 2 и 2 равняются 2 и 1 и 1 и т. д. Но для большей быстроты ото можно повсюду подразумевать в силу другой аксиомы, согласно которой всякая вещь равна самой себе или же. что то, что тождественно, равно.

Ф и л а л е т . Хотя это доказательство и не очень необходимо для его слишком хорошо известного заключения, но оно показывает, каким образом истины зависят от определений и аксиом. Поэтому я предвижу то, что Вы ответите на ряд возражений, выдвигаемых против применени

==422

аксиом. Возражают, что можно получить бесчисленное множество принципов, но это будет в том случае, если к принципам отнести выводы, вытекающие из определений при помощи какой-нибудь аксиомы. Так как определени или идеи бесчисленны, то будут бесчисленными и принципы, даже если предположить вместе с Вами, что недоказуемые принципы — это тождественные аксиомы.

Они становятся бесчисленными также благодаря применению их в различных примерах, но по существу можно считать предложения «А есть А» и «В есть В» одним и тем же принципом, различно выраженным.

Т е о ф и л . Кроме того, разница в степенях очевидности не позволяет мне согласиться с Вашим знаменитым автором в том, что все эти истины, которые называют принципами и которые считаются самоочевидными, так как они столь близки к первым, недоказуемым аксиомам, совершенно не зависят друг от друга и не могут получать друг от друга ни пояснений, ни доказательства. На самом деле их всегда можно свести либо к самим аксиомам, либо к другим, более близким к аксиомам истинам, как это показывает пример той истины, что два и два — четыре.

Я Вам только что показал, каким образом Роберваль уменьшил число аксиом Евклида, сведя одни из них к другим.

§ 11.

Ф и л а л е т. Остроумный писатель, сочинение которого явилось поводом для наших бесед, признает известную пользу максим, состоящую, по его мнению, скорее в том, чтобы зажать рот упрямцам, чем в том, чтобы построить науки. Я был бы очень рад, говорит он, если бы мне показали какую-нибудь науку, построенную на этих общих аксиомах, относительно которой нельзя показать, что она так же хорошо держится без аксиом.

Т е о ф и л. Одной из этих наук является, несомненно, геометрия. Евклид определенно пользуется аксиомами при своих доказательствах. Например, аксиома «Две однородные величины равны, если одна из них не больше и не меньше другой» есть основа доказательств Евклида и Архимеда относительно величины кривых линий.

Архимед пользовался такими аксиомами, в которых не нуждался Евклид, например аксиомой, что из двух кривых с направленной в одну и ту же сторону вогнутостью объемлющая больше объемлемой. Точно так же в геометрии нельзя обойтись без тождественных аксиом, как, например, без принципа противоречия или без доказательств от

==423

противного. Что же касается других аксиом, которые можно доказать на основании их, то, строго говоря, без них можно было бы обойтись и делать выводы непосредственно из тождественных предложении и определений, но неизбежная при этом многословность доказательств и бесконечные повторения вызвали бы чудовищную путаницу, если бы надо было всякий раз начинать сызнова (ab ovo); между тем если предположить, что промежуточные предложения уже доказаны, то можно легко двигаться вперед. Это допущение уже известных истин особенно полезно по отношению к аксиомам, так как