знаний, служащих основой науки, то требуют

==461

всем известных принципов, а не произвольных допущений, истинность которых неизвестна. А Аристотель даже думал, что низшие и подчиненные науки заимствуют свои принципы от других, высших наук, где эти принципы были доказаны; это не относится только к первой из наук, которую мы называем метафизикой и которая, по его мнению, уже не требует ничего от других наук, доставляя необходимые им принципы. И когда он говорит 415 (ученик должен верить своему учителю), то он имеет при этом в виду, что ученик должен поступать так лишь до поры до времени, пока он не изучил еще высших наук, так что это носит только предварительный характер. Таким образом, дело не идет вовсе о допущении произвольных принципов. К этому следует добавить, что даже такие принципы, достоверность которых не абсолютна, могут приносить свою пользу, если только выводы из них логически обоснованы. Действительно, хотя в этом случае все заключения носят лишь условный характер и имеют силу лишь при допущении истинности этого принципа, тем не менее сама эта связь и эти условные суждения являются здесь во всяком случае доказанными.

Поэтому очень желательно, чтобы у нас было побольше книг, составленных таким образом; чтобы они никого не вводили бы в заблуждение, так как читатель или ученик были бы заранее предупреждены об условном характере рассуждения. И на практике этими заключениями руководились бы лишь постольку, поскольку подтвердилось бы исходное допущение. Этот метод сам по себе очень часто годится для проверки предположений или гипотез, когда из них вытекает множество заключений, истинность которых известна из других источников, и иногда это дает полную возможность обратного доказательства истинности гипотезы. Конринг 416, врач по профессии, человек всеобъемлющей учености, за исключением, может быть, математики, написал письмо одному своему другу, занимавшемуся переизданием в Гельмштедте книги Виотти 417, уважаемого перипатетического философа, который пытался объяснить метод доказательства Аристотеля и его «Вторую аналитику». Письмо это было приложено к книге, и в нем Конринг порицал Паппа за его утверждение, что анализ ставит себе задачу найти неизвестное, исходя из допущения его и переходя от него при помощи выводов к известным истинам. Это, говорит он, противоречит логике, согласно которой из лжи нельзя

==462

вывести истину 419. Но я показал ему впоследствии, что анализ пользуется определениями и разными взаимными предложениями, дающими возможность произвести обращение и найти синтетические доказательства. И даже когда это обращение не вполне доказательно, как, например, в физике, то оно все же представляет иногда большую вероятность, когда гипотеза легко объясняет множество явлений, совершенно не зависящих друг от друга и трудно объяснимых без нее. Я утверждаю, что принципом принципов является в некотором роде правильное пользование идеями и опытом. Но если углубиться в это, можно найти, что по отношению к идеям правильное пользование есть не что иное, как связывание определений посредством тождественных аксиом. Однако не всегда легко прийти к этому окончательному анализу, и, как ни добивались этого геометры, по крайней мере древние, они еще не достигли этого. Знаменитый автор «Опыта о человеческом разумении» доставил бы им большое удовольствие, если бы завершил это исследование, несколько более трудное, чем это думают. Евклид, например, отнес к числу аксиом положение, что две прямые могут пересечься лишь один раз. Воображение, опирающееся на чувственный опыт, не позволяет нам представить более одного пересечения двух прямых; но не на этом следует строить науку, и если кто-нибудь думает, что воображение дает связь отчетливых идей, то это показывает, что он недостаточно осведомлен относительно источника истин, и множество предложений, доказываемых при помощи других предшествующих им предложений, должны им считаться непосредственными.

На это не обратили достаточно внимания многие лица, порицавшие Евклида. Образы этого рода — есть лишь неотчетливые идеи, и тот, кто представляет себе прямую линию только так, не сумеет на основании этого ничего доказать. Вот почему Евклид за отсутствием отчетливо выраженной идеи, т. е. определения прямой линии (так как его предварительное определение прямой неясно и он им совсем не пользуется в своих доказательствах), был вынужден обратиться к двум аксиомам, которые заменяли у него определение и которыми он пользовался в своих доказательствах. Первая аксиома гласит, что две прямые не имеют общей части, а вторая что они не заключают пространства. Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это кратчайша линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих

==463

доказательствах такими элементами, как Евклидовы, которые основаны на только что упомянутых мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих аксиомах, принадлежат определенной им линии.

Поэтому если под предлогом учения о согласии и несогласии идей Вы вместе с Вашими единомышленниками думаете, что было бы позволено принимать в геометрии то, что подсказывают нам образы, не стремясь к той строгости доказательства посредством определении и аксиом, которой требовали в этой науке древние (как могли думать многие но осведомленные в этом вопросе лица), то я вам отвечу, что довольствоваться этим могут только люди. имеющие в виду практическую геометрию как таковую, но не те, кто желает иметь науку, которая сама служила бы усовершенствованию практики 420. Если бы древние придерживались этого взгляда и не проявили строгости в этом пункте, то, думаю, они не пошли бы далеко вперед и оставили бы нам в наследство лишь такую эмпирическую геометрию, какой была, по-видимому, египетская геометрия и какой является, кажется, китайская геометрия еще и теперь. В этом случае мы оказались бы лишенными прекраснейших открытий в области физики и механики, которые мы сделали благодаря пашен геометрии и которые неизвестны там, где последней нет. Вероятно также, что, руководствуясь чувствами и чувственными образами, мы впали бы в ряд заблуждении. Так, все те, кто не знаком с научной геометрией, считают бесспорной истиной на основании показаний своего воображения, что две непрерывно сближающиеся между собой линии должны наконец сомкнуться, между тем как геометры приводят противоречащие этому примеры известных линий, называемых асимптотами Но, не говоря уже об этом, мы были бы лишены того, что я считаю особенно ценным в геометрии со спекулятивной точки зрения, а именно возможности увидеть истинный источник вечных истин и способ заставить нас понять необходимость их, чего не могут отчетливо показать нам смутные чувственные идеи. Вы скажете мне, что Евклид все же был вынужден ограничитьс известными аксиомами, очевидность которых можно заметить лишь смутно посредством образов. Я Вам отвечу на это, что он действительно ограничился этими аксиомами, но все же лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся ему наипростейшими, и вывести из них другие истины, которые другой, менее

==464

строгий исследователь принял бы тоже за достоверные и не нуждающиеся в доказательстве истины, чем оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям свободу допускать что угодно в зависимости от настроения. Вы видите, таким образом, что Ваши и Ваших единомышленников соображения о связи идеи как о подлинном источнике истин нуждаются в разъяснении.

Если Вы довольствуетесь неотчетливой картиной этой связи, то Вы ослабляете точность доказательств, и Евклид поступил несравненно лучше, сведя все к определениям и к незначительному числу аксиом. Если же Вы хотите, чтобы эта связь идей была ясна и выражалась отчетливо, то Вы вынуждены будете прибегнуть к определениям и тождественным аксиомам, как этого требую я. Иногда же, когда Вам трудно будет достигнуть совершенного анализа, Вы вынуждены будете довольствоваться несколькими менее первоначальными аксиомами, как это сделали Евклид и Архимед. И, сделав это. Вы поступите лучше, чем относясь без внимания или откладывая те прекрасные открытия, которые Вы уже теперь можете сделать при их помощи. Действительно, как я сказал Вам раньше, мы не имели бы геометрии (я имею здесь в виду демонстративную науку), если бы древние не захотели двинуться вперед до того, как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться.

§ 7.

Ф и л а л е т. Я начинаю понимать, что такое отчетливо познанная связь идей. Я вижу, что в этом смысле аксиомы необходимы и понимаю, насколько необходимо, чтобы метод, каким мы пользуемся при исследовании идеи, сообразовывался с методом математиков. Последние от очень ясных и легких начал, представляющих собой не что иное, как аксиомы и определения, путем непрерывной цепи рассуждений поднимаются шаг за шагом к открытию и доказательству истин, которые на первый взгляд превосходят человеческие способности. Искусство математиков находить доказательства и выработанные ими удивительные методы выяснения и приведения в порядок опосредующих идей — вот что привело к столь поразительным и неожиданным открытиям. Но я не берусь решать, возможно ли будет со временем открыть какой-нибудь аналогичный метод, который годился бы для других идей так же, как и для идей, относящихся к величине. Во всяком случае если бы другие идеи были исследованы обычным для математиков методом, то они завели бы наши мысли

==465

дальше, чем мы, может быть, склонны представлять себе (§ 8), и ото, в частности, возможно было бы в науке о нравственности, как я уже указывал неоднократно.

Т е о ф и л. Я думаю, что вы правы, и давно уже намереваюсь сделать все возможное, чтобы выполнить Ваши предсказания.

§ 9.

Ф и л а л е т. Что касается познания тел, то здесь надо избрать диаметрально противоположный путь, так как, не имея никаких идей об их реальных сущностях, мы вынуждены прибегнуть к опыту.

§ 10. Однако я не отрицаю того, что человек, привыкший к разумным и правильным опытам, способен составить более верные догадки об их еще неизвестных нам свойствах, чем другие люди. Но это лишь суждение и мнение, а не познание и достоверность.

Поэтому я думаю, что мы не в состоянии сделать физику наукой. Однако опыт и исторические наблюдения могут помочь нам в деле улучшения нашего здоровья и увеличени наших жизненных удобств.

Т е о ф и л . Я согласен с тем, что физика в целом никогда не станет у нас совершенной наукой. Но мы все же можем иметь некоторую физическую науку и даже имеем уже образцы ее. Такой наукой можно считать, например, магнитологию, так как, исходя из немногих основанных на опыте предположений, мы можем доказать путем достоверных выводов ряд явлений, происходящих действительно так, как это указывает разум. Мы не должны надеятьс объяснить все опыты, так как даже геометры не доказали еще всех своих аксиом; но, подобно тому как они удовольствовались выводом множества теорем из немногих рациональных принципов, так и для физиков должно быть достаточно, если посредством нескольких